Задачи на разложение по векторам

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a ₁, . a_n , необходимо найти коэффициенты x ₁, . x_n , при которых линейная комбинация векторов a ₁, . a_n равна вектору b :

при этом коэффициенты x ₁, . x_n , называются координатами вектора b в базисе a ₁, . a_n .

Пример задачи на разложение вектора по базисным векторам

Решение: Составим векторное уравнение:

которое можно записать в виде системы линейных уравнений

Практическая работа №1 по теме: «Разложение вектора по трем некомпланарным векторам»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Практическая работа №1

Тема: «Разложение вектора по трем некомпланарным векторам»

Цель : уметь применять основные определения и теоремы по теме «Разложение вектора по трем некомпланарным векторам» при обосновании этапов решения задач; уметь выполнять чертежи по условию задачи, понимать чертежи, находить на чертежах векторы, уметь раскладывать вектор по данным векторам, используя правило параллелепипеда, параллелограмма, треугольника, знать определение коллинеарных и компланарных векторов.

Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, простой карандаш, линейка, методические рекомендации по выполнению работы.

Методические рекомендации по выполнению практической работы:

Задание №1 . Дан куб с ребром m. Точка К – середина ребра . Разложить вектор по векторам .

Решение: построим заданный куб (рис. 1).

Векторами и задается плоскость квадрата . Третий вектор не лежит в этой плоскости, отсюда заключаем, что три заданных вектора , и некомпланарны, и мы можем выразить через них искомый вектор . Найдем вектор по правилу многоугольника. . Вектор мы по условию обозначили как вектор . Вектор согласно свойствам куба равен вектору , обозначенному за вектор .

Вектор составляет половину вектора , так как точка К – середина ребра по условию: . Вектор согласно свойствам куба, равен вектору , обозначенному как вектор . Имеем:

Так, заданный вектор выражен через три некомпланарных вектора. Осталось найти его длину.

Задание №2. Задан треугольник АВС. Точка М – точка пересечения медиан. Точка О – произвольная точка пространства. Разложить вектор по векторам , и . (рис. 1)

Согласно правилу треугольника .

Продлим отрезок АМ до пересечения со стороной ВС треугольника (рисунок 3), получим точку – середину этой стороны (точка М по условию точка пересечения медиан треугольника). Кроме того, вспомним свойство медиан треугольника: медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая рассекает их в отношении 2:1, считая от вершины. Так, имеем:

Рис. 3. Дополнительное построение к задаче 2

Снова применим правило треугольника:

Задания для самостоятельной работы:

Задание №1. Дан – параллелепипед. Точки К и Т – середины ребер ВС и соответственно. Разложите векторы: а) ; б) в) ;
д) ; е); ж)

Задание №2. Дан АВС D – тетраэдр. Точка М – точка пересечения медиан треугольника АВС, причем =, =, =. Разложите векторы:

Задание №1. Дан – параллелепипед. Причем АК:КВ=3:2, =1:4. Разложите векторы: а) б) в) ; г) ; д) ; е) ; ж)

Задание №2. Дан АВС D – тетраэдр. Точка Т – середина ребра CB , H — точка пересечения медиан треугольника АВС. Разложите векторы:

Контрольные вопросы (ответьте письменно) :

Дайте определение вектора.

Дайте определение нулевого вектора.

Дайте определение длины вектора.

Дайте определение коллинеарных векторов.

Сформулируйте правило треугольника для сложения векторов.

Сформулируйте правило параллелограмма для сложения векторов.

Дайте определение разности векторов.

Дайте определение умножении я вектора на число.

Дайте определение компланарных векторов.

Сформулируйте признак компланарности трех векторов.

Сформулируйте правило параллелепипеда.

Сформулируйте теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

Примеры решений по векторной алгебре

Векторная алгебра для чайников

В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач по векторной алгебре: вектора, углы, взаимное расположение на плоскости и пространстве, базис из векторов, действия с векторами и т.п.

Решения задач с векторами

Задача 1. На оси $Ох$ найти точку, равноудаленную от точек $А(2;-4;5)$ и $В(-3;2;7)$.

Задача 2. Написать разложение вектора $X$ по векторам $(a, b, c)$.

Задача 3. Найти косинус угла между векторами $AB$ и $AC$.

Задача 4. Вычислить площадь треугольника с вершинами $$A=(-4;4;4), B=(3;1;0), C=(-1;0;6).$$

Задача 5. Компланарны ли вектора $a, b, c$? $$a=(-3;2;1), b=(3;1;2), c=(3;-1;4)$$

Задача 6. Заданы два вектора в пространстве. Найти:
а) их сумму;
б) их разность; косинус угла между ними;
в) их векторное произведение.
$a=(0;1;1), b=(-2;0;1).$

Задача 7. Сила $F$ приложена к точке $А$. Вычислить:
а) работу силы $F$ в случае, когда точка её приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку $В$;
b) модуль момента силы $F$ относительно точки $В$.

Задача 8. Найти ранг и базис системы векторов, перейти к новому базису. Записать разложения векторов по найденным базисам.

Задача 11. Написать разложение вектора $bar$ по векторам $bar, bar, bar$.

Задача 13. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах $bar

$, $bar$.