Суммы сторон треугольника правило

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
Содержание
  1. Типы треугольников
  2. По величине углов
  3. По числу равных сторон
  4. Вершины углы и стороны треугольника
  5. Свойства углов и сторон треугольника
  6. Теорема синусов
  7. Теорема косинусов
  8. Теорема о проекциях
  9. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  10. Медианы треугольника
  11. Свойства медиан треугольника:
  12. Формулы медиан треугольника
  13. Биссектрисы треугольника
  14. Свойства биссектрис треугольника:
  15. Формулы биссектрис треугольника
  16. Высоты треугольника
  17. Свойства высот треугольника
  18. Формулы высот треугольника
  19. Окружность вписанная в треугольник
  20. Свойства окружности вписанной в треугольник
  21. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  22. Окружность описанная вокруг треугольника
  23. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  24. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  25. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  26. Средняя линия треугольника
  27. Свойства средней линии треугольника
  28. Периметр треугольника
  29. Формулы площади треугольника
  30. Формула Герона
  31. Равенство треугольников
  32. Признаки равенства треугольников
  33. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  34. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  35. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  36. Подобие треугольников
  37. Признаки подобия треугольников
  38. Первый признак подобия треугольников
  39. Второй признак подобия треугольников
  40. Третий признак подобия треугольников
  41. Треугольник
  42. Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем
  43. треугольнике равен 60 º.
  44. 4. Продолжая одну из сторон треугольника ( AC , рис.25), получаем внешний
  45. угол BCD . Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
  46. не смежных с ним : BCD = A + B .
  47. 5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше
  48. их разности ( a b – c; b b > a – c; c c > a – b ).
  49. 51. Планиметрия Читать 0 мин.
  50. 51.180. Треугольники

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Типы треугольников

По величине углов

Суммы сторон треугольника правило

Суммы сторон треугольника правило

Суммы сторон треугольника правило

По числу равных сторон

Суммы сторон треугольника правило

Суммы сторон треугольника правило

Суммы сторон треугольника правило

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Суммы сторон треугольника правило

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Медианы треугольника

Суммы сторон треугольника правило

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Биссектрисы треугольника

Суммы сторон треугольника правило

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№24 - Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треуг.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№24 - Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треуг.)

Высоты треугольника

Суммы сторон треугольника правило

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Неравенства треугольника. 7 класс.Скачать

Неравенства треугольника. 7 класс.

Окружность вписанная в треугольник

Суммы сторон треугольника правило

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Лайфхак для школьников\Теорема: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторонСкачать

Лайфхак для школьников\\Теорема: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

Окружность описанная вокруг треугольника

Суммы сторон треугольника правило

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Почему каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон?Скачать

Почему каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон?

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Задача про соотношение сторон. Геометрия 7 класс.Скачать

Задача про соотношение сторон. Геометрия 7 класс.

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Суммы сторон треугольника правило

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:7 класс, 34 урок, Неравенство треугольникаСкачать

7 класс, 34 урок, Неравенство треугольника

Периметр треугольника

Суммы сторон треугольника правило

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:Неравенство треугольника ★ Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторонСкачать

Неравенство треугольника ★ Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

Формулы площади треугольника

Суммы сторон треугольника правило

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:Каждая сторона треугольника меньше суммы...Скачать

Каждая сторона треугольника меньше суммы...

Подобие треугольников

Суммы сторон треугольника правило

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)

Треугольник

Треугольник. Остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольник.

Катеты и гипотенуза. Равнобедренный и равносторонний треугольник.

Основные свойства треугольников. Сумма углов треугольника.

Внешний угол треугольника. Признаки равенства треугольников.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Замечательные линии и точки в треугольнике: высоты, медианы,

биссектрисы, срединны e перпендикуляры, ортоцентр,

центр тяжести, центр описанного круга, центр вписанного круга.

Теорема Пифагора. Соотношение сторон в произвольном треугольнике.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

Суммы сторон треугольника правило
Если все три угла острые ( рис.20 ), то это остроугольный треугольник . Если один из углов прямой ( Суммы сторон треугольника правилоC, рис.21 ), то это прямоугольный треугольник; стороны a , b , образующие прямой угол, называются катетами; сторона c , противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой ( Суммы сторон треугольника правилоB, рис.22 ), то это тупоугольный треугольник.
Суммы сторон треугольника правило
Треугольник ABC ( рис.23 ) — равнобедренный , если две его стороны равны ( a = c ); эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник ABC ( рис.24 ) – равносторонний , если все его стороны равны ( a = b = c ). В общем случае ( abc ) имеем неравносторонний треугольник.

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

Видео:Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем

Видео:Задача про стороны треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Задача про стороны треугольника. Геометрия 7 класс.

треугольнике равен 60 º.

Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать

Треугольники. 7 класс.

4. Продолжая одну из сторон треугольника ( AC , рис.25), получаем внешний

Видео:Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?

угол Суммы сторон треугольника правилоBCD . Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

не смежных с ним : Суммы сторон треугольника правилоBCD = Суммы сторон треугольника правилоA + Суммы сторон треугольника правилоB .

Видео:7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольникаСкачать

7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше

их разности ( a bc; b b > ac; c c > ab ).

Признаки равенства треугольников.

Треугольники равны, если у них соответственно равны:

a ) две стороны и угол между ними;

b ) два угла и прилегающая к ним сторона;

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Д ва прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:

1) равны их катеты;

2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;

3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;

4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;

5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Замечательные линии и точки в треугольнике.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника . Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке , называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника ( точка O , рис.26 ) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника ( точка O , рис.27 ) снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Суммы сторон треугольника правило

Медиана – это отрезок , соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника ( AD , BE , CF , рис.28 ) пересекаются в одной точке O , всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника ( AD , BE , CF , рис.29 ) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга (см. раздел «Вписанные и описанные многоугольники»).

Суммы сторон треугольника правило

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам ; например, на рис.29 AE : CE = AB : BC .

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС ( KO , MO , NO , рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга ( точки K , M , N – середины сторон треугольника ABC ).

Суммы сторон треугольника правило

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном — в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство теоремы Пифагора с очевидностью следует из рис.31. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами a , b и гипотенузой c .

Суммы сторон треугольника правило

Построим квадрат AKMB , используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF , сторона которого равна a + b . Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна ( a + b ) 2 . С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB , то есть

и окончательно имеем:

Соотношение сторон в произвольном треугольнике.

В общем случае ( для произвольного треугольника ) имеем:

где C – угол между сторонами a и b .

Copyright © 2004 — 2012 Др. Юрий Беренгард. All rights reserved.

51. Планиметрия Суммы сторон треугольника правилоЧитать 0 мин.

51.180. Треугольники

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА:

Суммы сторон треугольника правило

1. Сумма углов в треугольнике равна α + β + γ = 180°.

2. Против большей стороны находится больший угол; против меньшего угла находится меньшая сторона. Отсюда следует, что если:

Если это правило не выполняется — треугольник не существует.

4. Формулы площади треугольника:

1 (через высоту)

2 (через две стороны и синус угла между ними)

3 (формула Герона)

Суммы сторон треугольника правило

Суммы сторон треугольника правило

Суммы сторон треугольника правило

$S = displaystylefrac12 a h_a$

$S = displaystylefracab,sin alpha$

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними.

Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения его полупериметра на разности полупериметра и каждой из его сторон.

5. Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Суммы сторон треугольника правило

6. Теорема синусов: Отношения сторон треугольника к синусам противоположных им углов равны. Это отношение равно 2R, где R — радиус описанной окружности.

Суммы сторон треугольника правило

7. Внешний угол треугольника — δ, является смежным с одним из внутренних углов (сумма = 180°). Из этого следует, что внешний угол равен сумме двух внутренних, но не смежных с ним, углов треугольника (α + β = δ).

Суммы сторон треугольника правило

ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ:

  • остроугольными (если все его углы острые),
  • тупоугольными (если один из его углов тупой),
  • прямоугольными (если один из его углов прямой).
  • равнобедренным, если две его стороны равны;
  • равносторонним, если все три стороны равны;
  • разносторонним, если все его стороны разные.

ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА:

БИССЕКТРИСА

Биссектриса ― луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, при этом разделяя угол на две равные части.

Суммы сторон треугольника правило

Свойства биссектрисы треугольника:

1. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр вписанной в треугольник окружности.

Суммы сторон треугольника правило

2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Суммы сторон треугольника правило

3. Формулы для биссектрисы треугольника. Если а и b — стороны треугольника, γ — угол между ними, l — биссектриса треугольника, проведённая из вершины этого угла, а а’ и b’ — отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону треугольника, то

МЕДИАНА

Медиана ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Суммы сторон треугольника правило

Свойства медианы треугольника:

1. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.

Суммы сторон треугольника правило

  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
  • Формула для медианы треугольника. Если стороны треугольника a и b, mc — медиана треугольника, проведённая к стороне c, то

ВЫСОТА

Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону).

Суммы сторон треугольника правило

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:

  • внутри треугольника (для остроугольного треугольника),
  • совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника),
  • проходить вне треугольника (для тупоугольного треугольника).

Свойства высоты треугольника:

1. Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.

Суммы сторон треугольника правило

2. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

3. Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

4. Если CC₁ и АА₁ — высоты треугольника АВС, то треугольник ВА₁С₁ подобен треугольнику АВС, причём коэффициент подобия равен cos B.

Суммы сторон треугольника правило

Сложные теоремы:

5. Если Н — точка пересечения высот треугольника AВС, а О — центр его описанной окружности, то отрезок АН вдвое больше расстояния от точки О до середины стороны ВС. То есть AH = 2OM.

Суммы сторон треугольника правило

6. Если Н — точка пересечения высот треугольника AВС, М — точка пересечения медиан треугольника AВС, а О — центр его описанной окружности, то точки О, H и М лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причём точка М лежит на отрезке ОН и ОМ : МН = 1 : 2.

Суммы сторон треугольника правило

СРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР

Срединный перпендикуляр треугольника — прямая, перпендикулярная стороне треугольника и проходящая через его середину.

Все три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной около треугольника окружности.

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника

Суммы сторон треугольника правило

Свойства средней линии треугольника:

  • Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине:
  • В любом треугольнике три средних линии, при пересечении которых образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 1/2.

Суммы сторон треугольника правило

$bigtriangleup AMN = bigtriangleup NKB = bigtriangleup NMK = bigtriangleup MCK$

ПОДОБИЕ И РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Подобные треугольники

Равные треугольники

Суммы сторон треугольника правило

Треугольники подобны, если их углы равны. В подобных фигурах сохраняется отношение между соответствующими сторонами и другими линейными величинами (высоты, медианы, биссектрисы и периметры):

Также сохраняется внутреннее отношение длин:

$displaystylefrac=frac или frac=frac$

Суммы сторон треугольника правило

Два треугольника равны, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны (треугольники равны, если их можно совместить наложением).

Признаки подобия треугольников:

1. По двум пропорциональным сторонам и углу между ними:

Суммы сторон треугольника правило

3. По двум равным углам (тогда и третьи тоже будут равны)

Суммы сторон треугольника правило

5. По трем пропорциональным сторонам:

Суммы сторон треугольника правило

Признаки равенства треугольников:

1. По двум сторонам и углу между ними:

Суммы сторон треугольника правило

2. По стороне и двум прилежащим к ней углам.

Суммы сторон треугольника правило

3. По трем сторонам.

Суммы сторон треугольника правило

ОСОБЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ И ИХ СВОЙСТВА:

«Особенными», то есть обладающими какими — то дополнительными свойствами, считаются:

  • равнобедренный,
  • равносторонний
  • прямоугольный треугольники.

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Равнобедренный треугольник ― это треугольник, у которого две стороны равны (АВ = АС).

Суммы сторон треугольника правило

Равные стороны (АВ и АС) в таком треугольнике называются боковыми, а оставшаяся третья сторона (ВС) ― основанием.

Свойства равнобедренного треугольника:

1. Углы при основании равны (∠АВС = ∠АСВ).

2. Медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой. То есть она не только делит противолежащую сторону пополам (ВМ = МС), но и падает на неё под углом 90°, а кроме того делит угол, из которого выходит, пополам (∠ВАМ = ∠МАС).

Суммы сторон треугольника правило

Посмотрим на пример конкретной задачи. В равнобедренном треугольнике внешний угол равен 80°, необходимо найти все углы треугольника. Сразу возникает вопрос ― внешний угол при каком угле треугольника? Предположим, что это внешний угол при угле В (с нашего первого рисунка). Но в таком случае выходит, что сам ∠В = 100° (по сумме смежных углов). Значит, и ∠С = 100°, так как треугольник равнобедренный. Но тогда сумма только двух углов получается 200°, чего быть никак не может. Значит, речь идёт о внешнем угле при угле А треугольника. Тогда ∠А = 100°, а ∠В = ∠С = 40°.

РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Равносторонний треугольник ― треугольник, у которого все три стороны равны

Суммы сторон треугольника правило

Свойства равностороннего треугольника:

1. Кроме равенства сторон в таком треугольнике равны и все углы (каждый из которых по 60° ― так как 180°/3 = 60°).

2. Медиана, проведённая из любого угла, будет являться биссектрисой и высотой (другими словами, равносторонний треугольник с любой стороны является равнобедренным).

Суммы сторон треугольника правило

1. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

2. Формулы 2 и 3 для площади треугольника превращаются в одну формулу:

— Через синус (так как все стороны равны и каждый угол равен 60°):

— Формула Герона (так как все стороны равны):

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Прямоугольный треугольник ― треугольник, у которого один угол равен 90° (собственно, это и есть прямой угол, дающий название всему треугольнику). Сторона, лежащая против такого угла, называется гипотенузой (АВ), а две другие стороны ― катетами (АС и ВС).

Суммы сторон треугольника правило

Свойства прямоугольного треугольника:

1. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета (против большего угла лежит большая сторона, и наоборот).

2. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Теорема, обратная теореме Пифагора: Если для сторон произвольного треугольника выполняется отношение АВ 2 = АС 2 + ВС 2 , то треугольник является прямоугольным.

3. Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности всегда лежит на середине гипотенузы (доказательство: прямой ∠С становится вписанным, а против вписанного угла в 90° всегда лежит диаметр ― значит, гипотенуза является диаметром).

Суммы сторон треугольника правило

Высота, проведенная к гипотенузе, разбивает треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику: $bigtriangleup ACHsimbigtriangleup HCBsimbigtriangleup ABC$

Суммы сторон треугольника правило

4. Высота, проведенная к гипотенузе, равна:

  • Произведению катетов, деленному на гипотенузу
  • Среднему геометрическому из произведений отрезков, на которые гипотенуза делится высотой

5. Медиана, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы, то есть радиусу описанной около треугольника окружности.

Суммы сторон треугольника правило

6. Формулы площади прямоугольного треугольника:

1

2

3

Суммы сторон треугольника правило

Суммы сторон треугольника правило

Суммы сторон треугольника правило

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на опущенную к ней высоту.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катета, гипотенузы и синуса угла между ними.

ЗОЛОТОЙ И СЕРЕБРЯНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИКИ:

Серебряный треугольник

— треугольник с углами 45°, 45° и 90° (разрубленный по диагонали квадрат)

Суммы сторон треугольника правилоСуммы сторон треугольника правило

Отношение сторон в серебряном треугольнике:

Суммы сторон треугольника правило

Суммы сторон треугольника правилоЗолотой треугольник

Поделиться или сохранить к себе: