ВОЛНОВОЙ ВЕКТОР — вектор k, определяющий направление распространения и пространственный период плоской монохроматич. волны
где 
— постоянные амплитуда и фаза волны, 
— круговая частота, r — радиус-вектор. Модуль В. в. наз. волновым числом k=
, где 
— пространственный период или длина волны. В направлении В. в. происходит наибыстрейшее изменение фазы волны 
, поэтому оно и принимается за направление распространения. Скорость перемещения фазы в этом направлении, или фазовая скорость 
, определяется через волновое число 
. При классич. описании волновых процессов с В. в. связана плотность импульса 
, где 
— плотность энергии. В квантовом пределе соответственно импульс 
. Направление переноса энергии волной, вообще говоря, может и не совпадать с направлением В. в., как это имеет место, напр., в анизотропных средах или даже в изотропных средах с аномальной дисперсией, где возможен перенос энергии в направлении, противоположном В. в.
Понятие о В. в. может быть обобщено на случай квазигармонич. волн вида 
, если ввести локальный В. в. 
и мгновенную частоту 
. Однако, однозначная интерпретация этих величин допустима только при выполнении неравенств:
где k; — декартовы составляющие В. в. (i, j=1, 2, 3). Эти условия устанавливают применимость лучевого описания волновых процессов (приближения геометрической оптики и геометрической акустики, квазиклассич. приближения).
Для эл—магн. гармонической волны (в вакууме) В. в. k и величина 
(с — скорость света) объединяются в единый волновой четырёхвектор, компоненты к-рого подчиняются при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (движущейся с относит. скоростью u) Лоренца преобразованием:
Первое из этих соотношений определяет Доплера аффект, второе — эффект аберрации углов прихода волн (или формируемых ими лучей).
M. А. Миллер, Г. В. Пермитин.
Волновой вектор как найти
Чтобы освободиться от использования системы координат запишем (см. Лекция 1, формула 15) с помощью векторных обозначений, полагая . Пусть вектор равен по модулю волновому числу и направлен параллельно оси в сторону положительных значений (рис. 1). Такой вектор называется волновым. Принимая во вниание, что , запишем для произвольной точки, характеризуемой радиусом-вектором , выражение
Эта формула не зависит от системы координат и характеризует плоскую волну, распространяющуюся в направлении вектора .
Аналогичное выражение для волны можно также написать с использованием синуса:
которое при подходящем выборе начала отсчета времени может быть сведено к предыдущему, поскольку .
Представление плоской волны в комплексной форме . Принимая во внимание формулу Эйлера
представим выражения (1) и (2) формулами
где и — вещественная и мнимая части комплексного числа. В расчетах удобно пользоваться комплексным представлением плоской волны в виде
обозначая комплексную величину тем же символом, что и действительную. Это упрощает написание формул и не приводит к путанице. В тех случаях, когда путаница все же возможна, будем в явном виде указывать, о каком представлении идет речь.
Величина в (6) может быть как действительной, так и комплексной или мнимой. Учитывая, что в общем случае
запишем выражение (6) в виде
где — амплитуда плоской волны. Поэтому и в (7) — амплитуда плоской волны, а — фаза.
Будем искать решение уравнений Максвелла (см. Лекция 1, формула 2) и (см. Лекция 1, формула 3) в виде
где и — постоянные векторы, не зависящие от координат и времени. Компоненты этих векторов могут быть комплексными.
Подставляя выражения (8) в уравнения (см. Лекция 1, формула 2) и (см. Лекция 1, формула 3) и учитывая, что
получаем следующие соотношения:
Из соотношений (11) следует, что векторы и плоской волны перпендикулярны вектору , т. е. направлению распространения. Это означает, что электромагнитная волна является поперечной. Соотношения (10) показывают, что векторы и взаимно перпендикулярны. Таким образом, , и составляют тройку взаимно перпендикулярных векторов.
Поперечность световых колебаний была открыта в 1817г. Т.Юнгом (1773 — 1829). С помощью этого представления он объяснил отсутствие интерференции лучей света, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях, обнаруженное в 1816г. экспериментально в совместной работе Д.Ф.Араго (1786 — 1853) и О.Ж.Френеля (1788 — 1827).
Взяв от обеих частей второго уравнения (10) модули и учитывая, что , , находим следующее соотношение между напряженностью электрического поля и магнитной индукцией плоской волны в вакууме:
Поскольку в (10) — вещественные величины, из (8) заключаем, что и в плоской волне изменяются в одинаковой фазе, т. е. одновременно достигают максимальных и нулевых значений (рис. 2).
ЭНЕРГИЯ ВОЛНЫ. ВЕКТОР УМОВА
ЛЕКЦИЯ №2
МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ. АКУСТИКА
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В широком смысле, под волной понимают процесс распространения в пространстве колебаний или возмущений состояния вещества или поля с течением времени. Математически этот процесс выражается функцией, описывающей распространение в пространстве изменений какой-либо физической величины. Выделяют три типа волн: волны на поверхности жидкости, упругие (иначе механические) и электромагнитные. Рассмотрим механические волны, т.е. процессы распространения механических возмущений в упругой среде.
Механические колебания, возбужденные в какой-либо точке пространства вследствие взаимодействия между упруго связанными частицами среды будут распространяться в ней с некоторой конечной скоростью. Частицы среды последовательно вовлекаются в колебательное движение около своих положений равновесия, но не перемещаются вместе с волной. Таким образом, в волновом процессе не происходит переноса массы. От частицы к частице передается только колебательное движение, а значит, и энергия.Перенос энергии без переноса вещества – это основное свойство всех волн, независимо от их природы.
Волны бывают продольные, если колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения, и поперечные, если направление колебаний перпендикулярно вектору скорости 
волны. Очевидно, что в случае продольных волн в среде возникают деформации сжатия и разрежения, которые в свою очередь приводят к образованию локальных областей сгущения и разрежения вещества, т.е. области повышенного и пониженного давления. Такие волны могут возникать в любых средах: в газах, жидкостях и твердых телах. Поперечные механические волны обусловлены деформациями сдвига. Это означает, что они могут существовать только в твердых телах.
В общем случае, волны представляют собой пространственное образование. Геометрическое место точек (поверхность), до которых колебания дошли к некоторому моменту времени, называется фронтом волны. В зависимости от формы фронта волны бывают: плоские, сферические, цилиндрические и т.д.
Поверхность, точки которой имеют одно и то же значение фазы, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей
бесчисленное множество, а фронт волны всегда один.
УРАВНЕНИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ
Получим уравнение плоской волны в однородной среде вдоль оси 0х, совпадающей с направлением её распространения. Т.к., в этом случае фронт волны перпендикулярен 0х, то смещения s частиц среды будут зависеть только от координаты х и момента времени t, т.е. уравнение волны будет представлять собой функцию – s = f(x,t). Пред-положим, что в точке 0 (рис.1) частица совершает колебания по гармоническому закону: s = Acosωt. Тогда, очевидно, что колебания в некоторой точке М, удаленной от точки 0 на расстояние 0М = х, будут совершаться по тому же закону, но с некоторым отставанием по времени τ от колебаний в точке 0:
Если обозначить скорость волны через u, то время запаздывания, за которое волна добежит от точки 0 до точки М: τ = х/u, и уравнение колебаний в произвольной точке М на расстоянии х от источника примет вид:
s= A cos ω( t-τ ) = A cos ω( t — 
). (2)
Это и есть искомое уравнение плоской бегущей волны. Здесь: А – амплитуда смещения частиц среды от положения равновесия, ω – циклическая частота колебаний частиц, ω( t — ) – фаза колебаний в точке с координатой х, u – скорость плоской волны.
Расстояние между ближайшими частицами среды, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ (рис.1).
Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебаний за период колебаний частиц среды. Тогда λ = u·T = u/ν. Т.к. ω = 2πν, то (2) можно переписать в виде:
s = Acosω( t — 
) = Acos2π(vt — 
) = Acos(ωt — 2π ). (3)
Покажем, что скорость распространения волны u – это скорость перемещения фиксированного значения фазы. Положим ω( t – ) = С, т.е. const. Выразим х: х = ut — Cu/ω. Продифференцировав это выражение по t, получим: 
(С, u, ω – величины постоянные для данной среды). Т.е. u – это скорость, с которой перемещается данное значение фазы. По этой причине скорость волны называют также фазовой скоростью.
Скорость распространения механических волн зависит от физических свойств среды. Скорость распространения продольных волн определяется формулой: 
. Для поперечных волн – 
. Здесь r – плотность недеформированной среды, Е – модуль Юнга, G – модуль сдвига. Е и G – параметры упругости среды.
Основные свойства волн: прямолинейность распространения в однородной среде, отражение и преломление на границе раздела сред, дисперсия, интерференция и дифракция.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Аналогично тому, как уравнение колебаний является решением дифференциального уравнения, описывающего процесс колебаний, так и уравнение волны представляет собой решение дифференциального уравнения, описывающего процесс распространения волн в среде. Это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных называется волновым. Найдем его вид. Запишем первые и вторые производные уравнения волны (2) по переменным t и х:
; 
;
; 
; (4)
; 
. (5)
В трехмерном случае:
.
СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
Рассмотрим в качестве примера проявления волновых свойств механизм образования стоячих волн. Они возникают в результате наложения (интерференции) двух встречных плоских когерентных волн с одинаковой амплитудой. Например, волны падающей и этой же волны отраженной от границы раздела сред. Запишем уравнения двух плоских волн, движущихся навстречу друг другу в виде (3).
s 1= Acos(ωt – 2π ) = А(cosωt cos2π + sinωt sin2π ) . (6)
s2 = Acos(ωt + 2π ) = А(cosωt cos2π – sinωt sin2π ). (7)
Складывая эти равенства, получим уравнение результирующего процесса – уравнение стоячей волны:
(8)
Из (8) видно, что в каждой точке среды происходит колебание той же частоты ω, что и у интерферирующих волн. Однако амплитуда колебаний каждой частицы зависит от координаты точки среды, в которой она расположена: Ах = 2А cos2π . В точках, где аргумент 2π = ±nπ (при n = 0, 1, 2…) и |cos2π | = 1, амплитуда имеет максимальное значение –2А. Эти точки называются пучностями стоячей волны. В точках, где аргумент 2π = ±(n + 
)π, амплитуда минимальна и равна нулю, т.к. в этом случае cos2π = 0. Эти точки называются узлами стоячей волны.
На рис.2 показано как меняется расположение частиц среды в стоячей волне в течение периода.
ЭНЕРГИЯ ВОЛНЫ. ВЕКТОР УМОВА
Последовательное вовлечение в колебательное движение частиц среды означает, что волна передает от частицы к частице некоторую механическую энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Найдем выражение для энергии, переносимой плоской волной. Для этого рассмотрим некоторый объем V среды, все частицы которой вовлечены волной в колебательное движение (рис.3). В момент времени t каждая частица массой m0 имеет определенные значения смещения и скорости. Однако, как мы установили ранее, полная механическая энергия частицы от этого не зависит и равна Ем = 
, где m0 – масса одной частицы. Полагая, что все частицы среды одинаковы, а их число в объеме V равно N, получим для энергии этого объема:
, (9)
где m = m0·N масса вещества в объеме V. Разделив правую и левую часть этого равенства на V , получим количество энергии в единице объема волны. Эта величина называется объемной плотностью энергии:
, (10)
где ρ = m / V – плотность вещества среды, в которой распространяется волна. Объемная плотность энергии измеряется в Дж / м 3 .
Определим энергию, переносимую волной через площадку площадью S перпендикулярную 
(рис.3). За время t волна удалится от S на расстояние Δl = u·t и вовлечет в колебательное движение частицы в объеме V = S·u·t, перенеся при этом через площадку S энергию W = w∙V = w∙S∙ut.
Количество энергии, перенесенное через площадку S за единицу времени называется потоком энергии волны:
Ф = 
= w∙ S∙u. (11)
Поток энергии измеряется в Дж / с = Вт.
Количество энергии переносимое через единицу площади за единицу времени называется интенсивностью (или плотностью потока) энергии волны и измеряется в Вт / м 2 или Дж / (с·м 2 ):
. (12)
Т.к. скорость 
величина векторная, а w скалярная, то справа в этом равенстве стоит вектор. Это означает, что и левая величина дол-жна быть векторной, т.е. интенсивность энергии волны в направлении переноса – это некий вектор:
. (13)
Эта величина для упругих волн называется вектором Умова, который определяет количество энергии переносимое механической волной через единицу площади за единицу времени в направлении 
.
ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА
Эффектом Доплера называют изменение частоты колебаний, воспринимаемых наблюдателем (приёмником волны) вследствие движения источника волны и наблюдателя относительно среды.
Рассмотрим простейший случай, когда источник волны и наблюдатель движутся вдоль соединяющей их прямой. Скорость распространения волны в рассматриваемой среде будем считать равной u, скорость источника – 
, скорость наблюдателя (приёмника) – 
, частота колебаний источника – ν0, период колебаний источника – Т = 1/ ν0. Все скорости определены относительно среды. Скорость источника будем считать положительной, если он движется по направлению к приёмнику, и отрицательной, если источник удаляется от приёмника. Аналогичное правило знаков скоростей примем и для приёмника.
В исходном состоянии источник находится в начале координат (точка 0), а приёмник в точке А. Скорость распространения колебаний зависит только от свойств среды, поэтому при неподвижном источнике за одну секунду волна пройдет в направлении к приемнику расстояние u. На этом расстоянии уложится ν0 колебаний. Соответственно, длина волны – λ0 = u / ν0 (рис.4а).
Пусть наблюдатель неподвижен и находится на расстоянии u от источника, а источник волны движется с постоянной скоростью по направлению к наблюдателю. Будем считать, что