В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину O хорды BD проведена хорда AC так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды AC.

Вписанные углы ADB, CBD , ACB и DAC опираются на равные дуги, значит, они равны.

Получаем, что треугольники СOВ и AOD подобны по двум углам; их коэффициент подобия равен BO:OD. Поскольку BO = OD , эти треугольники равны, следовательно, AO = OC.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Репетитор по математике

Меня зовут Виктор Андреевич, — я репетитор по математике . Последние десять лет я занимаюсь только преподаванием. Я не «натаскиваю» своих учеников. Моя цель — помочь ребенку понять предмет, научить его мыслить, а не применять шаблоны, передать свои знания, а не просто «добиться результата».

Предусмотрен дистанционный формат занятий (через Skype или Zoom). На первом же уроке оцениваем уровень подготовки ребенка. Если ребенка устраивает моя подача материала, то принимаем решение о дальнейшем сотрудничестве — составляем расписание и индивидуальный план работы. После каждого занятия дается домашнее задание — оно всегда обязательно для выполнения. [в личном кабинете родители могут контролировать успеваемость ребенка]

В окружности через середину о хорды bd

Стоимость занятий

Набор на 2020/2021 учебный год открыт. Предусмотрен дистанционный формат.

Видеокурсы подготовки к ЕГЭ-2021

Решения авторские, то есть мои (автор ютуб-канала mrMathlesson — Виктор Осипов). На видео подробно разобраны все задания.

Теория представлена в виде лекционного курса, для понимания методик, которые используются при решении заданий.

Видео:№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый

Группа Вконтакте

В группу выкладываются самые свежие решения и разборы задач. Подпишитесь, чтобы быть в курсе и получать помощь от других участников.

В окружности через середину о хорды bd

Видео:№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

Преимущества

Педагогический стаж

Сейчас существует много сайтов, где вам подберут репетитора по цене/опыту/возрасту, в зависимости от желаний. Но большинство анкет там принадлежат либо студентам, либо школьным учителям. Для них репетиторство — дополнительный временный заработок, из этого формируется отношение к деятельности. У студентов нет опыта и желания совершенствоваться, у школьных учителей — нет времени и сил после основной деятельности. Я занимаюсь только репетиторством с 2010 года. Все свои силы и знания трачу на совершенствование только в этой области.

Собственная методика

За время работы я накопил огромное количество материала для подготовки к итоговым экзаменам. Ребенку не будет даваться неадаптированная школьная программа. С каждым я разберу поэтапно специфичные примеры, темы, способы решений, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ и ОГЭ. При этом это не будет «натаскиванием» на решение конкретных задач, но полноценная структурированная подготовка. Естественно, если таковые найдутся, устраню «пробелы» и в школьной программе.

Гарантированный результат

За время моей работы не было ни одного случая, где не прослеживалась бы четкая тенденция к улучшению знаний у ученика. Ни один откровенно не «завалил» экзамен. Каждый вырос в «понимании» математики в сравнении со своим первоначальным уровнем. Естественно, я не могу гарантировать, что двоечник за полгода подготовится на твердую «пять». Но могу с уверенностью сказать, что я подготовлю ребенка на его максимально возможный уровень за то время, что осталось до экзамена.

Индивидуальная работа

Все дети разные, поэтому способ и форма объяснения корректируются в зависимости от уровня понимания ребенком предмета. Индивидуальная работа с каждым учеником — каждому даются отдельные задания, теоретический материал.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

В окружности через середину о хорды bdОтрезки и прямые, связанные с окружностью
В окружности через середину о хорды bdСвойства хорд и дуг окружности
В окружности через середину о хорды bdТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
В окружности через середину о хорды bdДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
В окружности через середину о хорды bdТеорема о бабочке

В окружности через середину о хорды bd

Видео:Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP=6, CP=8, DP=12. Найдите AP.Скачать

Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP=6, CP=8, DP=12. Найдите AP.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьВ окружности через середину о хорды bd
КругВ окружности через середину о хорды bd
РадиусВ окружности через середину о хорды bd
ХордаВ окружности через середину о хорды bd
ДиаметрВ окружности через середину о хорды bd
КасательнаяВ окружности через середину о хорды bd
СекущаяВ окружности через середину о хорды bd
Окружность
В окружности через середину о хорды bd

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругВ окружности через середину о хорды bd

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусВ окружности через середину о хорды bd

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаВ окружности через середину о хорды bd

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрВ окружности через середину о хорды bd

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяВ окружности через середину о хорды bd

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяВ окружности через середину о хорды bd

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеВ окружности через середину о хорды bdДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыВ окружности через середину о хорды bdЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныВ окружности через середину о хорды bdБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиВ окружности через середину о хорды bdУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыВ окружности через середину о хорды bdДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
В окружности через середину о хорды bd

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыВ окружности через середину о хорды bd

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыВ окружности через середину о хорды bd

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиВ окружности через середину о хорды bd

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныВ окружности через середину о хорды bd

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиВ окружности через середину о хорды bd

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыВ окружности через середину о хорды bd

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

В окружности через середину о хорды bd

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыВ окружности через середину о хорды bd
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиВ окружности через середину о хорды bd
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиВ окружности через середину о хорды bd
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаВ окружности через середину о хорды bd

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

В окружности через середину о хорды bd

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

Пересекающиеся хорды
В окружности через середину о хорды bd
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
В окружности через середину о хорды bd
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
В окружности через середину о хорды bd
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
В окружности через середину о хорды bd
Пересекающиеся хорды
В окружности через середину о хорды bd

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

В окружности через середину о хорды bd

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

Тогда справедливо равенство

В окружности через середину о хорды bd

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

В окружности через середину о хорды bd

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

В окружности через середину о хорды bd

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

В окружности через середину о хорды bd

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

В окружности через середину о хорды bd

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

В окружности через середину о хорды bd

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Задача на нахождение длины хорды окружностиСкачать

Задача на нахождение длины хорды окружности

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

Воспользовавшись теоремой 1, получим

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

В окружности через середину о хорды bd

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

В окружности через середину о хорды bd

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

🎥 Видео

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

🔴 В окружности с центром O отрезки AC и BD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В окружности с центром O отрезки AC и BD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)Скачать

Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)

№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружностиСкачать

№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.
Поделиться или сохранить к себе: