Видео по подобным треугольниками (7 видео)

Геометрия

План урока:

Содержание

Пропорциональные отрезки
Определение подобных треугольников
Первый признак подобия треугольников
Подобные треугольники — признаки, свойства и теоремы
Общие сведения
Объекты геометрии
Основные аксиомы Евклида
Подобие двух треугольников
Первое условие
Второй критерий
Третий признак
Теорема об отношении площадей
Некоторые свойства и следствия
Пример решения
Подобные треугольники
Определение
Признаки подобия треугольников
Свойства подобных треугольников
Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников
💡 Видео

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Пропорциональные отрезки

Если известна длина двух отрезков, то можно узнать, во сколько раз один из них больше другого. Например, если некоторый отрезок NM = 24 см, а другой отрезок KP = 4 см, то можно утверждать, что NM в 6 раз длиннее, так как

Величину NM/KP именуют отношением отрезков NM и KP. Надо заметить, что в ряде случаев отношение отрезков можно найти, не зная их длины. Пусть в ∆МКР проведена медиана МН. Очевидно, что отрезок КР будет вдвое длиннее КН, ведь Н – середина КР:

Другой пример – это отношение между диагональю квадрата и его стороной.

Используя теорему Пифагора, несложно показать, что в любом квадрате АВСD

Наконец, в прямоугольном треуг-ке, один из углов которого равен 30°, гипотенуза всегда вдвое длиннее меньшего из катетов:

Если отношение отрезка AB к А₁В₁ равно отношению отрезка СD к С₁D₁, то говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁. Например, пусть

Получается, AВ и CD пропорциональны А₁В₁ и С₁D₁. Важно отметить, что пропорциональны могут быть также сразу три и более отрезка.

Видео:8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольниковСкачать

Определение подобных треугольников

В жизни нередко можно наблюдать объекты, у которых совпадает форма, но отличаются размеры. В качестве примера можно привести мяч для настольного тенниса и баскетбольный мяч. Оба этих предмета имеют форму шара, на баскетбольный мяч значительно больше. Другой пример – настоящий танк и игрушка, изображающая его. Часто подобны друг другу матрешки, которые вкладываются друг в друга – все они выглядят одинаково, а отличаются только общим размером. Наконец, подобны и знаменитые египетские пирамиды:

Такие объекты в геометрии именуют подобными. Подобны друг другу любые две окружности и любые два квадрата. Но особо важную роль в геометрии играют подобные треугольники. Рассмотрим это понятие подробнее.

Пусть есть два треуг-ка, ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, у которых соответственно равны углы:

Стороны, которые лежат против одинаковых углов в таких треуг-ках, именуют сходственными. Ими являются стороны AВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, АС и А₁С₁.

Можно дать такое определение подобных треугольников:

Таким образом, подобие треугольников (оно обозначается символом ∾) обозначает выполнение сразу нескольких равенств:

Отношение между сходственными сторонами подобных треуг-ков именуется коэффициентом подобия и обозначается буквой k:

Грубо говоря, подобие треуг-ков означает, что их форма одинакова, но один из них в несколько раз больше или меньше другого. Чтобы получить, из одного треуг-ка другой, равный ему по размерам, его надо просто «масштабировать». Например, на этом рисунке все стороны исходного треуг-ка просто увеличили в три раза:

Это значит, что коэффициент подобия в данном случае равен 3. Однако важно понимать, что в различных геометрических задачах подобные треуг-ки также могут быть повернуты друг относительно друга:

Задание. ∆AВС подобен ∆DEF. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. Как только в задаче появляются подобные треуг-ки, стоит сразу же определить их коэффициент подобия, а для этого надо разобраться, какие стороны будут сходственными. Так как∠А = ∠Е, то лежащие против них стороны DF и ВС– сходственные. Их отношение и будет равно коэффициенту подобия:

Получили, что стороны ∆DEF вдвое длиннее сходственных им сторон ∆AВС. У подобных треуг-ков углы одинаковы, поэтому∠С = ∠D. Отсюда следует, что стороны AВ и ЕF сходственны, а потому ЕF вдвое больше:

Задание. ∆AВС и∆DEF – подобные. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. По сравнению с предыдущей задачей изменилось только одно условие, теперь∠А = ∠D. Однако это меняет сходственные стороны. Из подобия треуг-ков следует, что∠С = ∠Е. Тогда сходственными оказываются уже стороны AВ и DF. Найдем коэффициент подобия треугольников:

Сходственными являются также стороны ВС и ЕF (ведь∠А = ∠D), поэтому ЕF в 1,25 раза длиннее:

Эти две задачи показывают, как важно правильно определять сходственные стороны подобных треугольников.

Естественно, что все равные друг другу треуг-ки являются одновременно и подобными, причем их коэффициент подобия равен единице.

Задание. Докажите, что у подобных треуг-ков отношение их периметров равно коэффициенту подобия.

Решение. Пусть подобны ∆ AВС и ∆А₁В₁С₁, причем

Периметр ∆AВС можно вычислить так:

Мы доказали утверждение, сформулированное в условии.

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Первый признак подобия треугольников

Оказывается, для того, чтобы доказать подобие треуг-ков, не требуется сравнивать все их углы и находить соотношение всех сторон. Существуют три простых признака подобия треугольников.

Однако прежде, чем сформулировать их, нам придется доказать отдельное утверждение, которое известно как обобщенная теорема Фалеса («обычную», не обобщенную теорему мы уже изучали ранее).

Если прямые ВВ₁ и СС₁ (показаны красным цветом)параллельны, то отрезки AВ и АС пропорциональны отрезкам AВ₁ и АС₁, то есть справедливо соотношение:

Доказывать будем от противного. Пусть отрезки AВ и АС непропорциональны AВ₁ и АС₁. Тогда отметим наАС такую точку Н, которая разобьет АС на пропорциональные отрезки, то есть

Естественно, эта точка не будет совпадать с С₁. Рассмотрим случай, когда она окажется правее, чем С₁:

Теперь поступим следующим образом. Проведем через стороны угла большое число прямых, параллельных ВС, которые будут разбивать АС на одинаковые отрезки. По теореме Фалеса эти же прямые отсекут одинаковые отрезки и на AВ. При этом мы проведем настолько много параллельных прямых, что хотя бы одна из них пересечет отрезок С₁Н:

Пусть эта прямая пересечет отрезок С₁Н в некоторой точке С₂, а сторону AВ в точке В₂. Ясно, что отрезки AВ и АВ₂ пропорциональны отрезкам АС и АС₂, так как они состоят из одинакового количества одинаковых отрезков. Например, на построенном рисунке отношение AB₂ к AB равно 5/8, так как AB₂ состоит из 5 отрезков, отсеченных зелеными параллельными прямыми, а AB состоит из 8 таких отрезков. Аналогично и отношение АС₂ к АС также равно 5 к 8. Таким образом, можно записать:

Здесь мы рассмотрели случай, когда точка Н лежит правее С₁, то есть АН >C₁. Случай, когда АН 2 раз. Докажем это.

Пусть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ подобны с коэффициентом подобия k. Снова проведем в них высоты СН и СН₁:

Запишем очевидные равенства:

В итоге получили, что площади подобных треугольников отличаются в k 2 раз.

Задание. Известно, у ∆AВС площадь составляет 10, а отрезок AВ имеет длину 5. ∆DEF подобен ∆AВС, причем сторона DE, сходственная AВ, равна 15. Вычислите площадь ∆DEF.

Решение. По условию задачи легко найти коэффициент подобия ∆AВС и ∆DEF, надо лишь поделить одну сходственную сторону на другую:

Задание. Площади двух подобных треуг-ков составляют 75 м 2 и 300 м 2 . Одна из сторон второго треуг-ка равна 9 м. Вычислите сходственную ей сторону первого треуг-ка.

Решение. Зная площади треуг-ков, легко найдем коэффициент их подобия:

Если коэффициент равен 2, то стороны первого многоугольника вдвое меньше сторон второго, поэтому интересующая нас сторона равна

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№14 - Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных фигур.)Скачать

Подобные треугольники — признаки, свойства и теоремы

Видео:Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой РепетиторСкачать

Общие сведения

Специалисты рекомендуют начинать любое обучение с азов. Следует применять принцип, который называется «от простого к сложному». В плоскостной геометрии (Евклида) существует два понятия: аксиомы и теоремы. К первым относятся утверждения, не требующие доказательства. Они являются базовыми элементами науки и позволяют доказывать другие гипотезы или утверждения.

Кроме того, на основании доказанных гипотез можно производить операции по доказательству более сложных теорем. Иными словами, геометрия состоит из базисных элементов — аксиом, при использовании которых можно преобразовывать утверждения в неоспоримые факты, а также при комбинациях появляется возможность доказательства более сложных (составных) элементов. Примером последнего случая является гипотеза Пифагора для прямоугольного треугольника. Чтобы ее доказать, нужно знать аксиомы геометрии, а также теорему об отношении площадей подобных треугольников (S/S’). Далее необходимо разобрать основные объекты геометрии.

Объекты геометрии

Простейшим объектом геометрии является точка. С помощью нее строятся простые фигуры, благодаря которым образуются более сложные формы. К элементарным компонентам можно отнести следующие: прямая, отрезок, луч. Первая состоит из множества точек, соединенных между собой в одной плоскости и находящихся в поперечном сечении, диаметр которого эквивалентен диаметру точек. При соединении простейших объектов получается бесконечная линия без перегибов.

Лучом называется часть прямой, имеющая начальную точку, но у которой нет конечной границы. Еще существует один элемент, у которого присутствуют обе границы (левая и правая). Он называется отрезком. Следует отметить, что луч и отрезок могут лежать на одной прямой, а также последний может являться частью первого.

При комбинации двух лучей, исходящих из одной точки получается плоский угол. Он измеряется в градусах или радианах. Следует отметить, что в геометрии существует понятие «нулевого» угла. Это возможно, когда лучи совпадают. При комбинации трех углов можно получить треугольник. Существует также другое определение этой фигуры: треугольником (Δ) называется фигура, состоящая из трех точек, одна из которых не лежит на одной прямой с остальными.

Треугольники бывают разносторонними, равнобедренными и равносторонними. Кроме того, в зависимости от градусной меры, они делятся на такие классы: остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Необходимо также отметить, что сумма углов этой геометрической фигуры эквивалентна 180 градусам.

Нужно обратить внимание на такие термины: высоту, медиану и биссектрису. Первой называется перпендикуляр, проведенный из вершины к противоположной стороне. Медиана — отрезок, проведенный из противоположной вершины к середине стороны. Биссектрисой угла является луч или отрезок, который делит его на два равнозначных по величине. В равнобедренном и равностороннем Δ эти элементы совпадают.

Основные аксиомы Евклида

Аксиомой называется утверждение, не требующее доказательств и воспринимаемое в виде факта. Существуют следующие утверждения, которые можно применять при решении задач:

Если на плоскости существует некоторая прямая, то в этом случае точки классифицируются на две группы по отношению к ней: лежащие и не лежащие.
Через две точки можно провести только одну прямую.
При заданных прямой и точке, не лежащей на ней, через последнюю можно провести только одну прямую, которая будет параллельна (||) исходной.
Когда даны три угла, один из которых эквивалентен другому, а последний — третьему, тогда можно сделать вывод об их равенстве. Аналогичное утверждение существует и для отрезков.
Любая прямая содержит две точки, а также точку, лежащую между ними.
Точки, находящиеся на одной плоскости, могут соединяться в любой последовательности вспомогательными отрезками.

Следует обратить внимание на последнюю аксиому. Она позволяет строить любые фигуры на плоскости и в пространстве. Математики очень часто применяют такой прием при решении задач и доказательстве некоторых тождеств при помощи создания дополнительных элементов на чертеже.

Например, в некотором упражнении по нахождению отдельных параметров треугольника в условии содержится очень мало данных. Последний можно вписать в окружность или дополнить до квадрата или прямоугольника. Далее следует разобраться в признаках подобия треугольников.

Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Подобие двух треугольников

Треугольники являются подобными, когда углы одного эквивалентны всем градусным мерам углов другого, а стороны одного равны сторонам другого, с учетом коэффициента гомотетии. Последний называют еще коэффициентом подобия. Он равен отношению сторон подобных треугольников. Например, дано два подобных Δ ABC и A’B’C’ (больший). Коэффициент подобия треугольников обозначается литерой «k». Он больше 0 и вычисляется по такой формуле: k = A’B’ / AB = B’C’ / BC = A’C’ / AC. Подобие фигур обозначается таким образом: ΔABC ∼ ΔA’B’C’.

Не во всех случаях бывают известны углы и стороны фигур. Для этого были сформулированы три признака (условия или критерия), по которым можно определить подобие.

Первое условие

Формулировка первого признака подобия треугольников гласит, что равенство двух углов между собой соответствует подобию двух фигур. Подробнее исходные данные записываются в таком виде: ΔABC ∼ ΔA’B’C’, когда ∠ВАС = ∠B’A’C’ и ∠ABC = ∠A’B’C’. Доказать утверждение довольно просто. Для этого следует рассчитать третий угол у треугольников исходя из того, что сумма трех углов составляет 180 градусов.

Далее необходимо наложить один Δ на другой, чтобы ∠ВАС совпал с ∠B’A’C’. Используя теорему Фалеса для сторон угла, которые делят на отрезки AC / A’C’ = BC / B’C’ вершины малого Δ на пропорциональные части. Аналогично доказывается пропорциональность для двух других сторон. Однако для этого следует наложить уже треугольники таким образом, чтобы совпали другие углы. Такие же действия проделать и для третьего угла. На основании определения о подобии треугольников утверждение доказано. Из доказательства математики получили некоторые следствия, которые будут очень полезны при решении задач:

Фигуры (Δ) подобны при параллельности 3 сторон одного Δ сторонам другого, при перпендикулярности одно стороны другой, а также отсутствия || двух сторон одного Δ сторонам другого.
Фигура, полученная при помощи параллельного переноса со сторонами, которые умножаются на некоторый постоянный коэффициент, подобна исходной.

Равенство AC / A’C’ = BC / B’C’ эквивалентно коэффициенту подобия. Этот факт можно использовать при решении задач и доказательства других геометрических утверждений или тождеств.

Второй критерий

Математики выделяют еще один признак подобия треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Для доказательства следует рассмотреть ΔABC и ΔA’B’C’ со сторонами, связанными таким тождеством: AB / A’B’ = AC / A’C’. Кроме того, углы между ними равны: ∠ВАС = ∠B’A’C’. Далее нужно достроить ΔABC до четырехугольника ABCС». Вершина С» должна располагаться в зеркальном отображении относительно стороны AB. Полученный ΔABC» ∼ ΔA’B’C’ по I признаку, поскольку у них два угла равны. Следовательно, тождество можно править таким образом: AB / A’B’ = AC» / A’C’.

По условию должно выполняться условие AB / A’B’ = AC / A’C’. Тогда AC = AC». На основании этого факта можно сделать вывод о равенстве ΔABC и ΔABC». Следовательно, теорема доказана, поскольку эти треугольники (ΔABC» и ΔA’B’C’) подобны по I признаку.

Третий признак

Третий признак подобия двух треугольников формулируется таким образом: два треугольника являются подобными, когда стороны одного пропорциональны сторонам другой фигуры. Для доказательства необходимо рассмотреть ΔABC и ΔA’B’C’ со сторонами: AB / A’B’ = AC / A’C’ = BC / B’C’.

Математики рекомендуют отметить некоторую точку C» относительно стороны AB. Она не должна лежать на последней. Кроме того, расстояния от C и C» до стороны AB должны быть эквивалентны. Иными словами, следует построить ΔABС», который является «зеркальным» отображением ΔABC относительно его стороны AB. Если AB / A’B’ = AC» / A’C’, то ΔABC» ∼ ΔA’B’C’ по I признаку.

Следующий шаг — доказательство равенства ΔABC и ΔABC». Они равны по двум сторонам AC = AC» и BC = BC». Следовательно, ΔABC ∼ ΔA’B’C’ подобные.

Видео:Подобные треугольники - 8 класс геометрияСкачать

Теорема об отношении площадей

Для решения задач специалисты рекомендуют применять еще теорему об отношении площадей. Обязательным условием ее использования являются ΔABC ∼ ΔA’B’C’ с коэффициентом подобия «k». Ее формулировка имеет такой вид: величина отношения площадей двух подобных треугольников прямо пропорциональна квадрату гомотетии.

Исходя из равенства углов ∠ВАС = ∠B’A’C’ можно записать такое соотношение, в котором тригонометрическая функция не учитывается, поскольку при делении равных коэффициентов получается 1: S / S’ = (AB * AC) / (A’B’ * A’C’). По свойству произведения дробей верно такое преобразование: (AB / A’B’) * (AC / A’C’) = k * k = k 2 . Утверждение доказано полностью.

Видео:Задачи с подобными треугольникамиСкачать

Некоторые свойства и следствия

Математики также считают, что используя некоторые свойства и следствия из теорем, можно расширить возможности по решению задач. Свойства подобных треугольников можно применять и к другим плоским или объемным фигурам. Следствия классифицируются на несколько типов:

Отношение площадей плоских фигур прямо пропорционально квадрату их k.
Куб коэффициента подобия прямо пропорционален объему большей фигуры и обратно пропорционален объему меньшей: V / V’ = k 3 .
Коэффициент «k» эквивалентен отношению периметров (P), а также биссектрис, медиан, высот и перпендикуляров, которые являются серединными.
В прямоугольном Δ длина высоты, опущенной на гипотенузу, эквивалентна среднему геометрическому двух проекций на соответствующий катет. Если она опущена из прямого ∠, то значит делит фигуру на подобные Δ по I признаку.
Величина катета эквивалентна средней величине в геометрической интерпретации гипотенузы и произведению проекции катета на гипотенузу.

Например, второе свойство можно применить для решения такого упражнения: дан объем большего конуса V = 125 м 3 , а необходимо найти значение V’ для малого, зная коэффициент k, который равен 3. Задача решается очень просто: V’ = [V]^(1/3) = [125]^(1/3) = 5 (м 3 ).

Видео:Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Пример решения

Существуют множество типов задач, однако наиболее часто попадаются такие, в которых необходимо доказать, что фигуры являются подобными. Стороны ΔABC равны таким значениям: 10, 12 и 25. Кроме того, существует еще ΔA’B’C’ со сторонами 5, 6 и 10. Фигуры не имеют точек пересечения. Необходимо доказать их подобие.

Для решения рисунок чертить необязательно, поскольку для доказательства необходимо применение не геометрического метода, а алгебраического. Следует ввести обозначения для ΔABC: AB = 10, BC = 12 и AC = 25. Аналогичную процедуру необходимо сделать для ΔA’B’C’: сторона A’B’ равна числу 5, B’C’ = 6 и A’C’ = 10.

Далее нужно вычислить коэффициент k для каждой из сторон: k1 = AB / A’B’ = 10 / 5 = 2, k2 = BC / B’C’ = 12 / 6 = 2 и k3 = AC / A’C’ = 25 / 10 = 2,5. Из соотношений следует, что фигуры не являются подобными, поскольку не выполняется такое равенство: k = k1 = k2 = k3. Для наглядности можно построить также таблицу со значениями коэффициентов.

Таким образом, для решения задач по нахождению параметров подобных треугольников необходимо знать признаки подобия, а также некоторые свойства, которые рекомендуют использовать специалисты-математики.

Видео:ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ коэффициент подобия 8 классСкачать

Подобные треугольники

Видео:видеоурок "Определение подобных треугольников"Скачать

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Видео:8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольниковСкачать

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№15 - Признаки подобия треугольников.)Скачать

Свойства подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.