Доказать что для любых векторов a b c и для любых чисел

рис. 1

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Условия компланарности векторов

Примеры задач на компланарность векторов

Решение: найдем смешанное произведение векторов

a · [ b × с ] =	1	2	3	=
	1	1	1
	1	2	1

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 — 1·1·3 — 1·1·2 — 1·1·2 = 1 + 2 + 6 — 3 — 2 — 2 = 2

Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

a · [ b × с ] =	1	1	1	=
	1	3	1
	2	2	2

= 1·2·3 + 1·1·2 + 1·1·2 — 1·2·3 — 1·1·2 — 1·1·2 = 6 + 2 + 2 — 6 — 2 — 2 = 0

Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.

Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования

	1	1	1
	1	2	0
	0	-1	1
	3	3	3

из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3

1111111 — 12 — 10 — 101-10-110-113 — 33 — 33 — 3000

к 3-тей строке добавим 2-рую

111

11101-101-10 + 0-1 + 11 + (-1)0003 — 33 — 33 — 3000

Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.

Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ

Сергей Запольский 3 лет назад Просмотров:

1 ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ 1. Определители 2-го и 3-го порядков. 1. Вычислить определитель второго порядка: а) ; б) ; в) Вычислить определитель третьего порядка: а) ; б) ; в) Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ векторы αa βb, γb αc, βc γa линейно зависимы. 4. Проверить, что векторы а( 5, 1) и b( 1, 3) образуют базис на плоскости. Найти координаты векторов с( 1, 2) и d(2, 6) в этом базисе. 5. Из одной точки пространства отложены три вектора а, b и c. Доказать, что конец вектора с тогда и только тогда лежит на отрезке, соединяющем концы векторов а и b, когда выполнено равенство c= αa+ βb, где α 0, β 0, α + β = 1. В каком отношении конец вектора с делит этот отрезок? 6. В трапеции АВСD длины оснований AD и ВС относятся как 3:2. Принимая за базисные векторы AC и BD, найти в этом базисе координаты векторов AB, BC, CD, DA. 7. Даны три точки О, А, В, не лежащие на одной прямой. Принимая за базисные векторы OA и OB, найти: 1) координаты вектора OM, если точка

2 М лежит на отрезке АВ и AM : BM = m: n; 2) координаты вектора ON, если точка N лежит на прямой АВ вне отрезка АВ и AN : BN = m: n. 8. В плоскости треугольника АВС найти точку О такую, что OA + OB + OC =0. Существуют ли такие точки вне плоскости треугольника? 9. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки М и N так, что AM : BM = m1: n1, AN : CN = m2 : n2. Точку пересечения отрезков ВN и СМ обозначим через О. Найти отношение BO : ON и CO : OM. 10(р). Вершина D параллелограмма АВСD соединена с точкой K, лежащей на стороне ВС, такой, что BK : KC = 2:3. Вершина В соединена с точкой L, лежащей на стороне CD, такой, что CL : LD = 5:3. В каком отношении точка М пересечения прямых DK и BL делит отрезки DK и BL? 11. Доказать, что четыре отрезка, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 3:1, считая от вершины. 12*. На диагоналях АВ 1 и СА 1 боковых граней треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 расположены соответственно точки Е и F так, что прямые EF и ВС 1 параллельны. Найти отношение EF : BC Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. 13. Даны три вектора: а(1, 1, 1), b(5, 1, 1), с(0, 3, 2). Вычислить bac (, ) cab (, ). 14. Длины базисных векторов е 1 и е 2 общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно 4 и 2, а угол между базисными векторами равен 120º. Оносительно этой системы координат заданы вершины

3 треугольника А( 2, 2), В( 2, 1), С( 1, 0). Найти длины сторон и углы треугольника. 15. Дан вектор а(1, 1, 2). Найти ортогональную проекцию вектора b на прямую, направление которой определяется вектором а и ортогональную составляющую вектора b относительно этой прямой, если вектор b имеет координаты: 1) (1, 1, 2); 2) (4, 0, 2). 16. Даны два вектора: а(1, 1, 1) и b(5, 1, 1). Вектор с имеет длину 1, ортогонален вектору а и образует с вектором b угол arccos( 2 / 27). Вычислить координаты вектора с. Сколько решений имеет задача? 17. В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам взаимно перпендикулярны. Найти углы треугольника. 18. В правильном тетраэдре АВСD точки М и Р середины ребер AD и СD соответственно, точки N и Q центры граней BCD и АВС соответственно. Найти угол между прямыми MN и PQ. 19. Найти векторное произведение векторов а и b, заданных своими координатами: 1) а(3, 1, 2), b(2, 3, 5); 2) а(2, 1, 1), b( 4, 2, 2); 3) а(6, 1, 0), b(3, 2, 0). 20. Доказать тождества: 2 ( aa, ) ( ab, ) 1) [ ab, ] = ( ab, ) ( bb, ) ; 2) [ a, [ b, c]] = b( a, c) c( a, b) ; 3) ([ ab, ],[ cd, ]) = ( ac, ) ( ad, ) ( bc, ) ( bd, ).

4 21. Проверить, компланарны ли векторы, заданные своими координатами в произвольном базисе: 1) а(2, 3, 5), b(7, 1, 1), с(3, 5, 11); 2) а(2, 0, 1), b(5, 3, 3), с(3, 3, 10). 22. Длины базисных векторов е 1, е 2, е 3 в пространстве равны соответственно 1, 2, 2, а углы между ними равны ( e1, e2) = 120, ( e1, ) = 45, ( e2, e 3) = 135. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты ( 1, 0, 2), (1, 1, 3) и (2, 1, 1). 23. Доказать, что 1) если векторы [a, b], [b, c], [c, a] компланарны, то векторы а, b, c компланарны; 2) если векторы [a, b], [b, c], [c, a] компланарны, то они коллинеарны. 24. Точка М лежит на ребре ВВ 1 куба АВСDA 1 BB1C 1 D 1, причем BM : MB = 2:1. Длина ребра куба равна а. Найти расстояние между 1 прямыми СD 1 и МD. 25. Доказать, что площадь треугольника, составленного из медиан треугольника АВС, равна 3/4 площади треугольника АВС. 26. Проверить, будут ли копмланарны векторы l, m, n; в случае положительного ответа указать линейную зависимость, их связывающую (здесь а, b, c три некомпланарных вектора): l = 2a b c, m= 2b c a, n= 2c a b. 4. Замена базиса и системы координат. 27. В пространстве даны два базиса e1, e2, и e1, e 2, e 3. Векторы второго базиса имеют в первом базисе координаты (1, 1, 1), ( 1, 2, 3), (1, 3, 6) соответственно. 1) Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты α1, α2, α3 во втором базисе. 2) Найти координаты

5 вектора во втором базисе, если известны его координаты α1, α2, α 3 в первом базисе. 3) Найти координаты векторов e1, e2, во втором базисе. 28. В пространстве даны две системы координат O, e1, e2, и O, e1, e 2,. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты (1, 1, 2), а базисные векторы второй системы координат имеют в базисе первой системы координаты (4, 2, 1), (5, 3, 2), (3, 2, 1) соответственно. 1) Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты x, y, z во второй системе. 2) Найти координаты точки во второй системе, если известны ее координаты x, y, z в первой системе. 3) Найти координаты точки О во второй системе координат и координаты векторов e1, e2, в базисе второй системы. 29. Координаты х, у каждой точки плоскости в системе координат выражаются через координаты O, e, e 1 2 x, y этой же точки в системе O, e1, e 2 формулами x = 2x y + 5, y = 3x + y ) Выразить координаты x, y через координаты х, у. 2) Найти координаты начала O и базисных векторов e, e 1 2 первой системы координат во второй системе. 3) Найти координаты начала О и базисных векторов системе. e 1, e 2 второй системы координат в первой 30(р). В параллелограмме АВСD точка Е лежит на диагонали BD, причем BE : ED = 1:2. Найти координаты точки плоскости в системе координат A, AB, AD, если известны ее координаты x, y в системе координат E, EC, ED. 31. В трапеции АВСD диагонали пересекаются в точке Е, а длины оснований ВС и АD относятся как 2:3. Найти координаты точки плоскости в системе координат A, AB, AD, если известны ее координаты x, y в системе координат E, EA, EB.

6 32. Координаты х, у каждой точки плоскости в первой системе координат выражаются через координаты x, y этой же точки во второй системе координат соотношениями x = a11x + a12 y + a10, y = a21x + a22 y + a20. Первая система координат является прямоугольной. При каком необходимом и достаточном условии вторая система координат также является прямоугольной? 33. На плоскости даны две прямоугольные системы координат O, e1, e2 и O, e1, e 2. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты (1, 3), а векторы e 1, e 2 получаются из векторов соответственно поворотом на один и тот же угол φ =135º в направлении кратчайшего поворота от e1 к e2. Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты x, y во второй системе. e, e В пространстве даны две прямоугольные системы координат O, e1, e2, и O, e1, e 2,. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты ( 1, 3, 5), вектор e 1 образует углы равные 60º с векторами e1 и e2 и острый угол с вектором. Вектор e 2 компланарен с векторами e1 и e2 и образует с вектором e2 острый угол. Тройки e1, e2, и e1, e 2, e 3 одинаково ориентированы. Найти координаты точки пространства в первой системе координат, если известны ее координаты x, y, z во второй системе.

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home

Линейные комбинации, линейная зависимость векторов. Коллинеарные и компланарные вектора.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Система векторов $a_1, a_2, . a_n$ называется линейно зависимой, если существуют числа $lambda_1, lambda_2, . lambda_n$ такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и $lambda_1 a_1+lambda_2 a_2+. +lambda_n a_n=0.$ В противном случае система называется линейно независимой.

Два вектора $a_1$ и $a_2$ называются коллинеарными если их направления совпадают или противоположны.

Три вектора $a_1, a_2$ и $a_3$ называются компланарными если они параллельны некоторой плоскости.

Геометрические критерии линейной зависимости:

а) система $$ линейно зависима в том и только том случае, когда векторы $a_1$ и $a_2$ коллинеарны.

б) система $$ линейно зависима в том и только том случае, когда векторы $a_1,, a_2$ и $a_3$ компланарны.

Примеры.

2.19.

Разложить вектор $s=a+b+c$ по трем некомпланарным векторам: $p=a+b-2c,$ $q=a-b,$ $r=2b+3c.$

Решение.

Найдем такие $alpha, beta$ и $gamma,$ что $s=alpha p+beta q+gamma r:$

Из этого равенства, приравнивая коэффициенты при $a, b$ и $c$ получаем систему уравнений: $$left<begin1=alpha+beta\ 1=alpha-beta+2gamma\ 1=-2alpha+3gammaendright.$$

Решим эту систему уравнений методом Крамера:

Таким образом, $s=frac p+frac q+fracr.$

Ответ: $s=frac p+frac q+fracr.$

Доказать, что для любых заданных векторов $а,, b $ и $c$ векторы $a+b,,, b+c,,, c-a$ компланарны.

Доказательство.

Cистемы векторов $; ,,,,, $ являются компланарными поскольку они линейно зависимы: $a+b-(a+b)=0; ,,$ $b+c-(b+c)=0;,,$ $ -c+a+(c-a)=0.$ Отсюда следует, что если вектора $а,, b $ и $c$ компланарны, то векторы $a+b,,, b+c,,, c-a$ также компланарны.

Пусть векторы $a, b$ и $c$ не компланарны.

Так как векторы $a_1,, a_2$ и $a_3$ компланарны в том и только том случае, когда система $$ линейно зависима, то нам нужно показать, что система векторов $a+b,,, b+c,,, c-a$ линейно зависима. Для этого покажем, что существуют числа $alpha,, beta$ и $gamma$ такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и $alpha(a+b)+beta(b+c)+gamma(c-a)=0.$

Предположим противное: вектора $a+b,,, b+c,,, c-a$ некомпланарны. Тогда равенство $alpha(a+b)+beta(b+c)+gamma(c-a)=0$ верно только в случае $alpha=beta=gamma=0$

Запишем последнее уравнение в виде $a(alpha-gamma)+b(alpha+beta)+c(beta+gamma)=0.$ Так как мы рассматриваем случай когда векторы $a, b$ и $c$ некомпланарны, то должны выполняться уравнения

Это вырожденная система: $$begin1&0&-1\1&1&0\0&1&1end=0,$$

поэтому данная система имеет нетривиальное решение, например $alpha=gamma=1;,,beta=-1.$ Получили противоречие.

Таким образом, для любых заданных векторов $а,, b $ и $c$ векторы $a+b,,, b+c,,, c-a$ компланарны. Что и требовалось доказать.

Домашнее заданее.

№2.18

На стороне $AD$ параллелограмма $ABCD$ отложен вектор $overline$ длины $|overline|=1/5|overline|,$ а на диагонали $AC$ вектор $overline$ длины $|overline|=1/6|overline|$ . Доказать, что векторы $overline$ и $overline$ коллинеарны и найти $lambda$ такое, что $overline=lambdaoverline.$

№2.20

Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными векторами: $p=a+b,, q=b-c,,r=a-b+c,, s=b+1/2c.$

📹 Видео