- Векторы
- Метод координат
- Скалярное произведение векторов
- Основные определения
- Угол между векторами
- Скалярное произведение векторов
- Скалярное произведение в координатах
- Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
- Свойства скалярного произведения
- Примеры вычислений скалярного произведения
- Основные сведения о сумме двух векторов
- Основные понятия
- Сумма сонаправленных и противоположно направленных векторов, правило треугольника
- Как вычислить координаты суммы двух векторов, пояснение на примерах
- Примеры решения задач
- Сформулируйте и докажите правила нахождения координат суммы и разности векторов?
- Найти координаты и длину вектора а, если вектор а = — вектору в + 1 / 2вектора с?
- Сформулируйте правило параллелограмма сложения векторов?
- Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника?
- Сумма и разность векторов а и b имеют координаты соответственно (2 ; 1) и ( — 4 ; 3) 1)Найдите координаты векторов а и b 2)Разложите по векторам а и b вектор с (10 ; — 5) 3)Найдите угол между векторам?
- Найдите сумму координат вектора а – Б?
- Мне нужна формула для нахождения координат вектора?
- Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника?
- Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов?
- Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника?
- Найдите сумму координат вектора а б по рисунку?
- Координаты вектора
- Просмотр содержимого документа «Координаты вектора»
Видео:90. Координаты вектораСкачать
Векторы
Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом, называется вектором.
Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначают $ ↖ $ или строчной (маленькой) буквой, например $ ↖ $
Любая точка плоскости является вектором. В этом случае вектор называется нулевым.
Модуль (длину) вектора обозначают $|АВ|↖ $.
Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону.
Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны.
Сумма векторов — это вектор, который можно получить двумя способами.
- Правило треугольника (А)
- Правило параллелограмма (Б)
Для любых векторов $a↖ , b↖ , c↖ $ справедливы равенства:
Разность векторов тоже можно получить двумя способами:
Если надо найти разность двух векторов, их необходимо отложить из одной точки. Результирующий вектор направлен к уменьшаемому.
Для любых $a↖ $ и $b↖ $ справедливо равенство $a↖ -b↖ =a↖ +( ↖ )$
Скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.$a↖ ⋅b↖ =|a↖ |·|b↖ |·cosα$
Ненулевые векторы $a↖ $ и $b↖ $ перпендикулярны, если их произведение равно нулю.
Видео:Геометрия, 9 класс, Правила нахождения координат суммы, разности векторов, произведенияСкачать
Метод координат
Координаты вектора равны разностям соответствующих координат конца и начала данного вектора.
Для того чтобы векторы $a↖ $ и $b↖ $ были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство $a↖ =k·b↖ $, где $k$ — это некоторое число.
Координаты середины вектора равны средним арифметическим координат его концов.
Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Скалярное произведение векторов $a↖ $ и $b↖ $ в координатах находится по формуле $a↖ ·b↖ = x1·x2+y1·y2$
Длина вектора $a↖ $ вычисляется по формуле: $|a↖ |=√ $
Расстояние между двумя точками $M1(x1;y1)$ и $M2(x2; y2)$ находится по формуле $|M1M2|=√ $
Найдите угол между векторами $a↖ $ и $b↖ $
- Сначала нужно найти координаты векторов $a↖ $ $b↖ $
- Найдем скалярное произведение векторов $a↖ ·b↖ = 2·8+6·4=16+24=40$
- Найдем длины каждого вектора $|a↖ |= √ =√ ; |b↖ |=√ =√ $
- Найдем косинус угла между векторами $cosα= / ·√ >= / >= / = / $
- Найдем угол $α=arccos / =45$
Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать
Скалярное произведение векторов
О чем эта статья:
11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать
Основные определения
Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.
Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.
Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.
Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.
Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.
Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.
Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.
Видео:Сложение, вычитание, умножение на число векторов через координату. 9 класс.Скачать
Угол между векторами
Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=
2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.
3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.
Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Скалярное произведение векторов
Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:
Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:
→a * →b = →|a| * →|b| * cosα
Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:
- Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, то есть cosα > 0.
- Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα
Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Скалярное произведение в координатах
Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.
Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов →a и →b.
То есть для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид: (→a, →b) = ax*bx + ay*by
А для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz) в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так: (→a, →b) = ax*bx + ay*by + az*bz
Докажем это определение:
Сначала докажем равенства
для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.
Отложим от начала координат (точка О) векторы →OB = →b = (bx, by) и →OA = →a = (ax, ay)
Тогда, →AB = →OB — →OA = →b — →a = (bx — ax, by — ay)
Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов можно записать:
то последнее равенство можно переписать так:
а по первому определению скалярного произведения имеем