Как решить задачу с треугольником в окружности

Треугольник вписанный в окружность

Как решить задачу с треугольником в окружности

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Как решить задачу с треугольником в окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Как решить задачу с треугольником в окружности

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Как решить задачу с треугольником в окружности

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.

а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.

б) Найдите площадь треугольника АСВ.

а) Введём обозначения, как показано на рисунке, пусть M, H, N — точки касания. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны: AM = AN, CM = CH, HB = BN. Поэтому:

Как решить задачу с треугольником в окружности

откуда p = AM, где Р — периметр, p — полупериметр треугольника.

б) Для определения площади треугольника используем формулу, связывающую её с полупериметром, стороной и радиусом вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других сторон треугольника:

Как решить задачу с треугольником в окружности

Ответ: Как решить задачу с треугольником в окружности

Примечание: указанная в решении формула легко может быть получена из следующих соображений Как решить задачу с треугольником в окружностигде O1 — центр окружности с радиусом r1. При этом Как решить задачу с треугольником в окружности Как решить задачу с треугольником в окружности

Тогда Как решить задачу с треугольником в окружности

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.

а) Углы APC и AQC — прямые, значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности с диаметром AC, и, следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда Как решить задачу с треугольником в окружностиили Как решить задачу с треугольником в окружностино тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен Как решить задачу с треугольником в окружностиоткуда Как решить задачу с треугольником в окружностиТогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен Как решить задачу с треугольником в окружности

Ответ: Как решить задачу с треугольником в окружности

В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что Как решить задачу с треугольником в окружностии ∠KMN = 45°.

а) Углы NAK и NBK, опирающиеся на отрезок KN, равны, значит, точки A, B, N и K лежат на одной окружности, а, следовательно, равны и вписанные углы ABK и ANK этой окружности, опирающиеся на дугу AK, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники KMB и NMA имеют общий угол KMN, следовательно, они подобны, откуда Как решить задачу с треугольником в окружностиили Как решить задачу с треугольником в окружностино тогда и треугольники KMN и BMA также подобны, причем коэффициент подобия равен Как решить задачу с треугольником в окружностиоткуда

Как решить задачу с треугольником в окружности

Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABM равен

Как решить задачу с треугольником в окружности

Ответ: Как решить задачу с треугольником в окружности

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.

а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.

б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны 3 и 12 соответственно, а OK = 5.

а) Пусть Как решить задачу с треугольником в окружностиТак как Как решить задачу с треугольником в окружности— центр вписанной окружности треугольника ABC, то Как решить задачу с треугольником в окружности— биссектрисы углов Как решить задачу с треугольником в окружностии Как решить задачу с треугольником в окружностизначит, Как решить задачу с треугольником в окружностиУгол BOK внешний для треугольника AOB, поэтому Как решить задачу с треугольником в окружности(см. рисунок).

Так как Как решить задачу с треугольником в окружности(по построению), то Как решить задачу с треугольником в окружноститогда Как решить задачу с треугольником в окружностиУглы CBK и KAC опираются на один и тот же отрезок CK и равны друг другу: Как решить задачу с треугольником в окружностиТогда по признаку, связанному со свойством вписанных углов, точки Как решить задачу с треугольником в окружностилежат на одной окружности.

б) Обозначим через Как решить задачу с треугольником в окружностирадиусы вписанной и описанной окружностей треугольника Как решить задачу с треугольником в окружностиПусть H — проекция точки O на сторону AB (см. рис.), тогда Как решить задачу с треугольником в окружностиТак как точки Как решить задачу с треугольником в окружностилежат на одной окружности, то радиус описанной окружности треугольника ABK совпадает с радиусом описанной окружности треугольника Как решить задачу с треугольником в окружностии равен Как решить задачу с треугольником в окружностиИз треугольника ABK по теореме синусов: Как решить задачу с треугольником в окружностиТогда

Как решить задачу с треугольником в окружности

Так как Как решить задачу с треугольником в окружностито Как решить задачу с треугольником в окружности

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Треугольники и окружность — задачи с примерами решения

Пример:

Длина катета ВС прямоугольного треугольника АСВ равна 15 см, а его катет АС является диаметром окружности, которая пересекает гипотенузу в точке F, CF =12 см. Вычислите радиус окружности.

Как решить задачу с треугольником в окружности

Решение:

Из условия следует, что радиус R равен половине катета АС. Заметим, чтоКак решить задачу с треугольником в окружности

1) В треугольнике Как решить задачу с треугольником в окружностиКак решить задачу с треугольником в окружности

2) Воспользовавшись равенством Как решить задачу с треугольником в окружностинайдем Как решить задачу с треугольником в окружности

3) ТеперьКак решить задачу с треугольником в окружности

4) Квадрат длины катета прямоугольного треугольника равен произведению длины гипотенузы и длины проекции этого катета на гипотенузу, следовательно, Как решить задачу с треугольником в окружностиКак решить задачу с треугольником в окружности

Таким образом, Как решить задачу с треугольником в окружности

Пример:

Как решить задачу с треугольником в окружности

Решение:

По теореме об угле между хордой и касательной Как решить задачу с треугольником в окружностиТак как точки С и В диаметрально противоположные, то угол САВ опирается на диаметр, а следовательно, он прямой, т. е. треугольник САВ — прямоугольный (рис. 109, а, б). Расстояние от точки С до точки касания А равно длине катета СА треугольника САВ. Так какКак решить задачу с треугольником в окружностиКак решить задачу с треугольником в окружностиКак решить задачу с треугольником в окружности

Ответ Как решить задачу с треугольником в окружности

Пример:

Вычислите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, если длина его основания АС равна 24 см, а высота BD, проведенная к основанию, равна 9 см.

Как решить задачу с треугольником в окружности

Решение:

Для вычисления радиуса г вписанной окружности воспользуемся формулой Как решить задачу с треугольником в окружностигде S — площадь треугольника, р — его полупериметр. Отсюда получим Как решить задачу с треугольником в окружности

1) Площадь треугольникаКак решить задачу с треугольником в окружностиКак решить задачу с треугольником в окружности

2) В прямоугольном треугольнике ADB длина катета

Как решить задачу с треугольником в окружностиКак решить задачу с треугольником в окружности

3) Теперь полупериметр Как решить задачу с треугольником в окружности

4) Таким образом, найдем Как решить задачу с треугольником в окружности

Пример:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС на стороне ВС лежит точка D так, что Как решить задачу с треугольником в окружностиВ каком отношении точка О пересечения отрезка AD и высоты BE делит высоту BE, считая от вершины В?

Как решить задачу с треугольником в окружности

Решение:

1) Так как Как решить задачу с треугольником в окружности(рис. 111, а, б). Проведем отрезок Как решить задачу с треугольником в окружности, параллельный отрезку AD.

2) Так как высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой, то точка Е — середина стороны АС.

3) По признаку средней линии отрезок EF — средняя линия треугольника ADC, значит,Как решить задачу с треугольником в окружности

4) Так как Как решить задачу с треугольником в окружностиКак решить задачу с треугольником в окружности

Ответ: Как решить задачу с треугольником в окружности

Пример:

Отрезки AF и СТ — высоты остроугольного треугольника ABC. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BTF, если A ABC = 60° и АС = b.

Как решить задачу с треугольником в окружности

Решение:

Воспользуемся теоремой синусов и тем, что треугольник ABC подобен треугольнику BTF.

1) В треугольнике BTF по теореме синусов выполняется равенствоКак решить задачу с треугольником в окружностиСледовательно, Как решить задачу с треугольником в окружности(рис. 112, a, 6).

2) Рассмотрим треугольники ABC и FTC. Эти треугольники подобны. Действительно, Как решить задачу с треугольником в окружности

Следовательно,Как решить задачу с треугольником в окружностит.е. треугольники подобны с коэффициентом подобия Как решить задачу с треугольником в окружности

3) Из подобия треугольников ABC и FTC следует, что Как решить задачу с треугольником в окружностиТаким образом, Как решить задачу с треугольником в окружности

Ответ: Как решить задачу с треугольником в окружности

Пример:

Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Известно, что Как решить задачу с треугольником в окружностиДокажите, что Как решить задачу с треугольником в окружности(рис. 113, а).

Как решить задачу с треугольником в окружности

Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABC. Пусть прямая BD пересекает окружность в точке F и DF = х (рис. 113, б).

1) По свойству отрезков пересекающихся хорд выполняется равенствоКак решить задачу с треугольником в окружности

2) Треугольники ABD и FBC подобны, так как Как решить задачу с треугольником в окружностипо условию и Как решить задачу с треугольником в окружностипоскольку являются вписанными в окружность и опираются на одну и ту же дугу.

3) Из подобия треугольников ABD и FBC следует, что Как решить задачу с треугольником в окружностиОтсюда Как решить задачу с треугольником в окружности

3) Таким образом,Как решить задачу с треугольником в окружности

Что и требовалось доказать.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг
  • Описанные и вписанные окружности
  • Пространственные фигуры — виды, изображения, свойства
  • Взаимное расположения прямых на плоскости
  • Треугольник
  • Решение треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📺 Видео

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | Математика

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Равносторонний треугольник в окружностиСкачать

Равносторонний треугольник в окружности

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)
Поделиться или сохранить к себе: