Все о четырехугольниках геометрия (6 видео)

Все о четырехугольниках геометрия

Четырехугольник — фигура, состоящая из четырех точек и четырех отрезков,последовательно их соединяющих; причем ни одна из трех данных точек не лежит на одной прямой, а отрезки, соединяющие их, не пересекаются.

Соседние вершины — вершины четырехугольника, являющиеся концами одной из его сторон.
Противолежащие вершины — несоседние вершины.
Соседние стороны — стороны выходящие из одной вершины. Противолежащие стороны — несоседние стороны.
Диагональ четырехугольника — отрезок, соединяющий противолежащие вершины четырехугольника.
Периметр четырехугольника — сумма длин всех сторон.
Выпуклый четырехугoльник — четырехугольник, лежащий в одной полуплоскости относительно прямой,содержащей его сторону.
Внешний угол четырехугольника — угол,смежный с углом четырехугольника.

Содержание

Свойства углов и сторон четырехугольника
Виды четырехугольников
Все, что нужно знать о свойствах четырехугольников
Геометрия. Урок 4. Четырехугольники
Определение четырехугольника
Выпуклые четырехугольники
Параллелограмм
Прямоугольник
Квадрат
Трапеция
Примеры решений заданий из ОГЭ
🎬 Видео

Свойства углов и сторон четырехугольника

Свойства углов
1. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
2. Сумма внешних углов четырехугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Свойства сторон
1. Каждая сторона четырехугольника меньше суммы всех его других сторон.
2. Сумма диагоналей меньше его периметра.

Виды четырехугольников

Конспекты по четырехугольникам:

Это конспект по теме «Четырехугольники и его свойства». Выберите дальнейшие действия:

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все, что нужно знать о свойствах четырехугольников

В этой статье мы рассмотрим все основные свойства и признаки четырехугольников.

Для начала я расположу все виды четырехугольников в виде такой сводной схемы:

Схема замечательна тем, что четырехугольники, стоящие в каждой строке обладают ВСЕМИ СВОЙСТВАМИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НАД НИМИ. Поэтому запоминать надо совсем немного.

Трапеция — это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами.

1. В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180°: А+В=180°, C+D=180°

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на ее основании отрезок, равный боковой стороне:

3. Биссектрисы смежных углов трапеции пересекаются под прямым углом.

4.Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны:

В равнобедренной трапеции

углы при основании равны,
проекции боковых сторон на основание равны: .

5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Параллелограм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: В параллелограмме:

противоположные стороны и противоположные углы равны
диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам:

Соответственно, если четырехугольник обладает этими свойствами, то он является параллелограммом.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

или произведению сторон на синус угла между ними:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны:

противоположные углы равны
диагонали точкой пересечения делятся пополам
диагонали взаимно перпендикулярны
диагонали ромба являются биссектрисами углов

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

или произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые:

Диагонали прямоугольника равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны

Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Соответственно: квадрат обладает свойствами ромба и прямоугольника:

все углы равны 90 градусов
диагонали точкой пересечения делятся пополам
диагонали взаимно перпендикулярны
диагонали являются биссектрисами углов
диагонали равны

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь квадрата равна половине произведения диагоналей.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Геометрия. Урок 4. Четырехугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Определение четырехугольника

Выпуклые четырехугольники

Параллелограмм

Видео:Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

Определение четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые ( A B C D ) и невыпуклые ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

Выпуклые четырехугольники

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: A B и A D , A B и B C , B C и C D , C D и A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: A B и C D , B C и A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C , B и D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. A C и B D – диагонали четырехугольника A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Видео:Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Параллелограмм

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Противолежащие стороны равны.
Противоположные углы равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 ° .
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Диагонали пересекаются под прямым углом.
Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Видео:Четырехугольники. Вебинар | МатематикаСкачать

Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90 ° .

Свойства прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны.
Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Квадрат

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

Сохраняет свойства ромба.
Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Как квадрат стороны.

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Видео:ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и его элементы. §1 геометрия 8 классСкачать

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями , другие две стороны называются боковыми сторонами .

B C и A D – основания, A B и C D – боковые стороны трапеции A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 ° .

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны

Видео:Четырехугольник | Геометрия 7-9 класс #41 | ИнфоурокСкачать