Задачи на косинус между векторами

Угол между векторами.
Задачи на косинус между векторами

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Формула вычисления угла между векторами

cos α =a · b
| a |·| b |

Видео:Как находить угол между векторамиСкачать

Как находить угол между векторами

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5

Найдем угол между векторами:

cos α =a · b=24=24= 0.96
| a | · | b |5 · 525

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α =a · b=40=40=4= 0.8
| a | · | b |5√ 2 · 5√ 2505

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6

Найдем угол между векторами:

cos α =a · b=28=14
| a | · | b |5 · 615

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Задачи на косинус между векторами

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Видео:100 тренировочных задач #135 Угол между векторамиСкачать

100 тренировочных задач #135 Угол между векторами

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

  1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

  1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Видео:Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.

Нахождение угла между векторами

В данной публикации мы рассмотрим, что такое угол меду двумя векторами, и приведем формулу, с помощью которой можно найти его косинус. Также разберем пример решения задачи по этой теме.

Видео:Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

Нахождение угла между векторами  через координаты. 9 класс.

Нахождение угла между векторами

Угол между двумя векторами, берущими начало в одной и той же точке – это наименьший угол, на который можно повернуть один из данных векторов вокруг своей начальной точки до положения, при котором он будет сонаправлен со вторым вектором.

Задачи на косинус между векторами

Косинус угла между двумя векторами равняется скалярному произведению векторов, разделенному на произведение длин (модулей) этих векторов.

Для расчета косинуса угла используется формула ниже:

Задачи на косинус между векторами

Видео:Косинус угла между векторами. Коллинеарность векторовСкачать

Косинус угла между векторами.  Коллинеарность векторов

Пример задачи

Найдем угол между векторами и .

Решение

1. Для начала рассчитаем их скалярное произведение:
a · b = = = 63.

2. Теперь найдем длины (модули) заданных векторов:

Задачи на косинус между векторами

Задачи на косинус между векторами

3. Применим формулу для нахождения косинуса угла:

Задачи на косинус между векторами

4. Следовательно, угол приблизительно равняется 14,26° (arccos 0,9692).

🎥 Видео

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Скалярное произведение векторов. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. Практическая часть. 9 класс.

Правильная уникальная техника приседаний, о которой никто не расскажетСкачать

Правильная уникальная техника приседаний, о которой никто не расскажет

Задача 3. Найти косинус угла между векторами.Скачать

Задача 3. Найти косинус угла между векторами.

Задание 3 ЕГЭ профиль #121Скачать

Задание 3 ЕГЭ профиль #121

#635 НАУКА Структура вакуума. Устройство Мироздания: версия Межзвездного Союза. Юмор в разных мирах.Скачать

#635 НАУКА Структура вакуума. Устройство Мироздания: версия Межзвездного Союза. Юмор в разных мирах.

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

О смысле комплексных чиселСкачать

О смысле комплексных чисел

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать

11 класс, 5 урок, Угол между векторами

9 класс, 17 урок, Угол между векторамиСкачать

9 класс, 17 урок, Угол между векторами

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика
Поделиться или сохранить к себе: