Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Центральные и вписанные углы

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

О чем эта статья:

Видео:Вписанный угол опирающийся на полуокружность пряомой док-во за 10 секундСкачать

Вписанный угол опирающийся на полуокружность пряомой док-во за 10 секунд

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Вывод доказательств теоремы во вписанном угле

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Теорема о вписанном угле

Вписанным углом называют угол с вершиной, расположенной на окружности, и сторонами, обладающими точками пересечения с этой окружностью.

Изобразим вписанный угол ВАС, исходя из определения:

Заметим, что дуга ВLС находится во внутренней области данного угла. В таком случае принято говорить, что вписанный угол АВС опирается на дугу ВLC.

Меру вписанного угла определяют, как ½ дуги, на которую данный угол опирается.

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Доказательство, описание 3 случаев

Запишем исходные данные для доказательства теоремы о вписанном угле. Представим, что имеется некая окружность с центром в точке О. При этом ∠ А В С является вписанным по определению. Заметим, что ⏝ А С расположена во внутренней области ∠ А В С . Требуется подтвердить справедливость следующего соотношения:

∠ А В С = 1 2 ⏝ А С

В процессе доказательства необходимо рассмотреть три случая.

Первый случай: совпадение луча ВО с какой-то из сторон ∠ А В С .

Предположим, что возможно совпадение ВО с ВС. Перенесем это условие на рисунок:

Заметим, что ⏝ А С меньше по сравнению с половиной окружности. По этой причине:

Объясним это равенство определением ∠ А О С , как центрального, который меньше полуокружности и равен дуге, являющейся опорой этого угла.

Заметим, что треугольник АВО является равнобедренным. Роль его основания играет АВ по равенству радиусов ОА = ОВ. В результате ∠ 1 = ∠ 2 , так как это углы, расположенные при основании.

По определению ∠ А О С является внешним углом в треугольнике АВО. Таким образом:

∠ А О С = ∠ 1 + ∠ 2 = 2 ∠ 1 .

С учетом условия ∠ А О С = ⏝ А С можно сделать следующий вывод:

∠ А В С = 1 2 ⏝ А С

Второй случай: с помощью луча ВО можно ∠ А В С поделить на два угла.

При этом условии луч ВО имеет с ⏝ А С точку пересечения D:

Заметим, что точка D делит ⏝ А С , получаем две дуги:

⏝ А С = ⏝ А D + ⏝ D С

С помощью BD луча ∠ А В С образует два угла, по этой причине:

∠ А В С = ∠ А В D + ∠ D В С

Ранее при рассмотрении первого случая было доказано, что:

∠ А В D = 1 2 ⏝ А D

∠ D В С = 1 2 ⏝ D С

При сложении перечисленных равенств получим, что:

∠ А В D + ∠ D В С = 1 2 ⏝ А D + 1 2 ⏝ D С

∠ А В D + ∠ D В С = 1 2 ( ⏝ А D + ⏝ D С )

∠ А В С = 1 2 ⏝ А С

Третий случай: не предусмотрено деление лучом ВО угла АВС на два угла. Луч ВО также не совпадает со стороной данного угла.

При этом условии луч ВС имеет точку пересечения с дугой AD. Обозначим эту точку за С:

Точка С делит ⏝ А D на пару дуг:

По этой причине:

⏝ А D = ⏝ А С + ⏝ С D

⏝ А С = ⏝ А D — ⏝ С D

Заметим, что ВС луч делит ∠ А В D . В результате получаем два угла. В таком случае:

∠ А В D = ∠ А В C + ∠ C В D

∠ А В C = ∠ А В D — ∠ C В D

Исходя из доказательства, рассмотренного в первом случае:

∠ А В D = 1 2 ⏝ А D

∠ C В D = 1 2 ⏝ С D

Отнимем из первого выражения второе:

∠ А В D — ∠ C В D = 1 2 ⏝ А D — 1 2 ⏝ С D

∠ А В D — ∠ C В D = 1 2 ( ⏝ А D — ⏝ С D )

∠ А В C = 1 2 ⏝ А С

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Следствия из теоремы о вписанном угле

В том случае, когда вписанные углы опираются на одинаковую дугу, они являются равными.

Вписанный угол, который опирается на полуокружность, является прямым.

При пересечении двух хорд произведение получившихся отрезков первой хорды соответствует произведению отрезков второй хорды.

Докажем эту теорему. Изобразим для наглядности на рисунке некую окружность, построим хорды АВ и CD. При этом:

Требуется доказать, что:

А Е · В Е = С Е · D Е

Рассмотрим треугольники АDЕ и СВЕ:

Справедливость данного краткого соотношения следует из того, что эти углы являются вписанными по формулировке и опираются на одинаковую дугу BD по следствию 1 из теоремы о вписанном угле. Запишем еще одно соотношение:

Эти углы являются вертикальными, поэтому можно сделать вывод о подобии треугольников АDЕ и СВЕ с учетом признака подобия треугольников. Зная, что подобные треугольники обладают пропорциональными сходственными сторонами, запишем:

А Е С Е = D Е В Е

А Е · В Е = С Е · D Е

Угол, который расположен между касательной и хордой, проведенной в точку касания, определяют, как ½ дуги, стягиваемой данной хордой.

Докажем записанную теорему. Изобразим некую окружность с центральной точкой О и радиусом r. Введем основные обозначения:

  • АВ является хордой;
  • АС обозначает касательную;
  • А редставляет собой точку касания.

Заметим, что треугольник АОВ является равнобедренным. АВ представляет собой основание данного треугольника, что объясняется следующим равенством:

В результате, углы при основании равны:

В этом случае, исходя из свойства касательной:

∠ O A B = ∠ O B A = 90 ° — ∠ B A C

Воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника:

∠ O A B = 180 – 2 ( 90 ° — ∠ B A C ) = 180 ° – 180 ° + 2 ∠ B A C = 2 ∠ B A C

∠ B A C = 1 2 ∠ A O B .

Заметим, что ∠ A O B является центральным. По этой причине:

∠ B A C = 1 2 ⏝ А B .

Видео:Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность). Геометрия 8-9 классСкачать

Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность). Геометрия 8-9 класс

Примеры решения задач

На рисунке изображены окружность с центром в точке О, угол АОВ и угол АСВ, равный 125 ° . Требуется определить, чему равна градусная мера угла АОВ.

Рассмотрим следующие дуги:

Заметим, что эти дуги дополняют друг друга, и образуется окружность. Таким образом:

⏝ A C B + ⏝ A K B = 360 °

Заметим, что ∠ A C B является вписанным и опирается на ⏝ A K B . В результате:

⏝ A K B = 2 ∠ A C B = 2 · 125 ° = 360 °

⏝ A C B = 360 ° – 250 ° = 110 °

Заметим, что ∠ A O B является центральным и опирается на ⏝ A C B . По этой причине:

∠ A O B = ⏝ A C B = 110 °

Дана окружность с центром в точке О. На этой окружности отмечены точки C и D так, что они расположены с одной стороны от диаметра окружности АВ. Градусная мера ∠ B C D составляет 34 ° . Нужно определить, чему равен ∠ A B D .

Проведем отрезок через точки А и D:

Если рассмотреть треугольник ABD, то можно заметить, что:

∠ A B D = 90 ° , так как является вписанным и опирается на диаметр;

∠ B A D = ∠ B C D , так как это вписанные углы, которые опираются на одинаковую ⏝ B D .

Зная, что в прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают 90 ° , запишем следующее выражение:

∠ A B D = 90 ° — ∠ B A D = 90 ° — 34 ° = 56 °

Изображена окружность с центром О. Диаметры этой окружности обозначены, как AF и BC. Точки С и К расположены с одной стороны относительно диаметра AF. Градусная мера углов составляет:

Требуется определить градусную меру угла ∠ B C K .

Построим два отрезка KC и AC:

Заметим, что в треугольнике АВС имеется вписанный в окружность угол, который опирается на диаметр этой окружности, то есть:

Зная, что острые углы в прямоугольном треугольнике в сумме дают 90 ° , запишем:

∠ A C B = 90 ° — ∠ A B C = 90 ° — 62 ° = 28 °

Углы ∠ A C K и ∠ A E K являются вписанными и опираются на одну дугу, поэтому:

∠ A C K = ∠ A E K = 20 °

∠ B C K = ∠ A C K + ∠ A C B = 20 ∠ + 28 ∠ = 48 ∠ .

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№27 - Теорема о вписанном угле.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№27 - Теорема о вписанном угле.)

Углы, связанные с окружностью

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острыйВписанные и центральные углы
Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острыйУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острыйДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Вписанный угол, опирающийся на диаметр. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугуСкачать

Вписанный угол, опирающийся на диаметр. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголВписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый
Вписанный уголВписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острыйВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголВписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острыйВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголВписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острыйДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголВписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острыйВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаВписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Видео:Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиВписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острыйВписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаВписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острыйВписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияВписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острыйВписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый
Угол, образованный касательной и секущейВписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острыйВписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый
Угол, образованный двумя касательными к окружностиВписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острыйВписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый
Формула: Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый
Формула: Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Вписанный угол, который опирается на диаметрСкачать

Вписанный угол, который опирается на диаметр

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

В этом случае справедливы равенства

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

В этом случае справедливы равенства

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Вписанный угол опирающийся на окружность на полуокружность острый

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

📹 Видео

ОГЭ I Углы в окружности I Задание 16Скачать

ОГЭ I Углы в окружности I Задание 16

🔴 Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян

№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. НайдитеСкачать

№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите

Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Вписанный угол и диаметр ▶ (Мини-ликбез №7)Скачать

Вписанный угол и диаметр ▶ (Мини-ликбез №7)

23 Угол, опирающийся на диаметрСкачать

23 Угол, опирающийся на диаметр
Поделиться или сохранить к себе: