Все формулы четырехугольников 9 класс

Площади четырехугольников
Все формулы четырехугольников 9 классФормулы для площадей четырехугольников
Все формулы четырехугольников 9 классВывод формул для площадей четырехугольников
Все формулы четырехугольников 9 классВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Все формулы четырехугольников 9 класс

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Все формулы четырехугольников 9 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Все формулы четырехугольников 9 класс

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Все формулы четырехугольников 9 класс

a и b – основания,
h – высота

Все формулы четырехугольников 9 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Все формулы четырехугольников 9 класс

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Все формулы четырехугольников 9 класс,
Все формулы четырехугольников 9 класс

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникВсе формулы четырехугольников 9 классS = ab
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
ПараллелограммВсе формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
КвадратВсе формулы четырехугольников 9 классS = a 2
Все формулы четырехугольников 9 классS = 4r 2
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
РомбВсе формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
ТрапецияВсе формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 классS = m h
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
ДельтоидВсе формулы четырехугольников 9 классS = ab sin φ
Все формулы четырехугольников 9 классВсе формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Произвольный выпуклый четырёхугольникВсе формулы четырехугольников 9 класс
Вписанный четырёхугольникВсе формулы четырехугольников 9 класс

где
a и b – смежные стороны

Все формулы четырехугольников 9 класс

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Все формулы четырехугольников 9 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Все формулы четырехугольников 9 класс

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Все формулы четырехугольников 9 класс

где
a и b – основания,
h – высота

Все формулы четырехугольников 9 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Все формулы четырехугольников 9 класс

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Все формулы четырехугольников 9 класс,
Все формулы четырехугольников 9 класс

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Параллелограмм
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Квадрат
Все формулы четырехугольников 9 классS = a 2

где
a – сторона квадрата

Все формулы четырехугольников 9 классS = 4r 2

Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Ромб
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Трапеция
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Дельтоид
Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 классВсе формулы четырехугольников 9 класс

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Все формулы четырехугольников 9 класс
Все формулы четырехугольников 9 класс
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Все формулы четырехугольников 9 класс
Вписанный четырёхугольник
Все формулы четырехугольников 9 класс
Прямоугольник
Все формулы четырехугольников 9 класс

где
a и b – смежные стороны

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Все формулы четырехугольников 9 класс

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммВсе формулы четырехугольников 9 класс

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Все формулы четырехугольников 9 класс

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратВсе формулы четырехугольников 9 класс

где
a – сторона квадрата

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбВсе формулы четырехугольников 9 класс

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Все формулы четырехугольников 9 класс

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияВсе формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

где
a и b – основания,
h – высота

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Все формулы четырехугольников 9 класс

ДельтоидВсе формулы четырехугольников 9 класс

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Все формулы четырехугольников 9 класс

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Произвольный выпуклый четырёхугольникВсе формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникВсе формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Все формулы четырехугольников 9 класс

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Все формулы четырехугольников 9 класс

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Все формулы четырехугольников 9 класс,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Все формулы четырехугольников 9 класс,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Все формулы четырехугольников 9 класс

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Все формулы четырехугольников 9 класс
(рис.6).

Все формулы четырехугольников 9 класс

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Все формулы четырехугольников 9 класс

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Видео:Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

Миникурс по геометрии. Четырехугольники

Четырёхугольники

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Все формулы четырехугольников 9 класс

На этом уроке мы повторим все известные опорные факты о четырехугольниках.
Вначале вспомним формулу площади выпуклого четырехугольника и формулу произведения площадей в четырехугольнике. И рассмотрим эти формулы для трапеции и параллелограмма.
Далее вспомним определение параллелограмма и его свойства и признаки. И рассмотрим частные случаи параллелограмма: прямоугольник, ромб и квадрат.
В конце урока решим задачу на нахождение периметра параллелограмма.

Видео:Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭ

Четырехугольники. Основные теоремы, формулы и свойства. Виртуальный справочник репетитра по математике

З десь ученики и репетиторы по математике и могут найти основные свойства и формулы площадей четырехугольников, изучаемых в школе по основной программе. Регулярно пользуюсь этими теоретическими сведениями на тематических и обзорных занятиях по геометрии (планиметрии), а также при подготовке к ЕГЭ по математкие. Все математические понятия и факты иллюстрированы с цветовыми выделениями главных особенностей изучаемого.

1) Площади четырехугольников

Площадь параллелограмма

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

произведение основания на высоту

Все формулы четырехугольников 9 класс

пороизведение сторон на синус угла между ними

Все формулы четырехугольников 9 класс

полупроизведение диагоналей на синус угла между ними

Площадь трапеции

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

произведение полусуммы оснований на высоту

Все формулы четырехугольников 9 класс

произведение средней линии на высоту

Все формулы четырехугольников 9 класс

полупроизведение диагоналей на синус угла между ними

Площадь произвольного четырехугольника

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс
Площадь произвольного четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей на синус угла между ними

2) Свойства параллелограмма

Все формулы четырехугольников 9 классВ параллелограмме:
Все формулы четырехугольников 9 класспротиволежащие стороны и углы равны

Все формулы четырехугольников 9 классдиагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

3) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, то есть

Все формулы четырехугольников 9 класс

3) Cредняя линия в трапеции
Все формулы четырехугольников 9 класс
Теорема о средней линии: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
То есть Все формулы четырехугольников 9 класси

Все формулы четырехугольников 9 класс

4) Средняя линия в равнобедренной трапеции

Все формулы четырехугольников 9 класс

Средняя линия в равнобедренной трапеции равна отрезку нижнего основания, соединяющему вершину основания с снованием проведенной к ней высоты.

То есть Все формулы четырехугольников 9 класс

5) Теорема с сдвиге диагонали в трапеции

Все формулы четырехугольников 9 класс

Теорема: Если в трапеции через вершину В, как показано на рисунке слева , провести отрезок параллельный одной из диагоналей, то окажутся верными следующие факты:

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класстрапеция Все формулы четырехугольников 9 класс— равнобедренная Все формулы четырехугольников 9 классравнобедренный

Все формулы четырехугольников 9 класс

Все формулы четырехугольников 9 класс

6) Четыре замечательные точки в трапеции

Все формулы четырехугольников 9 класс

Теорема: В любой трапеции точка пересечения диагоналей, точка пеерсечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

То есть точки M, N, K и P лежат на одной прямой

Комментарий репетитора по математкие: Знаний этих свойств по четырехугольникам вполне достаточно для решения задачи С4 на ЕГЭ, то есть ничего сверх этих фактов по четырехугольникам абитуриент знать не обязан. Однако сильным ученикам для решения сложных задач части С или олимпиадных геометрических задач, а также для качественной подготовки к экзамену по математике в МГУ необходимо расширить список. Я бы не советовал репетиторам ограничиваться только задачами на применение этих свойств, так как составителями ЕГЭ по математике закладывается проверка сразу нескольких навыков работы с теорией. В течении всего времени подготовки к ЕГЭ репетитору по математкие необходимо отбирать тренировочные задачи на одновременное использование этих свойств с другими планиметрическими фактами внутри одной задачи, ибо на экзамене может встретиться многоходовая комбинация.

Колпаков Александр Николаевич. Репетитор по математике.

Александр, конечно, есть множество карманных справочников, НО! Было бы здорово сделать для репетиторов по математике скачиваемые материалы в каком-нибудь удобном формате, а также для проработки отдельно задачи к таким шпаргалкам опять же от простого к сложному.

Я выкладывал на каких-то страницах с карточками-памятками готовые теоретические материалы — файлы в формате word, по крайней мере для планиметрии точно. Просмотрите соответствующие разделы сайта. На них ведут ссылки с главной страницы. Задумываю выделить репетиторам по математике для скачивания материалов отдельный раздел сайта. Все упирается в мою занятость реальными учениками. Иначе бы уже давно реализовал все замыслы.

В этой хорошей подборке, на мой взгляд, не достает сведений по углам, например, два внутренних угла параллелограмма, связанных одной стороной в сумме дают 180 градусов.

Принципиально ли в формуле площади через диагонали брать именно меньший угол между ними? Или можно любой?

Александр, если не затруднит, очень хотелось бы получить файлик world на почту или тыкнуть ссылкой на нее. За ранее очень благодарен за титанический труд.

📽️ Видео

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Четырехугольники. Вебинар | МатематикаСкачать

Четырехугольники. Вебинар | Математика

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭ

9 класс. Математика. Подготовка к ОГЭ. Площадь четырехугольниковСкачать

9 класс. Математика. Подготовка к ОГЭ. Площадь четырехугольников

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

ВИДЕОУРОК для 9 и 11 классов: Повторение ФОРМУЛ площадей четырехугольниковСкачать

ВИДЕОУРОК для 9 и 11 классов: Повторение ФОРМУЛ площадей четырехугольников

ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ 9 класса в одной задаче | Математика | TutorOnlineСкачать

ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ 9 класса в одной задаче | Математика | TutorOnline

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shorts

Вся геометрия 7–9 класс с нуля | ОГЭ МАТЕМАТИКА 2023Скачать

Вся геометрия 7–9 класс с нуля | ОГЭ МАТЕМАТИКА 2023

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Геометрия 9 класс. Повторяем ВСЁ. Вебинар | МатематикаСкачать

Геометрия 9 класс. Повторяем ВСЁ. Вебинар | Математика

Геометрия 9 классСкачать

Геометрия 9 класс
Поделиться или сохранить к себе: