О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
- Понятие треугольника
- Понятие средней линии треугольника
- Понятие средней линии прямоугольного треугольника
- Свойства средней линии треугольника
- Теорема о средней линии треугольника
- Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
- Определение равностороннего треугольника
- Свойства равностороннего треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Пример задачи
- Центр треугольника
- Как найти центр треугольника
- 🌟 Видео
Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать
Понятие треугольника
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
- Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
- Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
- Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.
Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.
Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.
Свойства треугольников:
- В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
- Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
- Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
- В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать
Понятие средней линии треугольника
Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.
Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.
Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.
Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.
Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать
Понятие средней линии прямоугольного треугольника
Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.
Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.
В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.
Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Свойства средней линии треугольника
Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.
Свойства:
- Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
- Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
- Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
- Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.
Видео:Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора | Геометрия | АлгебраСкачать
Теорема о средней линии треугольника
Теорема о средней линии треугольника звучит так:
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:
Докажем теорему:
По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC
Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.
(по второму признаку подобия треугольников).
△ABC, то Следовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.
△ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку параллельности прямых MN || BC.
Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.
Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.
Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:
Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.
Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:
Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:
Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.
Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:
Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.
Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:
S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.
Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.
Видео:Геометрия Равносторонний треугольникСкачать
Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать
Определение равностороннего треугольника
Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.
Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.
Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 1
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.
Свойство 2
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.
CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.
Свойство 3
В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.
Свойство 4
Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.
Свойство 5
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.
- R – радиус описанной окружности;
- r – радиус вписанной окружности;
- R = 2r.
Свойство 6
В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:
1. Высоту/медиану/биссектрису:
2. Радиус вписанной окружности:
3. Радиус описанной окружности:
4. Периметр:
5. Площадь:
Видео:Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать
Пример задачи
Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.
Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:
Видео:ПЛОЩАДЬ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА за 20 секунд!Скачать
Центр треугольника
Треугольник — наиболее распространенная форма деталей в сферах машиностроения и строительства. Точка пересечения 3-х медиан считается центром треугольника. На эту точку приходится также центр тяжести и центр симметрии предметов треугольной формы. При разработке дизайнерских, инженерных проектов очень важно точно рассчитать центр тяжести элементов металлической или бетонной конструкции.
Существует несколько понятий центра для треугольника.
Инцентр — точка пересечения его биссектрис. Это — центр описанной около треугольника окружности.
Ортоцентр — точка пересечения его высот.
Центр тяжести,центр масс или центроид (обозн. М) — точка пересечения медиан треугольника.
Рассмотрим треугольник. Определим середины его сторон и соединим их с противолежащими углами. Точка пересечения медиан и будет центром тяжести тр-ка. Медиана делится этой точкой в пропорции 2:1 , (считая от вершины тр-ка).
Видео:Высота равностороннего треугольника равна 13√3 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Как найти центр треугольника
Если известны координаты его вершин, найдем сумму трех значений координат «х» и трех значений координат «у». Поделим каждую сумму на 3, получим среднее значение сумм координат «х» и «у», что и будет координатами центра тяжести.
Центром равностороннего треугольника является точка пересечения высот, биссектрис и медиан.
Центр равностороннего треугольника является также центром вписанной и описанной окружности.
Центроид расположен на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности. Центроид делит отрезок 2:1.
Быстро найти центр треугольника G можно с помощью онлайн калькулятора. Для этого:
- ввести в поле калькулятора координаты вершин треугольника;
- нажать кнопку Вычислить. Калькулятор вычислит значение центра треугольника G.
🌟 Видео
Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
7 фактов про равносторонний треугольникСкачать
Площадь равностороннего треугольникаСкачать
Нахождение сторон равнобедренного треугольникаСкачать
Сможешь найти основание? Задача про медиану равнобедренного треугольникаСкачать
№107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметрСкачать
№488. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см;Скачать
Равносторонний треугольник. Описанная окружностьСкачать
КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать