Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Нахождение координат вектора

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Видео:Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

Нахождение угла между векторами  через координаты. 9 класс.

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB , нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Формулы для определения координат вектора

<table data-id="254" data-view-id="254_31110" data-title="Координаты вектора" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" AB = <Bx — Ax; By — Ay> » data-order=» AB = <Bx — Ax; By — Ay> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> AB = <Bx — Ax; By — Ay>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" AB = <Bx — Ax; By — Ay; Bz — Az> » data-order=» AB = <Bx — Ax; By — Ay; Bz — Az> «> AB = <Bx — Ax; By — Ay; Bz — Az>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" AB = <B1 — A1; B2 — A2; . Bn — An> » data-order=» AB = <B1 — A1; B2 — A2; . Bn — An> «> AB = <B1 — A1; B2 — A2; . Bn — An>

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB , если у его точек следующие координаты: , .

Задание 2
Определим координаты точки B вектора , если координаты точки .

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
Bx = AB x + Ax = 6 + 2 = 8.
By = AB y + Ay = 14 + 5 = 19.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Скалярным произведением (или внутренним произведением) 2 векторов есть операция с двумя

векторами, итогом чего является число (скаляр), которое не зависит от системы координат и которое

характеризует длины векторов-сомножителей и угол между векторами.

Также скалярным произведением двух векторов называется число, которое

равно произведению модулей 2 векторов на косинус угла между векторами.

Скалярное произведение векторов формула:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Этой операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта

операция зачастую рассматривается как коммутативная и линейная по каждому из сомножителей.

Скалярное произведение векторов Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами,Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами, обозначается так: Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами(порядок записи сомножителей не имеет

значения, т.е. Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами).

Еще используются такие обозначения: Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами, Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами, Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами.

В основном имеется ввиду, что скалярное произведение определено положительно, т.е. Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

при каждом Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами. Если этого не иметь ввиду, то произведение зовется индефинитным

(неопределенным).

Если хотя бы один из 2 векторов Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамиили Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамиравен нулевому вектору (равен нулю), то Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами.

Свойства скалярного произведения векторов.

1. Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами— симметричность.

2. Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамиобозначается Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамии зовется скалярный квадрат.

3. Если Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами, то Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

4. Если и Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамии Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамии Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами, то Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами. Обратное утверждение тоже соответствует

5. Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

6. Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

7. Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Если же векторы Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамии Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамизаданы своими координатами: Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами, Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами, то: скалярное

произведение векторов, формула:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Формула для определения длины вектора:

Длина (модуль) вектора, с известными координатами, равен квадратному корню из суммы квадратов

Длина вектора Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами, заданного своими координатами, равна:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как определить угол между 2 векторами:

Как найти угол между двумя векторами Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами, Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами, формула:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Ежели угол меж двумя векторами острый, то их скалярное произведение имеет положительный знак; если

же угол между двумя векторами тупой, то их скалярное произведение имеет отрицательный знак.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы

ортогональны.

Альтернативное определение скалярного произведения векторов (вычисление скалярного

произведения двух векторов, заданных своими координатами).

Вычислить координаты вектора, если заданы координаты его начала и его конца очень просто. Давайте

рассмотрим этот вопрос:

Пусть есть вектор AB, точка А – это начало вектора, а В — конец, и координаты этих точек приведены ниже:

Исходя из этого, координаты вектора АВ:

Точно так же и в двухмерном пространстве – разница в отсутствии третьих координат.

Итак, предположим, даны два вектора, которые заданы набором координат своих точек:

а) В двухмерном пространстве (плоскость):

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Значит, скалярное произведение этих векторов вычислим по формуле:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

б) В трехмерном пространстве:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как и в двухмерном случае, скалярное произведение двух векторов вычисляем по формуле:

Видео:Как находить угол между векторамиСкачать

Как находить угол между векторами

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами
Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Длина вектора Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамив пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамии Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами.

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Произведение вектора на число:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Скалярное произведение векторов:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Косинус угла между векторами:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамии Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами. Для этого нужны их координаты.

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Запишем координаты векторов:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

и найдем косинус угла между векторами Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамии Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Координаты точек A, B и C найти легко:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Координаты вершины пирамиды: Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Найдем координаты векторов Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамии Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

и угол между ними:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Запишем координаты точек:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Найдем координаты векторов Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамии Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами, а затем угол между ними:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

То есть A + C + D = 0.

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамиКак найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Аналогично для точки K:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Получили систему из трех уравнений:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Решив систему, получим:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Вектор Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамиимеет вид:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамиперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Напишем уравнение плоскости AEF.

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Берем уравнение плоскости Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамии по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамиКак найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Нормаль к плоскости AEF: Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Найдем угол между плоскостями:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамиили, еще проще, вектор Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Координаты вектора Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами— тоже:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Получим:
Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Ответ: Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами— нормаль к плоскости α.

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Находим координаты вектора Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Ответ: Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами, AD = Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами. Высота параллелепипеда AA1 = Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторамиКак найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Решим эту систему. Выберем Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Тогда Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Как найти координаты вектора зная длину и угол между векторами

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

🎦 Видео

Косинус угла между векторами. Коллинеарность векторовСкачать

Косинус угла между векторами.  Коллинеарность векторов

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Вычисляем угол через координаты вершинСкачать

Вычисляем угол через координаты вершин

найти угол между единичными векторамиСкачать

найти угол между единичными векторами

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

№934. Найдите координаты вектора АВ, зная координаты его начала и конца: а) А (2; 7), B (-2; 7);Скачать

№934. Найдите координаты вектора АВ, зная координаты его начала и конца: а) А (2; 7), B (-2; 7);

11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать

11 класс, 5 урок, Угол между векторами

100 тренировочных задач #135 Угол между векторамиСкачать

100 тренировочных задач #135 Угол между векторами

9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы
Поделиться или сохранить к себе: