Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Перпендикулярные прямые

Содержание

Начертим две произвольно пересекающиеся прямые $a$ и $b$ под углом $alpha$. Вообще, как мы знаем, две прямые при пересечении образуют четыре угла. Значит, любой из оставшихся углов будет образовывать с углом $alpha$ либо смежный угол, либо вертикальный.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Из этого мы можем сделать вывод, что если при пересечении двух прямых один угол прямой, то остальные углы также являются прямыми. Перед вами — частный случай пересечения прямых, которые в данном контексте будут называться перпендикулярными.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Определение перпендикулярных прямых

Дадим этому случаю определение:

Перпендикулярные прямые — две прямые, пересекающиеся под прямым углом.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Чтобы строго доказать, что каждый из образуемых углов будет прямым, разметим на нашем чертеже оставшиеся углы — углы $beta$, $gamma$ и $delta$. Применим к ним доказанные нами ранее теоремы о вертикальных и смежных углах, при условии, что угол $alpha$ задан определением и равняется $90^$.

1. Угол $beta$ — смежный с углом $alpha$. Известно, что сумма смежных углов равняется $180^$. Если $alpha=90^$, то $beta=180^-90^=90^$.

2. Вертикальные углы равны. Угол $beta$ вертикален углу $delta$, следовательно угол $delta$ так же, как и $beta$, равняется $90^$. Аналогичное применимо и к другой паре вертикальных углов — $alpha$ и $gamma$.

Итого: $alpha=90^$, $beta=90^$, $gamma=90^$, $delta=90^$. Все углы — прямые.

Видео:Наклонная, проекция, перпендикуляр. 7 класс.Скачать

Наклонная, проекция, перпендикуляр. 7 класс.

Перпендикуляр к прямой

Пусть на плоскости лежат прямая $a$ и точка $A$. Так, из точки $A$ к прямой $a$ можно опустить перпендикуляр.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Он представляет собой отрезок прямой, перпендикулярной к заданной, с концом в точке пересечения. Отметим точку пересечения как $B$. Получившийся отрезок $AB$ и есть перпендикуляр к прямой $a$. Однако если говорить грамотно, точка пересечения обычно называется основанием перпендикуляра.

Перпендикулярность в геометрической нотации обозначается значком «$perp$». К примеру, если прямые $a$ и $b$ перпендикулярны, кратко записывается это следующим образом: $aperp$. В случае отрезка-перпендикуляра $AB$, что мы разобрали выше, можно было бы записать: $ABperp$.

Легко запомнить! Значок визуально напоминает мини-версию чертежа перпендикуляра к прямой.

Единственность перпендикуляра

Важно понимать: одна точка — один перпендикуляр. Вы не можете провести через одну точку прямой более одного перпендикуляра к ней. Это — теорема о единственности перпендикуляра, и формально она звучит так:

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

Далее мы воспользуемся крайне сподручным математическим инструментом — доказательством от противного . Подобный вид доказательства заключается в отрицании тезиса доказательства. В математике вам еще не раз придется прибегать к данному способу заключения истинности утверждений.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Предположим, что это неправда, и через одну точку прямой проходят сразу два перпендикуляра. На данном чертеже «основной» перпендикуляр отмечен прямой $b$, «альтернативный» —прямой $c$. Угол $(ab)$ по определению прямой. Но по определению прямым является и угол $(ac)$. Мы знаем, что от прямой можно отложить только один угол заданной градусной меры, а у нас их два. Явно возникшее противоречие сообщает о единственности перпендикуляра к точке прямой.

Осторожно, строительные работы

Решили вы, значит, прикрепить навесную полку к стене. Установка прошла прекрасно, только… Кажется, висит полка криво. Или нет? Своего рода иллюзия обмана? Глаз может подвести, необходимо достать-таки объективное доказательство. Поможет вам решить спорный вопрос бесхитростное приспособление, применяемое строителями еще со времен Древнего Египта. А то и раньше. Называется оно отвес.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Отвес представляет собой грузик, прикрепленный к гибкой нити. Грузик хоть и небольшой, но увесистый, а еще имеет специальную форму — заостренного конуса, что позволяет нитке, натянутой грузиком, показывать идеальную вертикальную линию. Если прикрепить отвес к ровному потолку, по углу, образованному прямыми, будет понятно, действительно ли полка весит криво. Прямой угол — «прямая» полка.

Интересный поворот в истории: древние римляне отвес нарекли словом ‘perpendiculum’ — от глагольной формы ‘perpendō’, в переводе примерно — «я точно измеряю». Так что существительное «перпендикуляр» и его производные восходят к тому, как Populus Romanus называли отвес.

Видео:7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямойСкачать

7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямой

Связь между параллельностью и перпендикулярностью

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Если наша полка в итоге висит идеально ровно по отношению к потолку, то с точки зрения планиметрии прямые, образованные полкой и потолком, будут называться параллельными. Параллельный — то есть непересекающийся: иными словами, такие прямые лежат в одной плоскости и при этом не пересекаются. Подробнее свойства параллельности мы разберем в курсе геометрии далее.

Пока просто дадим определение:

Параллельные прямые — прямые, что находятся в одной плоскости и не имеют точек пересечения.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Разберем ситуацию, когда помимо двух параллельных прямых имеется перпендикулярная к одной из них. Начертим параллельные прямые $a$ и $b$. К прямой $a$ проведем перпендикуляр $c$ и достроим его до прямой $b$.

Если $c$ перпендикулярна к $a$, то она также перпендикулярна и к $b$, при условии, что $a$ и $b$ — параллельны. Доказать это можно классическим наложением прямых или вновь, через метод доказательства от противного.

Подумайте, как применить доказательство от противного, чтобы прийти к выводу, что перпендикулярность и параллельность связаны друг с другом. Делитесь своими идеями в комментариях под уроком!

Связь между параллельностью и перпендикулярностью записать можно и «в обратном порядке»: если две (или более, — количество прямых может быть бесконечным) прямые перпендикулярны к третьей, то эти две прямые — параллельны.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Прямая линия. Параллельные прямые. Основные понятия.

Две прямые называются параллельными, если, находясь в одной плоскости, они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Параллельность прямых на письме обозначают так: AB || СE

Возможность существования таких прямых доказывается теоремой.

Теорема.

Через всякую точку, взятую вне данной прямой, можно провести параллельную этой прямой.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Пусть AB данная прямая и С какая-нибудь точка, взятая вне ее. Требуется доказать, что через С можно провести прямую, параллельную AB. Опустим на AB из точки С перпендикуляр СD и затем проведем СE ^ СD, что возможно. Прямая CE параллельна AB.

Для доказательства допустим противное, т.е., что CE пересекается с AB в некоторой точке M. Тогда из точки M к прямой СD мы имели бы два различных перпендикуляра MD и , что невозможно. Значит, CE не может пересечься с AB, т.е. СE параллельна AB.

Следствие.

Аксиома параллельных линий.

Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Так, если прямая СD, проведенная через точку С параллельна прямой AB, то всякая другая прямая СE, проведенная через ту же точку С, не может быть параллельна AB, т.е. она при продолжении пересечется с AB.

Доказательство этой не вполне очевидной истины оказывается невозможным. Ее принимают без доказательства, как необходимое допущение (postulatum).

Следствия.

1. Если прямая (СE) пересекается с одной из параллельных (СВ), то она пересекается и с другой (AB), потому что в противном случае через одну и ту же точку С проходили бы две различные прямые, параллельные AB, что невозможно.

2. Если каждая из двух прямых (A и B) параллельны одной и той же третьей прямой (С), то они параллельны между собой.

Действительно, если предположить, что A и B пересекаются в некоторой точке M, то тогда через эту точку проходили бы две различные прямые, параллельные С, что невозможно.

Теорема.

Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой параллельной.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Перпендикуляр EF, пересекаясь с AB, непременно пересечет и СD. Пусть точка пересечения будет H.

Предположим теперь, что СD не перпендикулярна к EH. Тогда какая-нибудь другая прямая, например HK, будет перпендикулярна к EH и, следовательно через одну и ту же точку H будут проходить две прямые параллельные AB: одна СD, по условию, а другая HK по доказанному раньше. Так как это невозможно, то нельзя допустить, что СВ была не перпендикулярна к EH.

Видео:Перпендикуляр и наклонная в пространстве. 10 класс.Скачать

Перпендикуляр и наклонная в пространстве. 10 класс.

Планиметрия. Страница 2

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

  • Главная
  • Репетиторы
  • Учебные материалы
  • Контакты

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

1.Параллельность прямых

Теорема: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство. Пусть даны две прямые а и b. Допустим, что они не параллельны между собой. (Рис.1) Тогда они пересекаются в некоторой точке С. Следовательно, через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с. А это невозможно согласно аксиоме: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Следовательно, прямые а и b не пересекаются. Они параллельны.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Рис.1 Теорема. Параллельность прямых.

Видео:Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.

2.Признаки параллельности прямых

Теорема. Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть даны две прямые a и b, которые образуют с секущей АВ внутренние накрест лежащие углы (Рис. 2 а). Допустим, что прямые a и b не параллельны. Тогда они пересекаются в одной точке С. Секущая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. И, следовательно, точка С лежит в одной из них и образует треугольник АВС. Сторона АС принадлежит прямой а. Сторона ВС принадлежит прямой b. (Рис. 2 б)

Отложим равный треугольник ABC1 в другой полуплоскости с вершиной С1 так, чтобы угол А треугольника АВС совпал с углом В треугольника АВС1. Так как по условию задачи сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то сторона АС1 ляжет на прямую а, ВС1 — на прямую b. Тогда точка С1 принадлежит двум прямым: а и b. Т.е. две точки С и С1 одновременно принадлежат двум прямым. А это невозможно. Следовательно прямые a и b не пересекаются, они параллельны.

8. Пример 1

Даны прямая а и точка С, не лежащая на этой прямой. Необходимо доказать, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой а. (Рис.8)

Доказательство:

Проведем прямую b, параллельную прямой а. Тогда, согласно аксиоме 9, (через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую) проведем прямую с через точку С, параллельную прямой b.

Таким образом, получается, что прямая с параллельна прямой b, и прямая a также параллельна прямой b по построению. Следовательно, по теореме о двух прямых, параллельных третьей прямой, имеем, что две прямые a и c параллельны прямой b и, следовательно, они (прямые а и с) параллельны. Т.е. через точку С можно провести прямую, параллельную прямой а.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Рис.8 Задача. Даны прямая а и точка С .

Пример 2

Даны две параллельные прямые а и b, и секущая с. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных этими прямыми, параллельны (Рис.9)

Доказательство:

Так как прямые а и b параллельны, то углы α и β, образованные этими параллельными прямыми и секущей с, равны как внутренние накрест лежащие, т.е. ∠α = ∠β. Согласно определению, биссектриса — это луч, исходящий из вершины угла между его сторонами, который делит этот угол пополам. Следовательно, биссектрисы d1 и d2 делят углы α и β пополам.

Таким образом, так как углы α и β равны, то и углы α/2 и β/2 также равны. А если углы α/2 и β/2 равны, то они являются внутренними накрест лежащими углами, между секущей с и прямыми, на которых лежат лучи d1 и d2, и согласно теореме: признак параллельности прямых, лучи d1 и d2 лежат на параллельных прямых.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Рис.9 Задача. Даны две параллельные прямые а и b и секущая с.

Пример 3

Один из углов равнобедренного треугольника АВС равен 100° (Рис.10). Найти остальные углы треугольника.

Решение:

Так как сумма углов треугольника составляет 180°, а два угла у равнобедренного треугольника равны, то они не могут равняться 100°. Следовательно, углы при вершинах А и С равны, а угол при вершине В = 100°.

Отсюда следует, что можно составить соотношение:

Ответ: углы равнобедренного треугольника составляют: 100°, 40°, 40°.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Рис.10 Задача. Найти углы треугольника.

Пример 4

Сумма внешних углов треугольника АВС при вершиах А и В равна 240° (Рис.11). Найдите угол С треугольника АВС.

Решение:

Так как сумма углов α + β + α1 + β1 = 360°, а

α1 + β1 = 240° по условию задачи, то

А так как сумма углов треугольника составляет 180°, то

α + β + γ = 180°, т.е.

И следовательно, γ = 60°

Ответ: угол при вершине С = 60°.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Рис.11 Задача. Найти угол треугольника.

Пример 5

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Угол при вершине В составляет 36° (Рис.12). Докажите, что треугольники CDA и ADB равнобедренные.

Доказательство:

Так как по условию задачи треугольник АВС равнобедренный, то углы при вершинах А и С равны:

α = 72°, а так как AD биссектриса, то ∠BAD = ∠DAC, т.е.

Следовательно, треугольник ADB равнобедренный. Углы при вершинах А и В равны 36°.

Теперь рассмотрим треугольник ADC. Угол λ равен:

λ = 180° — (α / 2 + α)

Таким образом, треугольник ADC равнобедренный. Углы при вершинах С и D равны 72°.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Рис.12 Задача. В равнобедренном треугольнике АВС .

💥 Видео

ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ ЧАСТЬ I 😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ ЧАСТЬ I 😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Задание 25 ОГЭ математика 2023 . Прокачиваем геометрическое мышление!Скачать

Задание 25 ОГЭ математика 2023 . Прокачиваем геометрическое мышление!

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||Скачать

Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Перпендикулярные прямыеСкачать

Перпендикулярные прямые
Поделиться или сохранить к себе:
Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 2
Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны
Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны
Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Рис.2 Теорема. Признаки параллельности прямых.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№11 - Перпендикуляр к прямой.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№11 - Перпендикуляр к прямой.)

3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны и сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов.

Доказательство. Пусть a и b параллельные прямые. Прямая с пересекает их в точках А и В. (Рис. 3)

Проведем через точку А прямую а 1 так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные между прямыми а 1 и b и секущей с, были равны. Тогда по признаку параллельности прямых они параллельны. А так как согласно аксиоме о единственной параллельной прямой, проходящей через точку не лежащей на данной прямой, такая прямая может быть только одна, то прямые а и а 1 совпадают. А следовательно внутренние накрест лежащие углы, образованные между прямыми а,b и секущей с, равны.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Рис.3 Теорема. Свойство углов при пересечении параллельных прямых.

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

4.Сумма углов треугольника

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Доказательство. Пусть АВС данный треугольник. Проведем через вершину В прямую BD, параллельную стороне АС (Рис. 4).

Тогда углы α и α’, γ и γ’ равны как внутренние накрест лежащие. А так как прямая BD представляет собой развернутый угол с вершиной угла в точке В, который равен 180°, т.е. α’ + β + γ’ = 180°, то сумма углов треугольника равна также 180°. Таким образом, мы пришли к выводу, что сумма углов треугольника, т.е. α + β + γ = 180°.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Рис.4 Теорема. Сумма углов треугольника.

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

5.Единственность перпендикуляра к прямой

Теорема. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить только один перпендикуляр на данную прямую.

Доказательство. Пусть дана прямая а и не лежащая на ней точка А. Отметим на прямой а произвольную точку, например D. И проведем через нее перпендикуляр.(Рис. 5)

Теперь проведем через точку А прямую, параллельную нашей перпендикулярной прямой. Она также будет перпендикулярна прямой а. Так как прямая а, перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и второй прямой. Отрезок АВ и есть перпендикуляр. Если допустить, что существует другой перпендикуляр, допустим в точке С. То в треугольнике АВС образуются два угла 90 градусов, а это невозможно. Следовательно отрезок АВ — это единственный перпендикуляр, проходящий через точку А.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Рис.5 Теорема. Единственность перпендикуляра к прямой.

Видео:Перпендикуляр к прямой через заданную точку.Скачать

Перпендикуляр к прямой через заданную точку.

6. Высота, биссектриса и медиана треугольника

Высотой треугольника, проведенной из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из данной вершины на противолежащую сторону.

Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину угла и противолежащую сторону, и делящий данный угол пополам.

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину и противолежащую сторону, и делящий ее пополам. (Рис.6)

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Рис.6 Высота, биссектриса и медиана треугольника.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

7. Свойство медианы равнобедренного треугольника

Теорема. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины угла к основанию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство:

Пусть АВС — данный равнобедренный треугольник с основанием АС. Боковые стороны АВ и ВС равны, ВD — медиана. Необходимо доказать, что BD является биссектрисой и высотой.

Рассмотрим треугольники ABD и BDC. Они равны по третьему признаку равенства треугольников. АВ = ВС по условию, AD = DC, так как BD медиана, а сторона BD у них общая. Следовательно, углы при вершине D равны, а так как они являются смежными, то ∠ADB = ∠CDB = 90°.

Из равенства треугольников ABD и BDC следует равенство углов при вершине В, т.е. ∠AВD = ∠CВD = α.

Отсюда можно сделать вывод, что медиана BD является биссектрисой и высотой.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны

Рис.7 Свойство медианы равнобедренного треугольника.

Если к одной прямой проведены два перпендикуляра то они параллельны