- Типы треугольников
- По величине углов
- По числу равных сторон
- Вершины углы и стороны треугольника
- Свойства углов и сторон треугольника
- Теорема синусов
- Теорема косинусов
- Теорема о проекциях
- Формулы для вычисления длин сторон треугольника
- Медианы треугольника
- Свойства медиан треугольника:
- Формулы медиан треугольника
- Биссектрисы треугольника
- Свойства биссектрис треугольника:
- Формулы биссектрис треугольника
- Высоты треугольника
- Свойства высот треугольника
- Формулы высот треугольника
- Окружность вписанная в треугольник
- Свойства окружности вписанной в треугольник
- Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
- Окружность описанная вокруг треугольника
- Свойства окружности описанной вокруг треугольника
- Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
- Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
- Средняя линия треугольника
- Свойства средней линии треугольника
- Периметр треугольника
- Формулы площади треугольника
- Формула Герона
- Равенство треугольников
- Признаки равенства треугольников
- Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
- Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
- Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
- Подобие треугольников
- Признаки подобия треугольников
- Первый признак подобия треугольников
- Второй признак подобия треугольников
- Третий признак подобия треугольников
- Треугольник
- Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем
- треугольнике равен 60 º.
- 4. Продолжая одну из сторон треугольника ( AC , рис.25), получаем внешний
- угол BCD . Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
- не смежных с ним : BCD = A + B .
- 5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше
- их разности ( a b – c; b b > a – c; c c > a – b ).
- 51. Планиметрия Читать 0 мин.
- 51.180. Треугольники
Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать
Типы треугольников
По величине углов
По числу равных сторон
Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать
Вершины углы и стороны треугольника
Свойства углов и сторон треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°:
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:
если α > β , тогда a > b
если α = β , тогда a = b
Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
a + b > c
b + c > a
c + a > b
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
a | = | b | = | c | = 2R |
sin α | sin β | sin γ |
Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α
b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β
c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ
Теорема о проекциях
Для остроугольного треугольника:
a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α
c = a cos β + b cos α
Формулы для вычисления длин сторон треугольника
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать
Медианы треугольника
Свойства медиан треугольника:
В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Формулы медиан треугольника
Формулы медиан треугольника через стороны
ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2
mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2
mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2
Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать
Биссектрисы треугольника
Свойства биссектрис треугольника:
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.
Формулы биссектрис треугольника
Формулы биссектрис треугольника через стороны:
la = 2√ bcp ( p — a ) b + c
lb = 2√ acp ( p — b ) a + c
lc = 2√ abp ( p — c ) a + b
где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника
Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:
la = 2 bc cos α 2 b + c
lb = 2 ac cos β 2 a + c
lc = 2 ab cos γ 2 a + b
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№24 - Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треуг.)Скачать
Высоты треугольника
Свойства высот треугольника
Формулы высот треугольника
ha = b sin γ = c sin β
hb = c sin α = a sin γ
hc = a sin β = b sin α
Видео:Неравенства треугольника. 7 класс.Скачать
Окружность вписанная в треугольник
Свойства окружности вписанной в треугольник
Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )
Видео:Лайфхак для школьников\Теорема: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторонСкачать
Окружность описанная вокруг треугольника
Свойства окружности описанной вокруг треугольника
Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
R = S 2 sin α sin β sin γ
R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ
Видео:Почему каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон?Скачать
Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
Видео:Задача про соотношение сторон. Геометрия 7 класс.Скачать
Средняя линия треугольника
Свойства средней линии треугольника
MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC
MN || AC KN || AB KM || BC
Видео:7 класс, 34 урок, Неравенство треугольникаСкачать
Периметр треугольника
Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон
Видео:Неравенство треугольника ★ Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторонСкачать
Формулы площади треугольника
Формула Герона
S = | a · b · с |
4R |
Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Равенство треугольников
Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
Видео:Каждая сторона треугольника меньше суммы...Скачать
Подобие треугольников
∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,
где k — коэффициент подобия
Признаки подобия треугольников
Первый признак подобия треугольников
Второй признак подобия треугольников
Третий признак подобия треугольников
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать
Треугольник
Треугольник. Остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольник.
Катеты и гипотенуза. Равнобедренный и равносторонний треугольник.
Основные свойства треугольников. Сумма углов треугольника.
Внешний угол треугольника. Признаки равенства треугольников.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Замечательные линии и точки в треугольнике: высоты, медианы,
биссектрисы, срединны e перпендикуляры, ортоцентр,
центр тяжести, центр описанного круга, центр вписанного круга.
Теорема Пифагора. Соотношение сторон в произвольном треугольнике.
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.
Если все три угла острые ( рис.20 ), то это остроугольный треугольник . Если один из углов прямой ( C, рис.21 ), то это прямоугольный треугольник; стороны a , b , образующие прямой угол, называются катетами; сторона c , противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой ( B, рис.22 ), то это тупоугольный треугольник.
Треугольник ABC ( рис.23 ) — равнобедренный , если две его стороны равны ( a = c ); эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник ABC ( рис.24 ) – равносторонний , если все его стороны равны ( a = b = c ). В общем случае ( a ≠ b ≠ c ) имеем неравносторонний треугольник.
Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.
3. Сумма углов треугольника равна 180 º .
Видео:Теорема Пифагора для чайников)))Скачать
Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем
Видео:Задача про стороны треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать
треугольнике равен 60 º.
Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать
4. Продолжая одну из сторон треугольника ( AC , рис.25), получаем внешний
Видео:Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать
угол BCD . Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать
не смежных с ним : BCD = A + B .
Видео:7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольникаСкачать
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше
их разности ( a b – c; b b > a – c; c c > a – b ).
Признаки равенства треугольников.
Треугольники равны, если у них соответственно равны:
a ) две стороны и угол между ними;
b ) два угла и прилегающая к ним сторона;
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Д ва прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:
1) равны их катеты;
2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;
3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;
4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;
5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.
Замечательные линии и точки в треугольнике.
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника . Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке , называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника ( точка O , рис.26 ) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника ( точка O , рис.27 ) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.
Медиана – это отрезок , соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника ( AD , BE , CF , рис.28 ) пересекаются в одной точке O , всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника ( AD , BE , CF , рис.29 ) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга (см. раздел «Вписанные и описанные многоугольники»).
Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам ; например, на рис.29 AE : CE = AB : BC .
Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС ( KO , MO , NO , рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга ( точки K , M , N – середины сторон треугольника ABC ).
В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном — в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Доказательство теоремы Пифагора с очевидностью следует из рис.31. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами a , b и гипотенузой c .
Построим квадрат AKMB , используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF , сторона которого равна a + b . Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна ( a + b ) 2 . С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB , то есть
и окончательно имеем:
Соотношение сторон в произвольном треугольнике.
В общем случае ( для произвольного треугольника ) имеем:
где C – угол между сторонами a и b .
Copyright © 2004 — 2012 Др. Юрий Беренгард. All rights reserved.
51. Планиметрия Читать 0 мин.
51.180. Треугольники
Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.
СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА:
1. Сумма углов в треугольнике равна α + β + γ = 180°.
2. Против большей стороны находится больший угол; против меньшего угла находится меньшая сторона. Отсюда следует, что если:
Если это правило не выполняется — треугольник не существует.
4. Формулы площади треугольника:
1 (через высоту)
2 (через две стороны и синус угла между ними)
3 (формула Герона)
$S = displaystylefrac12 a h_a$
$S = displaystylefracab,sin alpha$
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними.
Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения его полупериметра на разности полупериметра и каждой из его сторон.
5. Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
6. Теорема синусов: Отношения сторон треугольника к синусам противоположных им углов равны. Это отношение равно 2R, где R — радиус описанной окружности.
7. Внешний угол треугольника — δ, является смежным с одним из внутренних углов (сумма = 180°). Из этого следует, что внешний угол равен сумме двух внутренних, но не смежных с ним, углов треугольника (α + β = δ).
ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ:
- остроугольными (если все его углы острые),
- тупоугольными (если один из его углов тупой),
- прямоугольными (если один из его углов прямой).
- равнобедренным, если две его стороны равны;
- равносторонним, если все три стороны равны;
- разносторонним, если все его стороны разные.
ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА:
БИССЕКТРИСА
Биссектриса ― луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, при этом разделяя угол на две равные части.
Свойства биссектрисы треугольника:
1. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр вписанной в треугольник окружности.
2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
3. Формулы для биссектрисы треугольника. Если а и b — стороны треугольника, γ — угол между ними, l — биссектриса треугольника, проведённая из вершины этого угла, а а’ и b’ — отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону треугольника, то
МЕДИАНА
Медиана ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Свойства медианы треугольника:
1. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.
- Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
- Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
- В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
- Формула для медианы треугольника. Если стороны треугольника a и b, mc — медиана треугольника, проведённая к стороне c, то
ВЫСОТА
Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону).
В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:
- внутри треугольника (для остроугольного треугольника),
- совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника),
- проходить вне треугольника (для тупоугольного треугольника).
Свойства высоты треугольника:
1. Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.
2. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
3. Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.
4. Если CC₁ и АА₁ — высоты треугольника АВС, то треугольник ВА₁С₁ подобен треугольнику АВС, причём коэффициент подобия равен cos B.
Сложные теоремы:
5. Если Н — точка пересечения высот треугольника AВС, а О — центр его описанной окружности, то отрезок АН вдвое больше расстояния от точки О до середины стороны ВС. То есть AH = 2OM.
6. Если Н — точка пересечения высот треугольника AВС, М — точка пересечения медиан треугольника AВС, а О — центр его описанной окружности, то точки О, H и М лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причём точка М лежит на отрезке ОН и ОМ : МН = 1 : 2.
СРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР
Срединный перпендикуляр треугольника — прямая, перпендикулярная стороне треугольника и проходящая через его середину.
Все три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной около треугольника окружности.
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника
Свойства средней линии треугольника:
- Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине:
- В любом треугольнике три средних линии, при пересечении которых образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 1/2.
$bigtriangleup AMN = bigtriangleup NKB = bigtriangleup NMK = bigtriangleup MCK$
ПОДОБИЕ И РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Подобные треугольники
Равные треугольники
Треугольники подобны, если их углы равны. В подобных фигурах сохраняется отношение между соответствующими сторонами и другими линейными величинами (высоты, медианы, биссектрисы и периметры):
Также сохраняется внутреннее отношение длин:
$displaystylefrac=frac или frac=frac$
Два треугольника равны, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны (треугольники равны, если их можно совместить наложением).
Признаки подобия треугольников:
1. По двум пропорциональным сторонам и углу между ними:
3. По двум равным углам (тогда и третьи тоже будут равны)
5. По трем пропорциональным сторонам:
Признаки равенства треугольников:
1. По двум сторонам и углу между ними:
2. По стороне и двум прилежащим к ней углам.
3. По трем сторонам.
ОСОБЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ И ИХ СВОЙСТВА:
«Особенными», то есть обладающими какими — то дополнительными свойствами, считаются:
- равнобедренный,
- равносторонний
- прямоугольный треугольники.
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Равнобедренный треугольник ― это треугольник, у которого две стороны равны (АВ = АС).
Равные стороны (АВ и АС) в таком треугольнике называются боковыми, а оставшаяся третья сторона (ВС) ― основанием.
Свойства равнобедренного треугольника:
1. Углы при основании равны (∠АВС = ∠АСВ).
2. Медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой. То есть она не только делит противолежащую сторону пополам (ВМ = МС), но и падает на неё под углом 90°, а кроме того делит угол, из которого выходит, пополам (∠ВАМ = ∠МАС).
Посмотрим на пример конкретной задачи. В равнобедренном треугольнике внешний угол равен 80°, необходимо найти все углы треугольника. Сразу возникает вопрос ― внешний угол при каком угле треугольника? Предположим, что это внешний угол при угле В (с нашего первого рисунка). Но в таком случае выходит, что сам ∠В = 100° (по сумме смежных углов). Значит, и ∠С = 100°, так как треугольник равнобедренный. Но тогда сумма только двух углов получается 200°, чего быть никак не может. Значит, речь идёт о внешнем угле при угле А треугольника. Тогда ∠А = 100°, а ∠В = ∠С = 40°.
РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Равносторонний треугольник ― треугольник, у которого все три стороны равны
Свойства равностороннего треугольника:
1. Кроме равенства сторон в таком треугольнике равны и все углы (каждый из которых по 60° ― так как 180°/3 = 60°).
2. Медиана, проведённая из любого угла, будет являться биссектрисой и высотой (другими словами, равносторонний треугольник с любой стороны является равнобедренным).
1. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
2. Формулы 2 и 3 для площади треугольника превращаются в одну формулу:
— Через синус (так как все стороны равны и каждый угол равен 60°):
— Формула Герона (так как все стороны равны):
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Прямоугольный треугольник ― треугольник, у которого один угол равен 90° (собственно, это и есть прямой угол, дающий название всему треугольнику). Сторона, лежащая против такого угла, называется гипотенузой (АВ), а две другие стороны ― катетами (АС и ВС).
Свойства прямоугольного треугольника:
1. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета (против большего угла лежит большая сторона, и наоборот).
2. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
Теорема, обратная теореме Пифагора: Если для сторон произвольного треугольника выполняется отношение АВ 2 = АС 2 + ВС 2 , то треугольник является прямоугольным.
3. Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности всегда лежит на середине гипотенузы (доказательство: прямой ∠С становится вписанным, а против вписанного угла в 90° всегда лежит диаметр ― значит, гипотенуза является диаметром).
Высота, проведенная к гипотенузе, разбивает треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику: $bigtriangleup ACHsimbigtriangleup HCBsimbigtriangleup ABC$
4. Высота, проведенная к гипотенузе, равна:
- Произведению катетов, деленному на гипотенузу
- Среднему геометрическому из произведений отрезков, на которые гипотенуза делится высотой
5. Медиана, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы, то есть радиусу описанной около треугольника окружности.
6. Формулы площади прямоугольного треугольника:
1
2
3
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на опущенную к ней высоту.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катета, гипотенузы и синуса угла между ними.
ЗОЛОТОЙ И СЕРЕБРЯНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИКИ:
Серебряный треугольник
— треугольник с углами 45°, 45° и 90° (разрубленный по диагонали квадрат)
Отношение сторон в серебряном треугольнике:
Золотой треугольник