Расположение прямой к окружности теорема

Взаимное расположение прямой и окружности

Выясним количество общих точек прямой и окружности в зависимости от их взаимного расположения. Если прямая l проходит через центр O окружности (Рис.1), то она пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра окружности.

Пусть прямая не проходит через центр окружности. Проведем перпендикуляр OH к прямой l (Рис.2, Рис.3, Рис.4). Обозначим расстояние от центра окружности до прямой l буквой d. Рассмотрим сколько общих точек будут иметь прямая и окружность в зависимости от соотношения d и r.

Расположение прямой к окружности теоремаРасположение прямой к окружности теорема

Теорема 1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.

В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности: d Теорема 2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют одну общую точку.

Расположение прямой к окружности теорема

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности: d=r (Рис.3). В этом случае OH=r, т.е. точка H лежит на окружности и является общей точкой прямой l и окружности. Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда расстояние от OM больше расстояния OH=r, поскольку наклонная OM больше перпендикуляра OH к прямой l. Следовательно точка M не лежит на окружности. Получили, что точка H единственная общая точка прямой l и окружности.Расположение прямой к окружности теорема

Теорема 3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.

Расположение прямой к окружности теорема

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности:d>r (Рис.4). Тогда ( small OH > r). Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда ( small OM > OH>r). Следовательно точка M не лежит на окружности. Таким образом, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.Расположение прямой к окружности теорема

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Расположение прямой к окружности теоремаОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Расположение прямой к окружности теоремаСвойства хорд и дуг окружности
Расположение прямой к окружности теоремаТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Расположение прямой к окружности теоремаДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Расположение прямой к окружности теоремаТеорема о бабочке

Расположение прямой к окружности теорема

Видео:Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьРасположение прямой к окружности теорема
КругРасположение прямой к окружности теорема
РадиусРасположение прямой к окружности теорема
ХордаРасположение прямой к окружности теорема
ДиаметрРасположение прямой к окружности теорема
КасательнаяРасположение прямой к окружности теорема
СекущаяРасположение прямой к окружности теорема
Окружность
Расположение прямой к окружности теорема

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругРасположение прямой к окружности теорема

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусРасположение прямой к окружности теорема

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаРасположение прямой к окружности теорема

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрРасположение прямой к окружности теорема

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяРасположение прямой к окружности теорема

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяРасположение прямой к окружности теорема

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружности

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеРасположение прямой к окружности теоремаДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыРасположение прямой к окружности теоремаЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныРасположение прямой к окружности теоремаБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиРасположение прямой к окружности теоремаУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыРасположение прямой к окружности теоремаДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Расположение прямой к окружности теорема

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыРасположение прямой к окружности теорема

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыРасположение прямой к окружности теорема

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиРасположение прямой к окружности теорема

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныРасположение прямой к окружности теорема

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиРасположение прямой к окружности теорема

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыРасположение прямой к окружности теорема

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Расположение прямой к окружности теорема

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыРасположение прямой к окружности теорема
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиРасположение прямой к окружности теорема
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиРасположение прямой к окружности теорема
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаРасположение прямой к окружности теорема

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Расположение прямой к окружности теорема

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Пересекающиеся хорды
Расположение прямой к окружности теорема
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Расположение прямой к окружности теорема
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Расположение прямой к окружности теорема
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Расположение прямой к окружности теорема
Пересекающиеся хорды
Расположение прямой к окружности теорема

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Расположение прямой к окружности теорема

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Тогда справедливо равенство

Расположение прямой к окружности теорема

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Расположение прямой к окружности теорема

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Расположение прямой к окружности теорема

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Расположение прямой к окружности теорема

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Расположение прямой к окружности теорема

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Расположение прямой к окружности теорема

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Расположение прямой к окружности теорема

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Расположение прямой к окружности теорема

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Взаимное расположение прямой и окружности | Геометрия 7-9 класс #68 | ИнфоурокСкачать

Взаимное расположение прямой и окружности  | Геометрия 7-9 класс #68 | Инфоурок

Геометрия. 8 класс

Конспект
Рассмотрим окружность с центром в точке О и прямую a, её не пересекающую.
Расстояние от центра окружности до прямой равно длине перпендикуляра ОВ.

Это расстояние больше радиуса окружности.
Будем перемещать прямую, параллельно самой себе в сторону центра окружности. В определённый момент, прямая коснется окружности.

Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку называется касательной к окружности.
Общая точка прямой и окружности называется точкой касания.
Будем передвигать прямую далее к центру. Прямая пересечет окружность в двух точках.
Расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса.

Продолжая движение дальше, мы получим еще одну касательную к окружности.

Продолжим движение прямой дальше, она опять не будет иметь с окружностью общих точек.
Расстояние от центра окружности опять больше её радиуса.

Рассмотрим случай, когда прямая имеет с окружностью одну общую точку.

Сформулируем свойство касательной.
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Дано: Окружность с центром О, a – касательная, B – точка касания.
Доказать: aOB
Доказательство:
Пусть утверждение неверно, т.е. прямая a не перпендикулярна радиусу OB. Тогда OB – наклонная к прямой a. Перпендикуляр меньше наклонной, тогда расстояние от центра O до прямой a меньше радиуса. Следовательно, прямая a и окружность имеют 2 общие точки. Но это противоречит условию, т.к. прямая a – касательная. Значит наше предположение неверно и aOB.
Верно и обратное утверждение:
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Проведем к окружности две касательные из одной точки, не принадлежащей окружности.

Выполняется утверждение:
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Докажите его самостоятельно, используя равенство треугольников AOВ и AOС.
Дано: окружность с центром O, касательные AB и AC
Доказать: AB = AC, ∠OAB = ∠OAC
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.

🎦 Видео

Геометрия 8 класс (Урок№25 - Взаимное расположение прямой и окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№25 - Взаимное расположение прямой и окружности.)

70. Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

70. Взаимное расположение прямой и окружности

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Урок по геометрии ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИСкачать

Урок по геометрии ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Геометрия 8 класс : Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

Геометрия 8 класс : Взаимное расположение прямой и окружности

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностей

Теорема о числе точек пересечения окружности и прямойСкачать

Теорема о числе точек пересечения окружности и прямой

Взаимное расположение прямой и окружности, математика 6 классСкачать

Взаимное расположение прямой и окружности, математика 6 класс

Геометрия. 7 класс. Взаимное расположение прямой и окружности /13.04.2021/Скачать

Геометрия. 7 класс. Взаимное расположение прямой и окружности /13.04.2021/

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой
Поделиться или сохранить к себе: