Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство

Геометрия Лобачевского

Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство

Пятой аксиомой Евклида была аксиома о параллельных прямых, так называемый постулат о параллельных линиях, который гласит: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны. То есть эта аксиома утверждает, что существует только одна прямая, проходящая через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой.

Сложная формулировка пятого постулата Евклида о параллельных линиях породила множество гипотез и предположений о возможной зависимости его от других постулатов. Были предприняты многочисленные попытки вывести его из остальных аксиом геометрии, но, к сожалению, они оказались тщетны. Усилия доказать пятый постулат от противного также не увенчались успехом.

И все же, в начале XX века почти одновременно несколько выдающихся математиков того времени — Карл Гаусс из Германии, Я. Больяи из Венгрии и Николай Иванович Лобачевский из России пришли к мысли о существовании другой, неевклидовой геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.

Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство

Поскольку Н. И. Лобачевский первым высказал эту идею в 1826 году, новая неевклидова геометрия была названа в его именем.

Геометрия Лобачевского имеет лишь одно отличие от евклидовой — аксиома параллельности заменяется на ее отрицание — аксиому параллельности Лобачевского.

Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство

Аксиома параллельности Лобачевского выглядит следующим образом:

Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a.

Непротиворечивость аксиомы доказывается представлением модели, в которой реализуются данные аксиомы.

Основы аналитической геометрии, заложенные Лобачевским, практически наметили необходимую для доказательства модель. Лобачевский заметил, что орисфера в пространстве изометрична евклидовой плоскости. Полностью реализовать модель смогли работы Клейна, Пуанкаре и других ученых.

Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство

Геометрия Лобачевского нашла широчайшее применение в современной науке. Сам Николай Иванович Лобачевский использовал свою геометрию для вычисления определенных интегралов.

В теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского способствовала успешному построению теории автоморфных функций. В этой теории связь с геометрией Лобачевского была основой для исследований Пуанкаре. По словам Анри Пуанкаре, «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи».

Кроме того, геометрия Лобачевского стала использоваться в теории чисел, а именно, в ее геометрических методах, так называемой «геометрии чисел».

Ученые также установили тесную связь геометрии Лобачевского с кинематикой — специальной теорией относительности. В основе этой связи лежит равенство, выражающее закон распространения света:

x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 ,

при делении на t 2 , то есть для скорости света, даёт уравнение сферы в пространстве с координатами vx, vy, vz, которые являются составляющими скорости света по осям х, у, z.

Преобразование Лоренца сохраняет эту сферу, а поскольку они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Из этого следует, (согласно модели Клейна) что в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с , значит есть для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.

В общей теории относительности геометрия Лобачевского также нашла свое место. Допуская возможным тот факт, что распределение масс материи во Вселенной равномерно (это приближение в космических масштабах допустимо), то при определенных условиях пространство имеет геометрию Лобачевского. Тем самым было доказано предположение Лобачевского о новой геометрии как возможной теории пространства.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Аксиома параллельности Лобачевского, основные следствия.

LV1. (Аксиома параллельности Лобачевского). В любой плоскости существует прямая а0 и точка А0, не принадлежащая этой прямой, такие, что через эту точку проходит по крайней мере две прямые, не пересекающие а0.

Множество точек, прямых и плоскостей, удовлетворяющих аксиомам принадлежности, порядка, конгруэнтности, непрерывности и аксиоме параллельности Лобачевского будем называть трехмерным пространством Лобачевского и обозначать через Л3. Большинство геометрических свойств фигур будут рассматриваться нами на плоскости пространства Л3, т.е. на плоскости Лобачевского. Обратим внимание на то, что формальное логическое отрицание аксиомы V1, аксиомы параллельности евклидовой геометрии, имеет именно ту формулировку, которую мы привели в качестве аксиомы LV1. На плоскости существует, по крайней мере, одна точка и одна прямая, для которых не выполнено утверждение аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Докажем теорему, из которой следует, что утверждение аксиомы параллельности Лобачевского справедливо для любой точки и любой прямой плоскости Лобачевского.

Теорема 13.1.Пусть а – произвольная прямая, А – точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует по крайней мере две прямые, проходящие через А и не пересекающие прямую а.

Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоДоказательство. Доказательство проведем методом «от противного», при этом воспользуемся теоремой 11.1 (см. § 11). Пусть в пространстве Лобачевского существует такая точка А и прямая а, что в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, через точку А проходит единственная прямая, не пересекающая а. Опустим и точки А перпендикуляр АВ на прямую а и в точке А восставим перпендикуляр h к прямой АВ (рис. 50). Как следует из теоремы 4.2 (см § 4) прямые h и а не пересекаются. Прямая h, в силу предположения, — единственная прямая, проходящая через А и не пересекающая а. Выберем на прямой а произвольную точку С. Отложим от луча АС в полуплоскости с границей АВ, не содержащей точку В, угол САМ, равный АСВ. Тогда, как следует из той же теоремы 4.2, прямая АМ не пересекает а. Из нашего предположения следует, что она совпадает с h. Поэтому точка М принадлежит прямой h. Треугольник АВС – прямоугольный, Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Вычислим сумму углов треугольника АВС: Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Из теоремы 11.1 следует, что выполнено условие аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Поэтому в рассматриваемой плоскости не может существовать таких точки А0 и прямой а0, что через эту точку проходит по крайней мере две прямые, не пересекающие а0. Мы пришли к противоречию с условием аксиомы параллельности Лобачевского. Теорема доказана.

Следует заметить, что в дальнейшем мы будем пользоваться утверждением именно теоремы 13.1, по сути, заменяя им утверждение аксиомы параллельности Лобачевского. Кстати, во многих учебниках именно это утверждение принято в качестве аксиомы параллельности геометрии Лобачевского.

Из теоремы 13.1 легко получить следующее следствие.

Следствие 13.2. В плоскости Лобачевского через точку, не лежащую на данной прямой, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную.

Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоДействительно, пусть а данная прямая, а А – точка, ей не принадлежащая, h1 и h2 – прямые, проходящие через А и не пересекающие а (рис. 51). Очевидно, что все прямые, которые проходят через точку А и лежат в одном из углов, образованных h1 и h2 (см. рис. 51), не пересекают прямую а.

В главе 2 мы доказали ряд утверждений, эквивалентных аксиоме параллельности евклидовой геометрии. Их логические отрицания характеризуют свойства фигур на плоскости Лобачевского.

Во первых, на плоскости Лобачевского справедливо логическое отрицание пятого постулата Евклида. В параграфе 9 нами был сформулирован сам постулат и доказана теорема о его эквивалентности аксиоме параллельности евклидовой геометрии (см. теорему 9.1). Его же логическое отрицание имеет вид:

Утверждение 13.3.На плоскости Лобачевского существуют две непересекающиеся прямые, которые при пересечении с третьей прямой образуют внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов.

В § 12 нами было сформулировано предложение Посидония: на плоскости существуют по крайней мере три коллинеарные точки, расположенные в одной полуплоскости от данной прямой и равноудаленные от нее. Также мы доказали теорему 12.6: предложение Посидония эквивалентно утверждению аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Таким образом, на плоскости Лобачевского действует отрицание этого утверждения.

Утверждение 13.4. Множество точек, равноудаленных от прямой на плоскости Лобачевского и расположенных в одной полуплоскости относительно ее, в свою очередь не лежат на одной прямой.

На плоскости Лобачевского множество точек, равноудаленных от прямой и принадлежащей одной полуплоскости относительно этой прямой, образуют кривую линию, так называемую эквидистанту. Ее свойства будут рассмотрены нами позже.

Рассмотрим теперь предложение Лежандра: перпендикуляр, проведенный к стороне острого угла в любой точке этой стороны, пересекает вторую сторону угла. Доказанная нами теорема 11.6 (см. § 11) утверждает, что предложение Лежандра эквивалентно аксиоме параллельности евклидовой геометрии. Отсюда следует, на плоскости Лобачевского справедливо логическое отрицание этого предложения.

Утверждение 13.5. На стороне любого острого угла существует такая точка, что перпендикуляр к ней, восставленный в этой точке, не пересекает вторую сторону угла.

Отметим свойства треугольников и четырехугольников плоскости Лобачевского, которые непосредственно следуют из результатов параграфов 9 и 11. Прежде всего, теорема 11.1. утверждает, что предположение о существовании треугольника, сумма углов которого совпадает с суммой двух прямых углов, равносильно аксиоме параллельности евклидовой плоскости. Отсюда и из первой теоремы Лежандра (см. теорему 10.1, § 10) следует следующее утверждение

Утверждение 13.6. На плоскости Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 2d.

Отсюда непосредственно вытекает, что сумма углов любого выпуклого четырехугольника меньше 4d, а сумма углов любого выпуклого n – угольника меньше 2(n-1)d.

Так как на евклидовой плоскости углы, прилежащие к верхнему основанию четырехугольника Саккери равны прямым углам, что в соответствии с теоремой 12.3 (см. § 12) равносильно аксиоме параллельности евклидовой геометрии, то можно сделать следующий вывод.

Утверждение 13.7. Углы, прилегающие к верхнему основанию четырехугольника Саккери – острые.

Нам осталось рассмотреть еще два свойства треугольников на плоскости Лобачевского. Первое из них связано с предложением Валлиса: на плоскости существует хотя бы одна пара треугольников с соответственно равными углами, но не равными сторонами. В параграфе 11 мы доказали, что это предложение эквивалентно аксиоме параллельности евклидовой геометрии (см. теорему 11.5). Логическое отрицание этого утверждения приводит нас к следующему выводу: на плоскости Лобачевского не существует треугольников с равными углами, но не равными сторонами. Таким образом, справедливо следующее предложение.

Утверждение 13.8. (четвертый признак равенства треугольников на плоскости Лобачевского).Любые два треугольника на плоскости Лобачевского, имеющие соответственно равные углы, равны между собой.

Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоРассмотрим теперь следующий вопрос. Вокруг любого ли треугольника на плоскости Лобачевского можно описать окружность? Ответ на него дает теорема 9.4 (см. § 9). В соответствии с этой теоремой, если вокруг любого треугольника на плоскости можно описать окружность, то на плоскости выполнено условие аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Поэтому логическое отрицание утверждения этой теоремы приводит нас к следующему предложению.

Утверждение 13.9. На плоскости Лобачевского существует треугольник, вокруг которого нельзя описать окружность.

Легко построить пример такого треугольника. Выберем некоторую прямую а и точку А, которая ей не принадлежит. Опустим из точки А перпендикуляр h на прямую а. В силу аксиомы параллельности Лобачевского существует прямая b, проходящая через А и не перпендикулярная h, которая не пересекает а (рис. 52). Как известно, если вокруг треугольника описана окружность, то ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Поэтому нам достаточно привести пример такого треугольника, серединные перпендикуляры которого не пересекаются. Выберем точку М на прямой h, так как показано на рисунке 52. Симметрично отобразим ее относительно прямых а и b, получим точки N и P. Так как прямая b не перпендикулярна h, то точка Р не принадлежит h. Поэтому точки M, N и P составляют вершины треугольника. Прямые а и b служат по построению его серединными перпендикулярами. Они же, как было сказано выше, не пересекаются. Треугольник MNP – искомый.

Легко построить пример треугольника плоскости Лобачевского, вокруг которого можно описать окружность. Для этого достаточно взять две пересекающиеся прямые, выбрать точку, которая им не принадлежит, и отразить ее относительно этих прямых. Проведите подробное построение самостоятельно.

Определение 14.1. Пусть даны две направленные прямые Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Они называются параллельными, если выполнены условия:

1. Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствопрямые а и b не пересекаются;

2. для произвольных точек А и В прямых а и b любой внутренний луч h угла АВB2 пересекает прямую а (рис. 52).

Обозначать параллельные прямые будем так же, как принято в школьном курсе геометрии: a || b. Заметим, что этому определению удовлетворяют параллельные прямые на евклидовой плоскости.

Теорема 14.3. Пусть на плоскости Лобачевского дана направленная прямая Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои точка В, которая ей не принадлежит. Тогда через данную точку проходит единственная направленная прямая Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствотакая, что прямая а параллельна прямой b.

Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоДоказательство.Опустим из точки В перпендикуляр ВА на прямую а и из точки В восставим перпендикуляр р к прямой ВА (рис. 56 а). Прямая р, как уже неоднократно отмечалось, не пересекает данную прямую а. Выберем на ней произвольную точку С, разобьем точки отрезка АС на два класса Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Первому классу Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствобудут принадлежать такие точки S этого отрезка, для которых луч BS пересекает луч АА2, а второму классу Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствопринадлежат такие точки T, для которых луч ВТ не пересекает луч АА2. Покажем, что такое разбиение на классы производит дедекиндово сечение отрезка АС. В соответствии с теоремой 4.3 (см. § 4) нам следует проверить, что:

1. Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоÆ;

2. Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои классы Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствосодержат точки, отличные от А и С;

3. любая точка класса Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, отличная от А, лежит между точкой А и любой точкой класса Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство.

Первое условие очевидно, все точки отрезка принадлежат одному или другому классу, при этом сами классы, исходя из их определения, не имеют общих точек.

Второе условие также легко проверить. Очевидно, что Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Класс Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствосодержит точки, отличные от А, для проверки этого утверждения достаточно выбрать какую либо точку луча АА2 и соединить ее с точкой В. Этот луч пересечет отрезок ВС в точке первого класса. Класс Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствотакже содержит точки, отличные от С, иначе мы придем к противоречию с аксиомой параллельности Лобачевского.

Докажем третье условие. Пусть существует такая точка S первого класса, отличная от А, и такая точка Т второго класса, что точка Т лежит между А и S (см. рис 56 а). Так как Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, то луч BS пересекает луч АА2 в некоторой точке R. Рассмотрим луч ВТ. Он пересекает сторону AS треугольника ASR в точке Т. В соответствии с аксиомой Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоПаша этот луч должен пересечь либо сторону AR, либо сторону SR этого треугольника. Предположим, что луч ВТ пересекает сторону SR в некоторой точке О. Тогда через точки В и О проходит две различные прямые ВТ и BR, что противоречит аксиоме Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоаксиоматики Гильберта. Таким образом, луч ВТ пересекает сторону AR, откуда следует, что точка Т не принадлежит классу К2. Полученное противоречие приводит к утверждению, точка S лежит между А и Т. Условие теоремы 4.3 проверено полностью.

В соответствии с заключением теоремы 4.3 о дедекиндовом сечении на отрезке АС существует такая точка Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, для которой любая точка, лежащая между А и Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствопринадлежит классу Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, а любая точка, лежащая между Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои С — принадлежит классу Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Покажем, что направленная прямая Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствопараллельна прямой Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. По сути, нам осталось доказать, что Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоне пересекает прямую а, так как в силу выбора точек класса К1 любой внутренний луч угла Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствопересекает Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Предположим, что прямая Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствопересекает прямую а в некоторой точке Н (рис 56 б). Выберем произвольную точку Р на луче НА2 и рассмотрим луч ВР. Тогда он пересекает отрезок М0С в некоторой точке Q (докажите это утверждение самостоятельно). Но внутренние точки отрезка М0С принадлежат второму классу, луч ВР не может иметь общих точек с прямой а. Таким образом, наше предположение о пересечении прямых ВМ0 и а неверно.

Легко проверить, что прямая Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоединственная направленная прямая, проходящая через точку В и параллельная Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Действительно, пусть через точку В проходит еще одна направленная прямая Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, которая, как и Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, параллельна Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. При этом будем считать, что М1 – точка отрезка АС. Тогда, исходя из определения класса К2, Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Поэтому, луч ВМ0 является внутренним лучом угла Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, следовательно, в силу определения 14.1 пересекает прямую Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Мы пришли к противоречию с доказанным выше утверждением. Теорема 14.3 доказана полностью.

Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоРассмотрим точку В и направленную прямую Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, которая ее не содержит. В соответствии с доказанной теоремой 14.3 через точку В проходит направленная прямая Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, параллельная а. Опустим из точки В перпендикуляр BH на прямую а (рис. 57). Легко видеть, что угол HBB2 – острый. Действительно, если предположить, что этот угол прямой, то из определения 14.1 следует, что любая прямая, проходящая через точку В пересекает прямую а, что противоречит теореме 13.1, т.е. аксиоме LV1 параллельности Лобачевского (см. § 13). Легко видеть, что предположение о том, что этот угол тупой, также приводит к противоречию теперь уже с определением 14.1 и теоремой 4.2 (см. §4), так как внутренний луч угла HBB2, перпендикулярный ВН не пересекает луч АА2. Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 14.4. Пусть направленная прямая Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствопараллельна направленной прямой Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Если из точки В прямой Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоопустить перпендикуляр ВН на прямую Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, то угол HBB2 – острый.

Из этой теоремы с очевидностью вытекает следующее следствие.

Следствие. Если существует общий перпендикуляр направленных прямых Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, то прямая Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоне параллельна прямой Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство.

Введем понятие параллельности для ненаправленных прямых. Будем считать, что две ненаправленные прямые параллельны, если на них можно выбрать направления так, чтобы они удовлетворяли определению 14.1. Как известно, прямая имеет два направления. Поэтому, из теоремы 14.3 следует, что через точку В, не принадлежащей прямой а проходит две ненаправленные прямые, параллельные данной прямой. Очевидно, они симметричны относительно перпендикуляра, опущенного из точки В на прямую а. Эти две прямые и являются теми самыми пограничными прямыми, разделяющими пучок прямых, проходящих через точку В и пересекающих а, от пучка прямых, проходящих через В и не пересекающих прямую а (рис. 57).

Теорема 15.2. (Свойство симметричности параллельных прямых на плоскости Лобачевского).Пусть направленная прямая Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствопараллельна направленной прямой Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Тогда направленная прямая Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствопараллельна прямой Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство.

Свойство симметричности понятия параллельности прямых на плоскости Лобачевского позволяет нам не указывать порядок направленных параллельных прямых, т.е. не уточнять, какая прямая является первой, а какая второй. Очевидно, что свойство симметричности понятия параллельности прямых имеет место и на евклидовой плоскости. Оно непосредственно следует из определения параллельных прямых в евклидовой геометрии. В евклидовой геометрии выполняется также свойство транзитивности для параллельных прямых. Если прямая а параллельна прямой b, а прямая b параллельна прямой с. то прямые а и с также параллельны между собой. Аналогичное свойство справедливо и для направленных прямых на плоскости Лобачевского.

Теорема 15.3. (Свойство транзитивности параллельных прямых на плоскости Лобачевского).Пусть даны три различные направленные прямые Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Если Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, то Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство.

Рассмотрим направленную прямую Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, параллельную направленной прямой Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Пересечем их прямой Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Точки А и В соответственно точки пересечения прямых Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство(рис. 60). Справедлива следующая теорема.

Теорема 15.4. Угол Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствобольше угла Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство.

Теорема 15.5. Внешний угол вырожденного треугольника больше внутреннего угла, не смежного с ним.

Доказательство непосредственно следует из теоремы 15.4. Проведите его самостоятельно.

Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоРассмотрим произвольный отрезок АВ. Через точку А проведем прямую а, перпендикулярную к АВ, а через точку В прямую b, параллельную а (рис. 63). Как следует из теоремы 14.4 (см. § 14) прямая bне перпендикулярна прямой АВ.

Определение 16.1. Острый угол, образованный прямыми АВ и b называется углом параллельности отрезка АВ.

Ясно, что каждому отрезку соответствует некоторый угол параллельности. Справедлива следующая теорема.

Теорема 16.2. Равным отрезкам соответствуют равные углы параллельности.

Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоДоказательство.Пусть даны два равных отрезкаАВ и А¢В¢. Проведем через точки А и А¢ направленные прямые Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, перпендикулярные соответственно АВ и А¢В¢, а через точки В и В¢ направленные прямые Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, параллельные соответственно Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство(рис. 64). Тогда Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствосоответственно углы параллельности отрезков АВ и А¢В¢. Предположим, что

Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. (1)

Отложим от луча ВА в полуплоскости ВАА2 угол a2, Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство(см. рис. 64). В силу неравенства (1), луч l – внутренний луч угла АВВ2. Так как Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство½½ Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, то l пересекает луч АА2 в некоторой точке Р. Отложим на луче А¢А2¢ от точки А¢ отрезок А¢Р¢, равный АР. Рассмотрим треугольники АВР и А¢В¢Р¢. Они прямоугольные, по условию теоремы имеют равные катеты АВ и А¢В¢, по построению равны между собой вторая пара катетов АР и А¢Р¢. Таким образом, прямоугольный треугольник АВР равен треугольнику А¢В¢Р¢. Поэтому Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. С другой стороны, луч В¢Р¢, пересекает луч А¢А2¢, а направленная прямая В1¢В2¢ параллельна прямой А1¢А2¢. Следовательно луч В¢Р¢- внутренний луч угла А¢В¢В2¢, Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Полученное противоречие опровергает наше предположение, неравенство (1) – ложно. Аналогично доказывается, что угол Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоне может быть меньше угла Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь, как связаны между собой углы параллельности неравных отрезков.

Теорема 16.3. Пусть отрезок АВ больше отрезка А¢В¢, а углы Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствосоответственно их углы параллельности. Тогда Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство.

Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоДоказательство.Доказательство этой теоремы непосредственно следует из теоремы 15.5 (см. § 15) о внешнем угле вырожденного треугольника. Рассмотри отрезок АВ. Проведем через точку А направленную прямую Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, перпендикулярную АВ, а через точку В направленную прямую Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, параллельную Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство(рис. 65). Отложим на луче АВ отрезок АР, равный А¢В¢. Так как Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, то Р – внутренняя точка отрезка АВ. Проведем через Р направленную прямую С1С2, так же параллельную Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Угол Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствослужит углом параллельности отрезка А¢В¢, а угол Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство— углом параллельности отрезка АВ. С другой стороны, из теоремы 15.2 о симметричности понятия параллельности прямых (см. § 15) следует, что прямая С1С2 параллельна прямой Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Поэтому треугольник РВС2А2 – вырожденный, Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство— внешний, а Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство— его внутренний углы. Из теоремы 15.5 следует истинность доказываемого утверждения.

Легко доказать обратное утверждение.

Теорема 16.4.Пусть Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоуглы параллельности отрезков АВ и А¢В¢. Тогда, если Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, то АВ > А¢В¢.

Доказательство.Предположим противное, Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Тогда из теорем 16.2 и 16.3 следует, что Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, что противоречит условию теоремы.

И так мы доказали, что каждому отрезку соответствует свой угол параллельности, причем большему отрезку соответствует меньший угол параллельности. Рассмотрим утверждение, в котором доказывается, что для любого острого угла существует отрезок, для которого этот угол является углом параллельности. Тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между отрезками и острыми углами на плоскости Лобачевского.

Теорема 16.5. Для любого острого угла существует отрезок, для которого этот угол является углом параллельности.

Доказательство.Пусть дан острый угол АВС (рис. 66). Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоБудем считать, что все рассматриваемые в дальнейшем точки на лучах ВА и ВС лежат между точками В и А и В и С. Назовем луч допустимым, если его начало принадлежит стороне угла ВА, он перпендикулярен прямой ВА и расположен в той же полуплоскости относительно прямой ВА, что и сторона ВС данного угла. Обратимся к предложению Лежандра: перпендикуляр, проведенный к стороне острого угла в любой точке этой стороны, пересекает вторую сторону угла. Нами была доказана теорема 11.6 (см. § 11), в которой утверждается, что предложение Лежандра эквивалентно аксиоме параллельности евклидовой геометрии. Отсюда мы сделали вывод, что на плоскости Лобачевского справедливо логическое отрицание этого утверждения, а именно, на стороне любого острого угла существует такая точка, что перпендикуляр к ней, восставленный в этой точке, не пересекает вторую сторону угла (см. § 13). Таким образом, существует такой допустимый луч m с началом в точке М, который не пересекает сторону ВС данного угла (см. рис. 66).

Разобьем точки отрезка ВМ на два класса. Классу Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствобудут принадлежать те точки этого отрезка, для которых допустимые лучи с началами в этих точках пересекают сторону ВС данного угла, а классу Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствопринадлежат те точки отрезка ВС, для которых допустимые лучи с началами в этих точках сторону ВС не пересекают. Покажем, что такое разбиение отрезка ВМ образует дедекиндово сечение (см. теорему 4.3, § 4). Для этого следует проверить, что

4. Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоÆ;

5. Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои классы Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствосодержат точки, отличные от В и М;

6. любая точка класса Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, отличная от В, лежит между точкой В и любой точкой класса Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство.

Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоПервое условие с очевидностью выполняется. Любая точка отрезка ВМ принадлежит либо классу К1, либо классу К2. При этом точка, в силу определения этих классов, не может принадлежать двум классам одновременно. Очевидно, можно считать, что Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, точка М принадлежит К2, так как допустимый луч с началом в точке М не пересекает ВС. Класс К1 содержит по крайней мере одну точку, отличную от В. Для ее построения достаточно выбрать произвольную точку P на стороне ВС и опустить из нее перпендикуляр PQ на луч ВА. Если предположить, что точка Q лежит между точками М и А, то тогда точки Р и Q лежат в различных полуплоскостях относительно прямой, содержащей луч m (см. рис. 66). Поэтому отрезок РQ пересекает луч m в некоторой точке R. Мы получим, что из точки R на прямую ВА опущено два перпендикуляра, что противоречит теореме 4.2 (см. § 4). Таким образом, точка Q принадлежит отрезку ВМ, класс К1 содержит точки, отличные от В. Легко объяснить, почему на луче ВА существует отрезок, содержащий по крайней мере одну точку, принадлежащую классу К2 и отличную от его конца. Действительно, если класс К2 рассматриваемого отрезка ВМ содержит единственную точку М, то тогда выберем произвольную точку М¢ между М и А. Рассмотрим допустимый луч m¢ с началом в точке М¢. Он не пересекает луч m, иначе из точки опущены два перпендикуляра на прямую АВ, поэтому m¢ не пересекает луч ВС. Отрезок ВМ¢ искомый, и все дальнейшие рассуждения следует проводить для отрезка ВМ¢.

Проверим справедливость третьего условия теоремы 4.3. Предположим, что существуют такие точки Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, что точка Р лежит между точкой U и М (рис. 67). Проведем допустимые лучи u и p с началами в точках U и P. Так как Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, то луч р пересекает сторону ВС данного угла в некоторой точке Q. Прямая, содержащая луч u, пересекает сторону ВР треугольника ВРQ, поэтому согласно аксиоме Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоаксиоматике Гильберта (аксиома Паша, см. § 3) она пересекает либо сторону ВQ, либо сторону PQ этого треугольника. Но, Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, поэтому луч u не пересекает сторону ВQ, следовательно, лучи р и u пересекаются в некоторой точке R. Мы снова пришли к противоречию, так как построили точку, из которой опущены два перпендикуляра на прямую АВ. Условие теоремы 4.3 выполнено полностью.

Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоТаким образом, в соответствии с заключением теоремы 4.3, существует такая точка Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоотрезка [ВМ], для которой любая точка, лежащая между В и Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствопринадлежит классу Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, а любая точка, лежащая между Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои М — классу Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Докажем, что допустимый луч Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствос началом в точке Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствопараллелен прямой ВС. Для этого, во-первых, докажем, что луч Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоне пересекает прямую ВС. Предположим противное, Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствопересекает сторону ВС данного угла в некоторой точке Т (рис. 68). Выберем точку S луча ВС, лежащую между Т и С, и опустим из нее перпендикуляр на прямую ВА. Ясно, что основание N этого перпендикуляра будет принадлежать отрезку Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоМ. Отсюда следует, что Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Мы получили противоречие, так как построили точку класса К1, расположенную между точками Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои М. Нам осталось показать, что любой внутренний луч угла Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствопересекает луч ВС. Рассмотрим произвольный внутренний луч h этого угла. Выберем на нем произвольную точку К, принадлежащую углу Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство, и опустим из нее перпендикуляр на прямую ВА (рис. 69). Основание S этого перпендикуляра, очевидно, принадлежит отрезку ВМ0, т.е. классу К1 (докажите этот факт самостоятельно). Отсюда следует, что перпендикуляр KS пересекает сторону ВС данного угла в некоторой точке Т (см. рис. 69). Луч h пересек сторону ST треугольника BST в точке К, согласно аксиоме Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство(аксиоме Паша), он должен пересечь либо сторону BS, либо сторону ВТ этого треугольника. Ясно, что h не пересекает отрезок BS, иначе через две точки, Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствои эту точку пересечения, проходят две прямые, h и ВА. Таким образом, h пересекает сторону ВТ, т.е. луч ВА. Теорема доказана полностью.

И так, мы установили, что каждому отрезку в геометрии Лобачевского можно поставить в соответствие острый угол – его угол параллельности. Будем считать, что нами введена мера углов и отрезков, отметим, что мера отрезков будет введена нами позже, в § . Ведем следующее определение.

Определение 16.6. Если под х понимается длина отрезка, а под j — величина угла, то зависимостьj = P(х), ставящая в соответствие длине отрезка величину его угла параллельности, называется функцией Лобачевского.

Ясно, что Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Используя свойства угла параллельности отрезка, доказанные выше (см. теоремы 16.3 и 16.4), можно сделать следующий вывод: функция Лобачевского является монотонно убывающей. Николаем Ивановичем Лобачевским была получена следующая замечательная формула:

Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство,

где k – некоторое положительное число. Оно имеет важное значение в геометрии пространства Лобачевского, и носит название его радиуса кривизны. Два пространства Лобачевского, имеющие один и тот же радиус кривизны, изометричны. Из приведенной формулы, как нетрудно видеть, также следует, что j = P(х) монотонно убывающая непрерывная функция, значения которой принадлежат интервалу Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство.

Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствоНа евклидовой плоскости зафиксируем окружность w с центром в некоторой точке O и радиусом, равным единице, которую будем называть абсолютом. Множество всех точек круга, ограниченного окружностью w, обозначим через W¢, а множество всех внутренних точек этого круга — через W. Таким образом, Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство. Точки множества W будем называть L‑точками Множество W всех L-точек составляет L-плоскость, на которой мы и будем строить модель Кэли-Кляйна плоскости Лобачевского. Будем называть L‑прямыми произвольные хорды окружности w. Будем считать, что L-точка X принадлежит L‑прямой x тогда и только тогда, когда точка X как точка евклидовой плоскости принадлежит хорде x абсолюта.

L‑плоскости имеет место аксиома параллельности Лобачевского: через L‑точку B, не лежащую на L‑прямой a проходят по крайней мере две L‑прямые b и c, не имеющие общих точек с L‑прямой a. На рисунке 94 приведена иллюстрация этого утверждения. Легко также понять, что из себя представляют параллельные направленные прямые L-плоскости. Рассмотрим рисунок 95. L-прямая b проходит через точку пересечения L-прямой a с абсолютом. Поэтому направленная L-прямая А1А2 параллельна направленной L-прямой В1А2. Действительно, эти прямые не пересекаются, и, если выбрать произвольные L-точки А и В, принадлежащие соответственно этим прямым, то любой внутренний луч h угла А2ВА пересекает прямую а. Таким образом, две L-прямые параллельны, если они имеют общую точку пересечения Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательствос абсолютом. Ясно, что выполняется свойство симметричности и транзитивности понятия параллельности L-прямых. В параграфе 15 свойство симметричности нами было доказано, свойство же транзитивности иллюстрируется на рисунке 95. Прямая А1А2 параллельна прямой В1А2, они пересекают абсолют в точке А2. Прямые В1А2 и С1А2 также параллельны, они также пересекают абсолют в той же точке А2. Поэтому прямые А1А2 и С1А2 параллельны между собой.

Таким образом, определенные выше основные понятия удовлетворяют требованиям аксиом I1-I3, II, III, IV групп аксиоматики Гильберта и аксиоме параллельности Лобачевского, следовательно являются моделью плоскости Лобачевского. Нами доказана содержательная непротиворечивость планиметрии Лобачевского. Сформулируем это утверждение как следующую теорему.

Теорема 1. Геометрия Лобачевского содержательно непротиворечива.

Мы построили модель плоскости Лобачевского, с построением же пространственной модели, аналогичной рассмотренной на плоскости, можно познакомиться в пособии [4].

Из теоремы 1 следует важнейший вывод. Аксиома параллельности не является следствием аксиом I – IV аксиоматики Гильберта. Так как пятый постулат Евклида равносилен аксиоме параллельности евклидовой геометрии, то этот постулат также не зависит от остальных аксиом Гильберта.

|следующая лекция ==>
Тахеометрическая съемка|Параллельное проектирование и его свойства.

Дата добавления: 2016-02-02 ; просмотров: 7114 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)

ЛОБАЧЕ́ВСКОГО ГЕОМЕ́ТРИЯ

  • В книжной версии

    Том 17. Москва, 2010, стр. 712-714

    Скопировать библиографическую ссылку:

    • Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство
    • Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство
    • Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство
    • Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство
    • Теорема лобачевского о параллельных прямых доказательство

    ЛОБАЧЕ́ВСКОГО ГЕОМЕ́ТРИЯ, од­на из не­евк­ли­до­вых гео­мет­рий, ос­но­ва­на на тех же по­сыл­ках, что и обыч­ная – евк­ли­до­ва гео­мет­рия, за ис­клю­че­ни­ем ак­сио­мы о па­рал­лель­ных, ко­то­рая за­ме­ня­ет­ся на иную. Евк­ли­до­ва ак­сио­ма о па­рал­лель­ных со­сто­ит в том, что че­рез точ­ку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, про­хо­дит не бо­лее чем од­на пря­мая, ле­жа­щая с дан­ной пря­мой в од­ной плос­ко­сти и не пе­ре­се­каю­щая её (в евк­ли­до­вой гео­мет­рии та­кие пря­мые на­зы­ва­ют па­рал­лель­ны­ми). В Л. г. эта ак­сио­ма за­ме­ня­ет­ся сле­дую­щей: че­рез точ­ку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, про­хо­дят по край­ней ме­ре две пря­мые, ле­жа­щие с дан­ной пря­мой в од­ной плос­ко­сти и не пе­ре­се­каю­щие её (дос­та­точ­но, что­бы это бы­ло вы­пол­не­но для од­ной точ­ки и од­ной пря­мой). На­ча­ло Л. г. бы­ло по­ло­же­но Н. И. Ло­ба­чев­ским , ко­то­рый впер­вые со­об­щил о ней в 1826. Не­сколь­ко позд­нее эту же тео­рию пред­ло­жил Я. Боль­яй ; по­это­му Л. г. ино­гда на­зы­ва­ют гео­мет­ри­ей Ло­ба­чев­ско­го – Боль­яя. Её так­же на­зы­ва­ют не­евк­ли­до­вой гео­мет­ри­ей, хо­тя обыч­но тер­ми­ну «не­евк­ли­до­ва гео­мет­рия» при­да­ют бо­лее ши­ро­кий смысл, вклю­чая сю­да и др. тео­рии, воз­ник­шие вслед за Л. г., а так­же тео­рии, ос­но­ван­ные на из­ме­не­нии по­сы­лок евк­ли­до­вой гео­мет­рии. Л. г. ино­гда на­зы­ва­ют ги­пер­бо­лич. не­евк­ли­до­вой гео­мет­ри­ей в про­ти­во­по­лож­ность эл­лип­тич. гео­мет­рии Ри­ма­на (см. Не­евк­ли­до­вы гео­мет­рии , Ри­ма­на гео­мет­рия ).

    🌟 Видео

    1. Лобачевский и его наследие. Основные постулаты геометрии.Скачать

    1. Лобачевский и его наследие. Основные постулаты геометрии.

    2. Пятый постулат геометрииСкачать

    2. Пятый постулат геометрии

    Что на самом деле доказал Лобачевский?Скачать

    Что на самом деле доказал Лобачевский?

    НЕЕВКЛИДОВАЯ ГЕОМЕТРИЯ. оказывается это так просто...Скачать

    НЕЕВКЛИДОВАЯ ГЕОМЕТРИЯ. оказывается это так просто...

    #177. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО (советский диафильм)Скачать

    #177. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО (советский диафильм)

    Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

    Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

    Мнимая ошибка, над которой ломали голову 2 000 лет [Veritasium]Скачать

    Мнимая ошибка, над которой ломали голову 2 000 лет [Veritasium]

    Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

    Параллельность прямых. 10 класс.

    7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

    7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

    Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать

    Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.

    Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

    #223. МИФЫ И ЛЕГЕНДЫ школьной математикиСкачать

    #223. МИФЫ И ЛЕГЕНДЫ школьной математики

    Лобачевский против Евклида: две геометрии одного мираСкачать

    Лобачевский против Евклида: две геометрии одного мира

    Неевклидова геометрия Лобачевского — Валентина КириченкоСкачать

    Неевклидова геометрия Лобачевского — Валентина Кириченко

    7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

    7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

    Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

    Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||

    7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

    7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей
    Поделиться или сохранить к себе: