Все интересное про четырехугольники (3 видео)

Все, что нужно знать о свойствах четырехугольников

В этой статье мы рассмотрим все основные свойства и признаки четырехугольников.

Для начала я расположу все виды четырехугольников в виде такой сводной схемы:

Схема замечательна тем, что четырехугольники, стоящие в каждой строке обладают ВСЕМИ СВОЙСТВАМИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НАД НИМИ. Поэтому запоминать надо совсем немного.

Трапеция — это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами.

1. В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180°: А+В=180°, C+D=180°

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на ее основании отрезок, равный боковой стороне:

3. Биссектрисы смежных углов трапеции пересекаются под прямым углом.

4.Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны:

В равнобедренной трапеции

углы при основании равны,
проекции боковых сторон на основание равны: .

5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Параллелограм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: В параллелограмме:

противоположные стороны и противоположные углы равны
диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам:

Соответственно, если четырехугольник обладает этими свойствами, то он является параллелограммом.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

или произведению сторон на синус угла между ними:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны:

противоположные углы равны
диагонали точкой пересечения делятся пополам
диагонали взаимно перпендикулярны
диагонали ромба являются биссектрисами углов

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

или произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые:

Диагонали прямоугольника равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны

Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Соответственно: квадрат обладает свойствами ромба и прямоугольника:

все углы равны 90 градусов
диагонали точкой пересечения делятся пополам
диагонали взаимно перпендикулярны
диагонали являются биссектрисами углов
диагонали равны

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь квадрата равна половине произведения диагоналей.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Содержание

Научный проект по геометрии «Мир четырехугольников»
«Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
«Мир четырёхугольников»
Просмотр содержимого документа «»Мир четырёхугольников»»
🎬 Видео

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Научный проект по геометрии «Мир четырехугольников»

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Министерство образования и науки, молодежи и спорта России

Министерство образования и науки Автономной Республики Крым

Малая академия наук школьников Крыма «Искатель»

Симферопольский городской филиал

Секция: прикладная математика

Гончаренко Карина Артуровна,

учащаяся 8 класса

УВК «Школа- гимназия» №10

им. Э.К. Покровского

Симферопольского городского совета

Кулькова Людмила Михайловна

УВК «Школа- гимназия» №10 им.

Симферопольского городского совета

Содержание проекта Страницы

Цели, задачи и методы исследования___________________1

Мы изучаем четырехугольники _____________________ 2-6

Признаки четырехугольников_______________________ 7-8

Интересные задачи о четырехугольниках.____________ 8-11

Что связывает четырехугольники между собой _________ 12

Геометрия в постройках _____________________________13

Сказка – загадка о четырехугольниках _________________14

Домино, тримино, тетрамино, пентамино ______________15

План моего дома ___________________________________16

Возможен ли мир без четырехугольников? _____________17

Четырехугольники в архитектуре ___________________18-19

Геометрия в технике ________________________________20

Геометрия в быту ________________________________21-22

Четырехугольники в мире школы ___________________22-23

Мы, класс и четырехугольники________________________24

Видео:Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

«Мир четырёхугольников»

Проектная работа учащихся 8 класса. В ней представлен материал, который изучается на уроке и вне урока.

Просмотр содержимого документа
«»Мир четырёхугольников»»

Районный конкурс ученических

проектов по математике

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Жирятинская средняя общеобразовательная школа им.А.Ф.Возликова

Молодожен Лидия Сёмина Анастасия

Руководитель :Козлова Галина Петровна, учитель математики

с.Жирятино ул.Ленина д.38

2.1 Определение четырехугольника ………………… 4

2.2 Таблица классификации четырёхугольников……5…

2.8 Ортодиагональный четырёхугольник…………………

I. Введение Актуальность темы: Нам порою кажется, что геометрия совершенно не связана с нашей жизнью, что это очень трудная и совсем непонятная наука. Часто самые интересные факты — из-за малого количества отведенных на предмет часов — проходят мимо вас. На самом же деле мы с вами живем в мире, который неразрывно связан с геометрией. В ходе работы над проектом перед нами открылся удивительный мир четырёхугольников, обладающих неповторимыми свойствами. Квадраты, ромбы, прямоугольники… каждый ученик сталкивается с ними в школе на уроках геометрии. Основополагающий вопрос: Можно ли представить себе мир без четырехугольников? Зачем мы изучаем четырехугольники? Какое применение находят четырехугольники в природе и технике? Что связывает четырехугольники между собой? Чем интересны четырехугольники? Научная формулировка гласит, что геометрия — это раздел математики, который изучает фигуры и свойства фигур на плоскости и в пространстве . Стоит осмотреться, и мы увидим, что многие предметы имеют форму, похожую на уже знакомые нам геометрические фигуры. В современной архитектуре смело используются самые разные геометрические формы, чаще всего – четырехугольники. Плитки пола в ванной, на тротуарах, на вокзалах чаще бывают четырехугольными. По улице движутся автомобили, автобусы, троллейбусы, их окна это четырехугольники: трапеции, квадраты, прямоугольники. Цель работы – Провести классификацию четырехугольников, систематизировать знания для подробного изучения темы «Четырехугольники»; уметь применять теоретические знания в решении практических, занимательных задач, активизировать познавательную деятельность и интерес к геометрии.

Исходя из цели, были поставлены следующие задачи:

1. Рассмотреть определения четырехугольников .

2. Изучить виды, свойства, признаки четырехугольников.

3. Выяснить, в каких областях человеческой деятельности применяются четырехугольники.

Объект исследования: геометрические фигуры четырехугольники.

Методы исследования:

изучение дополнительной литературы по данному вопросу;
наблюдения в повседневной жизни;

Обобщение и систематизация изученного материала .

2. Основное содержание

2.1 Определение четырехугольника.

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. [1,19]. В курсе геометрии мы изучали выпуклые многоугольники: Параллелограмм, Ромб, Прямоугольник, Квадрат, Трапецию.

2.2 Таблица классификации четырёхугольников

В ажнее всех фигур,

Я всех их свойствами своими наделил.

Хоть стороны мои попарно и равны, и параллельны,

Всё ж я в печали, что не равны мои диагонали,

Да и углы не делят пополам.

Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

1.Противоположные стороны параллелограмма равны и противоположные углы равны.

2.Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм

Если в четырехугольнике две стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. [1,15].

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. [4,7].

А я — особый параллелограмм,

В се стороны мои наклонены,

да и к тому же все равны.

Меня за это ромбом величают.

Геометрической фигурой называют.

Диагонали под прямым углом пройдут.

На части равные фигуру разобьют.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб является параллелограммом, значит, он обладает всеми свойствами параллелограмма.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам, т.е. диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

1) Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.

2) Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом.

3) Если у четырехугольника все стороны равны, то он является ромбом.

4) Если смежные стороны параллелограмма равны, то он является ромбом.

2.5 Прямоугольник A я — прямоугольник,

В отличие от всех.

Все стороны свои держу я строго,

Две — чуть поменьше, ну а две побольше,

Которые напротив — те равны,

А те, что смежные, углом прямым скрепляю,

И преимущество имею я:

«Ведь всё ж равны мои диагонали».

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Диагонали прямоугольника равны

Признак: Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Р екомендуюсь: я — квадрат.

Любую площадь я измерить рад.

С глубокой древности я — мера площадей,

Она в квадрате стороны моей.

Имею я четыре стороны,

И все они равны.

Но у меня притом равны диагонали,

Углы они мне делят пополам,

На части равные разбит я ими сам.

Вобрав всё важное в себя,

Фигурой знатной стал и я

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства: Квадрат обладает всеми свойствами ромба и прямоугольника.

1.Все углы квадрата прямые.

2.Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся полам, делят углы квадрата пополам.

А я — фигура, не похожая на всех

. Хоть я и не параллелограмм, Но среди всех фигур мне место есть.

Ведь у меня же параллельны основания.

Бывают стороны равны, диагонали.

Ещё углы при основании.

Тогда трапецией я равнобедренной зовусь.

Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а две другие – боковыми. Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.

Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

У равнобокой трапеции:

углы при основании равны:

сумма противолежащих углов равна 180

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

2.8 Ортодиагональный четырёхугольник

Изучая дополнительную литературу мы выяснили, что существуют другие виды четырёхугольников

Ортодиагональный четырёхугольник — это четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются под прямым углом.

. Согласно описанию этих четырёхугольников, два красных квадрата на двух противоположных сторонах четырёхугольника дают в сумме ту же площадь, что и два синих квадрата на другой паре сторон.

Дельтоид является ортодиагональным четырёхугольником, в котором одна диагональ является осью симметрии. Дельтоиды — это в точности ортодиагональные четырёхугольники, имеющие окружность, касающуюся всех четырёх сторон. Таким образом, дельтоиды являются описанными ортодиагональными четырёхугольниками[1].

Ромб — это ортодиагональный четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон

2.8 Практическое применение четырехугольников в решении реальных задач.

Работая над проектом, мы нашли интересные факты о некоторых четырёхугольниках

Французский математик Франсуа Лукас (1847-1891)- специалист в области теории чисел, занимаясь поиском простого объяснения формы арабских цифр, столкнулся с легендой о перстне царя Соломона.

Легенда гласит, что на драгоценном камне, украшавшем перстень, была изображена таинственная фигура, квадрат с двумя диагоналями, из которой, можно получить фигуры всех десяти цифр

В средние века и в эпоху Возрождения математики были заворожены числом = 1.61803398. названным «божественной пропорцией». Среди фигур — «золотой прямоугольник»..(В нём отношение большей стороны к меньшей равно числу 1.618

Демонстрация этой фигуры и её свойств:

Золотой прямоугольник сечения делится на квадрат и другой, меньший золотой прямоугольник сечения. Этот процесс может быть продолжен до бесконечности, добавляя квадрат (площадь) по более длинной стороне золотого прямоугольника сечения.

Окна, рамы картин, здания, книги часто приблизительно соответствуют Золотому прямоугольнику.

Парфенон V в. до н.э. одно из красивейших сооружений древнегреческой архитектуры.

Правило золотого сечения просматривается в фасаде здания.

4.Занимательная игра «Пифагор» Чтобы дать пищу нашему мозгу, человек издавна изобретает различные занимательные игры. Давайте рассмотрим некоторые математические игры. Вот, например, китайская игра «Танграм», она же греческая игра «стомахион». У нас можно встретить игру «Пифагор».

Ими увлекались ещё Архимед, французский император Наполеон.

Описание игры. Квадрат размером 7X7 см разрезан так, что получается 7 геометрических фигур: 2 разных по размеру квадрата, 2 маленьких треугольника, 2 — больших (в сравнении с маленькими) и 1 четырехугольник (параллелограмм).

Цель игры состоит в составлении из 7 геометрических фигур — частей игры, плоских изображений: силуэтов строений, предметов, животных.

Работая над проектом, наблюдая за окружающим миром мы выяснили, что четырехугольники окружают нас повсюду и играют важную роль в нашей жизни: определяют форму столь необходимых нам предметов, приборов и механизмов, радуют глаз, красуясь на фасадах памятников архитектуры и исторических сооружений, помогают в построении планов и схем, делают наш быт и повседневность проще, легче и удобней.

Вывод: Четырёхугольники – просто, сложно, интересно!

5.Список использованных источников

http://ru.wikipedia.org – Википедия – свободная энциклопедия

http://www.nigma.ru – интеллектуальная поисковая система

Атанасян Л.С. Геометрия 7-9: учеб. Для общеобразоват. Учреждений – М.: Просвещение, 2013

Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия – 2010

Глейзер Г.И. «История математики»

9. Энциклопедия. Я познаю мир. Математика. – М.: ООО «Издательство АСТ», 2003. – 408 с.