Вписанный четырехугольник. Задание 6
При решении задач на нахождение углов вписанного четырехугольника нам нужно вспомнить, что
1. Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности:
2. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°:
Рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий по математике:
1 .Задание B7 (№ 27871)
Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. 
Сумма углов А и С равна 180°, поэтому угол С равен 180°-58°=122°
Ответ: 122°
2 . Задание B7 (№ 27927)
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Углы 82° и 58° не могут быть противоположными, так как их сумма не равна 180°. Значит, оставшиеся углы являются противоположными к этим. очевидно. что величина большего угла равна 180°-58°=122°
3 . Задание B7 (№ 27928)
Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 1:2:3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
Введем единичный угол. Тогда величины углов А, В и С можно записать так:
А=х, В=2х, С=3х. Суммы противоположных углов вписанного четырехугольника равны и равны 180°. Сумма углов А и С равна 4х и равна 180°. Отсюда х=45°.
Очевидно, что величина угла D равна 4х-2х=90°
Вписанный четырехугольник в окружность. Четырехугольник ABCD вписан в окружность
С разделением математики на алгебру и геометрию учебный материал становится сложнее. Появляются новые фигуры и их частные случаи. Для того чтобы хорошо разобраться в материале, необходимо изучить понятия, свойства объектов и сопутствующие теоремы.
Общие понятия
Под четырехугольником подразумевается геометрическая фигура. Состоит она из 4-х точек. Причем 3 из них не располагаются на одной прямой. Имеются отрезки, последовательно соединяющие указанные точки.
Все четырехугольники, изучаемые в школьном курсе геометрии, показаны в следующей схеме. Вывод: любой объект из представленного рисунка обладает свойствами предыдущей фигуры.
Вам будет интересно: Железнодорожный техникум в Челябинске после 9 класса: специальности, отзывы
Четырехугольник может быть следующих видов:
- Параллелограмм. Параллельность его противоположных сторон доказывается соответствующими теоремами.
- Трапеция. Четырехугольник, у которого основания параллельны. Другие две стороны – нет.
- Прямоугольник. Фигура, у которой все 4 угла = 90º.
- Ромб. Фигура, у которой все стороны равны.
- Квадрат. Совмещает в себя свойства последних двух фигур. У него все стороны равны и все углы прямые.
Основное определение данной темы – вписанный четырехугольник в окружность. Оно заключается в следующем. Это фигура, вокруг которой описана окружность. Она должна проходить через все вершины. Внутренние углы четырехугольника, вписанного в окружность, в сумме дают 360º.
Не каждый четырехугольник может быть вписан. Связано это с тем, что серединные перпендикуляры 4-х сторон могут не пересечься в одной точке. Это сделает невозможным нахождение центра окружности, описанной около 4-угольника.
Частные случаи
Из всякого правила есть исключения. Так, в данной теме также имеются частные случаи:
- Параллелограмм, как таковой, не может быть вписан в окружность. Только его частный случай. Это прямоугольник.
- Если все вершины ромба находятся на описывающей линии, то он является квадратом.
- Все вершины трапеции находятся на границе окружности. В таком случае говорят о равнобедренной фигуре.
Свойства вписанного четырехугольника в окружность
Перед решением простых и сложных задач по заданной теме необходимо удостовериться в своих знаниях. Без изучения учебного материала невозможно решить ни один пример.
Теорема 1
Сумма противоположных углов, четырехугольника вписанного в окружность, равна 180º.
Дано: четырехугольник АВСД вписан в окружность. Ее центр – точка О. Нужно доказать, что
Четырехугольник авсд вписан в окружность известно что углы а и б относятся как
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что AB = BC = CD = 12.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
а) Рассмотрим ∆АВС: ∠BAC=∠BCA (так как AB = BC)
Пусть ∠BAC = ∠ BCA = x˚
∠BCA = ∠BDA = x˚ (так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны)
Аналогично ∠BAC = ∠BDC = x˚
∠BDC = DBC = x˚ (так как BC = DC)
∠DBC = ∠DAC = x˚ (так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны)
Получаем, что ∠CAD = ∠BCA = x˚. Отсюда следует, что BC || AD при секущей AC.
б) Рассмотрим ∆ABC и воспользуемся теоремой синусов:
Для того, чтобы найти сторону AD, воспользуемся теоремой синусов для ∆ADC:
Найдем sin3x = sin(x+2x) = sinxcos2x + sin2xcosx = sinxcos2x + 2sinxcos 2 x = sinx(cos2x + 2cos 2 x) = sinx(2сos 2 x — 1 + 2cos 2 x) = sinx(4cos 2 x — 1) = sinx(4(1-sin 2 x) — 1) = sinx(3-4sin 2 x) = 3sinx — 4sin 3 x = 3⋅3/4 — 4⋅(3/4) 3 = 9/4 — 27/16 = 36/16 — 27/16 = 9/16
Подставляем найденное значение sin3x в выражение AD/sin3x = 2R:
Ответ: б) 9