Задачи на разрезание треугольников (3 видео)

Олимпиадные, логические и занимательные задачи по математике. Задачи на разрезание

В ниманию репетиторов по математике и преподавателей различных факультативов и кружков предлагается подборка занимательных и развивающих геометрических задач на разрезание. Цель использования репетитором таких задач на своих занятиях — не только заинтересовать ученика интересными и эффектными комбинациями клеток и фигур, но и сформировать у него чувство линий, углов и форм. Комплект задач ориентирован главным образом на детей 4-6 классов, хотя не исключено его использование даже со старшеклассниками. Упражнения требуют от учащихся высокой и устройчивой концентрации внимания и прекрасно подходят для развития и тренировки зрительной памяти. Рекомендуется для репетиторов математики, занимающихся подготовкой учеников к вступительным экзаменам в математические школы и классы, предъявляющие особые требования к уровню самостоятельного мышления и творческим способностям ребенка. Уровень задач соответсвует уровню вступительных олимпиад в лицей «вторая школа» (вторая математическая школа), малому Мехмату МГУ, Курчатовской школе и др.

Примечание репетитора по математике:
В некоторых решения задач, которые вы можете посмотреть щелкнув на соответствующем указателе, указан лишь один из возможных примеров разрезания. Я вполне допускаю, что у вас может получиться какая-то другая верная комбинация — не надо этого бояться. Проверьте тщательно решение вашего мылыша и если оно удовлетворяет условию, то смело принимайтесь за следующую задачу.

1) Попробуйте разрезать изображенную на рисунке фигуру на 3 равные по форме части:

Подсказка репетитора по математике: Маленькие фигуры очень похожи на букву Т
Посмотреть решение репетитора по математике

2) Разрежьте теперь эту фигуру на 4 равные по форме части:

Подсказка репетитора по математике: Легко догадаться, что маленькие фигурки будут состоять из 3 клеточек, а фигур из трех клеточек не так много. Их всего два вида: уголок и прямоугольник 1×3.
Посмотреть решение репетитора по математике:

3) Разрежьте данную фигуру на 5 равных по форме частей:

Подсказка репетитора по математике:
Найдите количество клеточек, из которых состоит каждая такая фигура. Эти фигурки, похожи на букву Г.
Посмотреть решение репетитора по математике

4) А теперь нужно разрезать фигуру из десяти клеток на 4 неравных друг другу прямоугольника (или квадрата).

Указание репетитора по математике: Выделите какой-нибудь прямоугольник, а затем в оставшиеся клетки попробуйте вписать еще три. Если не получается, то смените первый прямоугольник и попробуйте еще раз.
Посмотреть решение репетитора по математкие

5) Задача усложняется: нужно фигуру разрезать на 4 разных по форме фигурки (не обязательно на прямоугольники).

Подсказка репетитора по математике: нарисуйте сначала отдельно все виды фигур разной формы (их будет больше четырех) и повторите метод перебора вариантов как в предыдущей задаче.
Посмотреть решение репетитора по математике:

6) Разрежьте эту фигуру на 5 фигур из четырех клеток разной формы таким образом, чтобы в каждой их них была закрашена только одна зеленая клетка.

Подсказка репетитора по математике: Попробуйте начать разрезание с верхнего края данной фигуры и вы сразу поймете, как действовать.
Посмотреть решение репетитора по математике:

7) По мотивам предыдущей задачи. Найдите сколько всего имеется фигур различной формы, состоящих ровно из четырех клеток? Фигуры можно крутить, поворачивать, но нельзя поднимать состола (с его поверхности), на котором она лежит. То есть две приведенные фигурки не будут считаться равными, так как они не могут получаться друг из друга при помощи поворота.

Подсказка репетитора по математике: Изучите решение предыдущей задачи и постарайтесь представить себе различные положения этих фигур при повороте. Нетрудно догадаться, что ответом в нашей задаче будет число 5 или больше. (На самом деле даже больше шести). Всего существует 7 типов описанных фигур.
Посмотреть решение репетитора по математике

8) Разрежьте квадрат из 16 клеток на 4 равные по форме части так, чтобы в каждой из четырех частей была ровно одна зеленая клетка.

Подсказка репетитора по математике: Вид маленьких фигурок не квадрат и не прямоугольник, и даже не уголок из четырех клеток. Так на какие же фигуры надо попытаться разрезать?
Посмотреть решение репетитора по математике

9) Изображенную фигуру разрежьте на две части таким образом, чтобы из полученных частей можно было сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математкие: Всего в фигуре 16 клеток — значит, квадрат будет размеро 4×4. И еще как-то нужно заполнить окошко в середине. Как это сделать? Может быть каким-нибудь сдвигом? Тогда поскольку длина прямоугольника равна нечетном учислу клеток, разрезание нужно провести не вертикальным разрезом, а по ломаной линии. Так, чтобы верхняя часть отрезалась с одной стороны от средние клетки, а нижняя с другой.
Посмотреть решение репетитора по математкие

10) Разрежьте прямоугольник размером 4×9 на две части с таким расчетом, чтобы в результате из них можно было сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математике: Всего в прямоугольнике 36 клеток. Поэтому квадрат получится размером 6×6. Так ка кдлинная сторона состоит из девяти клеток, то три из них нужно отрезать. Как дальше пойдет этот разрез?
Посмотреть решение репетитора по математике

11) Крестик из пяти клеток, показанный на рисунке требуется разрезать (можно резать сами клетки) на такие части, из которых можно было бы сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математике: Понятно, что как бы мы по линиям клеточек не резали — квадрат не получим, так как клеток всего 5. Это задача единственная, в которой разрешается резать не по клеткам. Однако их все равно хорошо бы оставить в виде ориентира. например, стоит заметить, что нам как-то нужно убрать углубления, которые у нас есть — а именно, во внутренних углах нашего креста. Как бы это сделать? Например, срезая какие-то выпирающие треугольники из внешних уголков креста.
Посмотреть решение репетитора по математике:
Комментарий к решению: разрежьте так ка кпоказано на рисунке и вставьте голубые треугольники в пустые области, показанные фиолетовыми треугольниками.

Колпаков Александр Николаевич. Репетитор по математике Москва, Строгино.

Классный сайт! Спасибо за самые интересные во всём интернете задачи с ответами!

Содержание

Серия факультативных занятий по теме «Задачи на разрезания»
Занятие № 1
Задачи на разрезание
Задачи на R — разрезание
Занятие № 2
Занятие № 3
Занятие № 5
Исследовательская работа «Задачи на разрезание»
Скачать:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
🔥 Видео

Видео:Математика. 5 класс. Задачи на разрезание и складывание фигур /13.05.2021/Скачать

Серия факультативных занятий по теме «Задачи на разрезания»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Серия факультативных занятий по теме «Решение задач на разрезание»

Основные цели, которые мы ставим на факультативных занятиях заключаются в следующем:

Изложить материал о видах разрезания многоугольников;

Способствовать формированию умений у учащихся мысленно осуществлять такие преобразования как:

центральную симметрию и различные композиции данных преобразований.

И главною целью всех занятий: добиться положительного изменения способностей к пространственному мышлению.

Задачи, предлагаемые на факультативных занятиях носят творческий характер, их решение требует от учащихся следующих умений:

умение совершать такие мысленные преобразования, которые видоизменяют местоположение имеющихся у учащихся в представлении образов, их структуру, строение;

умение изменять образ и по местоположению, и по структуре одновременно и неоднократно совершать композиции отдельных операций.

1. Анкета № 1 – 1 час.

2. Задачи на разрезание. Разрезание типа R – 1 час.

3. Разрезание типа Р – 1 час.

4. Разрезание типа Q – 1 час.

5. Разрезание типа S – 1 час.

6. Разрезание типа T – 1 час.

7. Анкета № 2 – 1 час.

При составлении серии факультативных занятий были использованы задачи из журналов «Квант», «Математика в школе» и книги Г. Линдгрена.

Методические рекомендации: При знакомстве учащихся с задачами мы рекомендуем данные задачи рассматривать именно по типам разрезания, предложенным Г. Линдгреном, что позволяет, с одной стороны, классифицировать данные задачи, с другой – на занятиях решать задачи на пространственные преобразования различного уровня сложности (на второй и третий типы оперирования образами, по И.С. Якиманской). Задачи факультативных занятий рекомендуем использовать при работе с учащимися 7 – 9 классов.

Занятие № 1

Тема: Задачи на разрезание. Разрезание типа R (рациональное разрезание).

Цель: Познакомить учащихся с понятием задачи на разрезание, изложить суть разрезания типа R , осуществив разбор решения задач на данный тип разрезания, в процессе решения задач способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, перекраивание, поворот, параллельный перенос), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование: бумага, цветные пасты, ножницы, плакат.

I этап: Ориентированный этап

Метод: объяснительно – иллюстративный.

Учитель: на доске плакат:

Схема: Задачи на разрезание

Видео:Жестокая задача о равнобедренных треугольникахСкачать

Задачи на разрезание

1)Фигуру разрезать на несколько фигур

3)Перекроить одну или несколько фигур в другую фигуру

2) Сложить фигуру из заданных фигур

Среди всех задач на разрезания большую их часть составляют задачи на рациональные разрезания. Это связано с тем, что подобные разрезания легко придумать да и головоломки на них основанные не слишком простые и не слишком сложные.

Видео:Математика. 5 класс. Задачи на разрезание и складывание фигур /14.05.2021/Скачать

Задачи на R — разрезание

1) Фигуру разрезать на несколько (в основном равных) фигур

3) Перекроить одну или несколько фигур в заданную фигуру

2) Сложить фигуру из заданных (в основном равных) фигур

3.1. С использованием ступенчатого разрезания

3.2. Без использования ступенчатого разрезания

Познакомимся с решением задач на каждый вид R разрезания.

II этап: Этап решения задач

Задача № 1 ( AII ): Разрежьте квадрат со стороной четыре клетки на две равные части. Найдите как можно больше способов разрезания.

Замечание: Разрезать можно только по сторонам клеток.

Учащиеся в тетрадях осуществляют поиск таких разрезаний, затем учитель обобщает все способы разрезаний найденные учащимися.

Задача № 2 (А II ): Разрежьте данные фигуры на две равные части.

Замечание: Разрезать можно не только по сторонам клеток, но и по диагонали.

Учащиеся в тетрадях осуществляют поиск таких разрезаний с помощью учителя.

Квадрат имеет много замечательных свойств. Прямые углы, равные стороны, симметричность придает ему простоту и совершенство формы. На складывание квадратов из одинаковых и различных по форме частей существует множество головоломок.

К примеру задача № 3 (Б II ): Даны четыре одинаковые детали. Составьте из них мысленно, используя каждый раз все четыре детали квадрат. Все пробы делайте на бумаге. Результаты решения оформите в виде рисунка, сделанного от руки.

Разрезанная на части шахматная доска, которую надо правильно сложить – одна из популярных и известных головоломок. От того, на сколько частей доска разделена, зависит сложность сборки.

Предлагаю следующую задачу:

Задача № 4 (Б II ): Собрать шахматную доску из частей изображенных на рисунке.

Задача №5 (В II ): Разрежьте «Кораблик» на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

1) разрезать на две части как на рисунке

одну из частей перевернуть (т. е. осуществить поворот)

Задача № 6 (В II ): Любую из трех фигур, можно разрезать на две части, из которых нетрудно сложить квадрат. Найдите такие разрезания.

а) б)

в)

поворот части 1 относительно части 2

параллельный перенос части 1 относительно части 2

поворот части 1 относительно части 2

) б) в)

Задача № 7 (В II ): Прямоугольник со сторонами 4 и 9 единиц разрезать на две равные части, сложив которые надлежащим образом, можно было бы получить квадрат.

В данной задаче рекомендуют использовать ступенчатое разрезание, суть которого заключается в следующем:

разрез делается в виде ступенек, высота и ширина которых одинакова;

фигура разбивается на части и одну часть передвигаем на одну (или несколько) ступеньку вверх, поместив ее на другую часть.

параллельный перенос части 1

Задача № 9 (В II ): Разрезав фигуру, изображенную на рисунке, на две части сложите из них квадрат так, чтобы цветные квадратики были симметричны относительно всех осей симметрии квадрата.

параллельный перенос части 1

Задача № 9 (В III ): Как нужно разрезать два квадрата 3 х 3 и 4 х 4, чтобы из получившихся частей можно было бы сложить один квадрат? Придумайте несколько способов. Постарайтесь обойтись как можно меньшим числом частей.

параллельный перенос частей

способ:

параллельный перенос и поворот

способ:

параллельный перенос и поворот

способ:

4 способ:

параллельный перенос и поворот частей

Учащиеся с помощью учителя осуществляют поиск разрезаний.

III этап: Постановка домашнего задания.

Задача № 10 (А III ): Фигуру изображенную на рисунке, требуется разделить на 6 одинаковых частей, делая разрезы только по линиям сетки. Сколькими способами вам удастся это сделать?

Решение: Два возможных решения.

Задача № 11 (Б II ): Сложите шахматную доску из заданных частей.

Задача № 12 (В III ): Преобразуйте прямоугольник размера 3 х 5 в прямоугольник размером 5 х 3, причем соответствующие части не должны поворачиваться.

Примечание: воспользуйтесь ступенчатым разрезанием.

Решение: (параллельный перенос)

Задача № 13 (В III ): Разрежьте одним разрезом фигуру на 2 части, чтобы сложить квадрат 8 х 8.

поворот части 2 относительно части 1

Методические указания: Задачи на разрезание типа R одни из легких и интересных. Многие задачи на данный тип разрезания подразумевают несколько способов решения и самостоятельное решение учащимися данных задач может способствовать выявлению всех способов решения. Задачи 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13 предполагают работу учащихся с изображением фигур, путем осуществления мыслительных преобразований («разрезание», сложение, поворот, параллельный перенос). Задачи 4, 5, 9, 11 предполагают работу учащихся с моделями (из бумаги), путем непосредственного разрезания фигуры ножницами и осуществлением математических преобразований (поворота, параллельного переноса) происходит поиск решения задач. Задачи 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 – на второй тип оперирования образами, задачи 9, 10, 12 – на третий тип оперирования образами.

Занятие № 2

Тема: Разрезание типа P ( Р сдвиг параллелограмма).

Цель: Изложить суть разрезания типа Р, в процессе разбора решения задач на данный тип разрезания, при этом способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, перекраивание, параллельный перенос), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование: бумага, цветные пасты, ножницы, кодопозитивы.

I этап: Ориентированный этап

Метод: проблемное изложение.

Учитель ставит проблему (решить задачу № 1) и показывает ее решение.

Задача № 1 (В III ): Преобразовать параллелограмм со сторонами 3 и 5 см в новый параллелограмм с теми же углами, что и у исходного параллелограмма, одна из сторон которого равна 4 см.

АВС D – параллелограмм

проводим разрез АО ВО = D К = 4;

сдвигаем часть 1 вверх (параллельный перенос) вправо вдоль линии разреза до тех пор, пока точка О не попадет на продолжение стороны DC ;

проводим разрез КА’ так, что КА’ || DC ;

и Δ АА’К вставляем в выемку, расположенную ниже точки О (параллельный перенос Δ АА’К вдоль прямой АО).

КВО D искомый параллелограмм (К D = 4)

 KDO =  ADC,  BAD =  1 +  4,

 1 =  2 и  4 =  3 – накрест лежащие при параллельных прямых.

Следовательно,  BAD =  2 +  3 =  BOC =  BKD ,  BAD =  BKD и т.д.

Задачи на Р сдвиг

Перекроить одну или несколько фигур в другую фигуру

читель:

Суть разрезания типа Р:

делаем разрез данной фигуры, который удовлетворяет требованиям задачи;

осуществляем параллельный перенос отрезанной части вдоль линии разреза до совпадения вершины отрезанной части с продолжением другой стороны исходной фигуры (параллелограмма);

делаем второй разрез параллельный стороне параллелограмма, получаем еще часть;

осуществляем параллельный перенос вновь отрезанной части вдоль линии первого разреза до совпадения вершин (вкладываем часть в выемку).

II этап: Этап решения задач

Методы: объяснительно – иллюстративный

Задача № 2 (В II ): Преобразуйте квадрат 5 х 5 в прямоугольник с шириной 3.

1) 2) – 3) 4)

разрез АО / ВО = D Т = 3

параллельный перенос ΔАВО вдоль прямой АО до тех пор пока точка О  ( DC )

разрез ТА’ / ТА’ || С D

Δ AA ’ T параллельным переносом вдоль прямой АО.

TBOD искомый прямоугольник (ТВ = 3).

Задача № 3 (В III ): Сложить из трех одинаковых квадратов один большой квадрат.

Примечание: из трех квадратов сложите прямоугольник затем примените Р сдвиг.

S пр = 1.5 * 4,5 = 6,75

кв = 6,75 =

1) 2) – 3)

Задача № 4 (В III ): Перекроите прямоугольник 5 х 1 в квадрат

римечание: сделайте разрез АВ (А W =), к прямоугольнику ХУВА примените Р сдвиг.

2) – 3) 4) 5)

УС = ;

параллельный перенос ΔХУС вдоль ХС;

разрез Х’К / КХ’ ||АВ;

параллельный перенос ΔХХ’К вдоль ХС;

прямоугольник КУСА помещаем на прямоугольник ABZW ;

A УС W – искомый квадрат.

Задача № 5 (В III ): Преобразуйте русское Н в квадрат.

Примечание: сделайте разрез как показано на рисунке, из полученных частей сложите прямоугольник.

Задача № 6 ( BIII ): Треугольник преобразуйте в трапецию.

Примечание: сделайте разрез как на рисунке.

поворот части 1;

ΔАВС параллельным переносом вдоль АВ до тех пор пока точка В  ( FM )

разрез ОР / ОР || FM ;

ΔАОР параллельным переносом вдоль АВ. Точка Р совпадает с точкой В;

OFBC искомая трапеция.

Задача № 7 (В III ): Из трех равных греческих крестов сделать один квадрат.

III этап: Постановка домашнего задания

Задача № 8 (В III ): Преобразовать букву Т в квадрат.

Примечание: Сначала из буквы т перекроите прямоугольник.

Решение: S т = 6 (ед 2 ), S кв = () 2

поворот

композиция параллельных переносов

МВ = КС =

Задача № 9 (В III ): Перекроите изображенный на рисунке флаг в квадрат.

Примечание: Сначала флаг преобразуйте в прямоугольник

поворот

S фл = 6,75 АВ = С D = S кв = () 2

Методические указания: При знакомстве учащихся с задачами на разрезание типа Р, суть данного типа разрезания мы рекомендуем излагать при решении конкретной задачи. Решения задач мы советуем сначала осуществлять на моделях (из бумаги), непосредственным разрезанием фигур ножницами и совершением параллельного переноса, а затем в процесс решения задач от моделей фигур переходить к работе с изображением геометрических фигур, путем осуществления мыслительных преобразований (разрезание, параллельный перенос).

Занятие № 3

Тема: Разрезание типа Q ( Q – сдвиг четырехугольника).

Цель: Изложим суть разрезания типа Q , в процессе решения задач на данный тип разрезания, при этом способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование: бумага, цветные пасты, ножницы.

I этап: Ориентированный этап

Метод: проблемное изложение.

Учитель ставит перед учащимися проблему (решить задачу № 1) и показывает решение.

Задача № 1 ( BIII ): Данный четырехугольник преобразуйте в новый четырехугольник.

проводим разрез НР так, что ВН = МН, PF = DF ;

проводим разрез МЕ / МЕ || ВС;

проводим разрез РТ / РТ || AD ;

Δ 3 и Δ 1 поворачиваем по часовой стрелке относительно части 2;

Часть 1 параллельным переносом по прямой HF до тех пор пока точка Т  АР;

АМСР искомый четырехугольник (со стороной СР и АМ (в условии могут быть заданы)).

Задача № 2 (В III ): Преобразовать четырехугольник в новый четырехугольник (длинный четырехугольник).

(поворот части 1 относительно точки О пока УО совпадет с АО);

(поворот части (1 – 2) относительно точки Т пока ВТ не совпадет с WT );

XAZW искомый четырехугольник.

В задачах с использованием Q разрезаний делаются разрезы и отрезанные части подвергаются преобразованию поворота.

Задачи на Q разрезание

преобразовать данную фигуру (четырехугольник) в другую фигуру (четырехугольник)

Во многих задачах элементы Q сдвига используются при преобразовании треугольника в какой-либо четырехугольник или наоборот (треугольник как «четырехугольник», одна из сторон которого имеет нулевую длину).

II этап: Этап решения задач

Задача № 3 (В II ): От треугольника отрезан маленький треугольник, как показано на рисунке. Переложи маленький треугольник так, чтобы получился параллелограмм.

Поворот части 1 относительно точки Р пока КР совпадет с МР.

АОО’М – искомый параллелограмм.

Задача № 4 ( BII , BIII ): Какие из данных треугольников можно превратить в прямоугольники, сделав один (два) разрез и переложив полученные части?

1) 2) 3) 4)

1), 5) один разрез (разрез – средняя линия треугольника)

2), 3), 4) два разреза (1-ый разрез – средняя линия , 2-ой разрез – высота из вершины треугольника).

Задача № 5 (В II ): перестройте трапецию в треугольник.

разрез КС (АК = КВ)

поворот ΔКВС вокруг точки К так, чтобы отрезки КВ и КА совместились.

Δ FCD искомый треугольник.

Задача № 6 (В III ): Как разбить трапецию на фигуры, из которых можно составить прямоугольник?

1) разрез ОР (АО = ОВ, ОР┴А D )

2) разрез TF ( CT = TD , TF ┴ AD )

поворот части 1 относительно точки О так, чтобы АО и ВО совместились.

Поворот части 2 относительно точки Т так, чтобы DT и СТ совместились.

III этап: постановка домашнего задания.

Задача № 7 (В III ): преобразуйте произвольный треугольник в прямоугольный треугольник.

1) сначала преобразуйте произвольный треугольник в прямоугольник.

2) прямоугольник в прямоугольный треугольник.

поворот

Задача № 8 (В II ): Произвольный параллелограмм преобразуйте в треугольник, сделав лишь один разрез.

поворот

Поворот части 2 вокруг точки О на 180º (центр симметрии)

Методические указания: Изложение сути Q разрезания мы рекомендуем

осуществлять в процессе решения конкретных задач. Основными математическими преобразованиями, которыми пользуются в решении задач на данный тип разрезания являются: поворот (в частности центральная симметрия, параллельный перенос). Задачи 1, 2, 7 – на практические действия с моделями геометрических фигур, в задачах 3, 4, 5, 6, 8 подразумевается работа с изображением геометрических фигур. Задачи 3, 4, 5, 8 – на второй тип оперирования образами, задачи 1, 2, 4, 6, 7 – на третий тип оперирования образами.

Тема: Разрезание типа S .

Цель: Изложить суть разрезания типа S , в процессе решения задач на данный тип разрезания, при этом способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, перекрывание, поворот, параллельный перенос, центральная симметрия), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование: бумага, цветные пасты, ножницы, кодопозитивы.

I этап: Ориентированный этап.

Задача № 1 (В II ): как перекроить параллелограмм, стороны которого 3,5 см и 5 см, в параллелограмм со сторонами 3,5 см и 5,5 см, сделав лишь один «разрез»?

1) проведем отрезок (разрез) СО = 5,5 см, параллелограмм разбили на две части.

2) треугольник СОМ прикладываем к противоположной стороне параллелограмма АК. (т. е. параллельный перенос ∆ СОМ на отрезок СА в направлении СА).

3) САОО` искомый параллелограмм (СО = 5,5 см, СА = 3,5 см).

Задача № 1 (В III ): покажите как можно разрезать квадрат на 3 части, чтобы из них можно было сложить прямоугольник, у которого одна из сторон вдвое больше другой.

Постройте квадрат ABCD

проведем диагональ АС

проведем половину диагонали BD отрезок OD ( OD ┴ AC ), OD = ½ AC . Постройте из полученных 3-ех частей прямоугольник (длиной АС, шириной AD

осуществите параллельный перенос частей 1 и 2. часть 1 (∆1) в направлении D А, ∆2 в направлении АВ на отрезок АВ.

АОО`С искомый прямоугольник (со сторонами АС, ОА = ½ АС).

Учитель: Мы рассмотрели с вами решение 2-х задач, тип разрезания используемый в решении данных задач носит образное название S -разрезание.

S -разрезание – это в основном преобразование какого-то одного параллелограмма в другой параллелограмм.

Суть данного разрезания в следующем:

проводим разрез, равный по длине стороне требуемого параллелограмма;

осуществляем параллельный перенос отрезанной части до совпадения равных противоположных сторон параллелограмма (т.е. прикладываем отрезанную часть к противоположной стороне параллелограмма)

В зависимости от требования задачи будет зависеть и количество разрезов.

Рассмотрим следующие задачи:

Задача №3 ( BII ): разделите параллелограмм на две части, из которых можно сложить прямоугольник.

Начертим произвольный параллелограмм.

из точки В опустим высоту ВН (ВН┴ AD )

осуществим параллельный перенос ∆ АВН на отрезок ВС в направлении ВС.

Сделайте чертеж полученного прямоугольника.

Задача№4 ( BIII ): Стороны параллелограмма 3 и 4см. Превратите его в параллелограмм со сторонами 3,5см, сделав два разреза.

В общем случае S -разрезание основано на методе наложения полосок, которые позволяют решить задачу о преобразовании любых многоугольников.

В выше изложенных задачах, в связи с их легкостью, мы обошлись без метода наложения полосок, хотя все эти решения могут быть получены именно с помощью данного метода. Но в более сложных задачах без полосок не обойтись.

Кратко метод наложения полосок сводится к следующему:

1) Разрежьте (в этом есть необходимость) каждый многоугольник (многоугольник, который преобразовывают и многоугольник, в который надо преобразовать исходный многоугольник) на части, из которых можно сложить две полоски.

2) Наложите полоски друг на друга под подходящим углом, при этом края одной из них всегда должны быть расположены одинаково по отношению к элементам другой полоски.

3) При этом все линии, расположенные в общей части 2-х полосок, покажут места нужных разрезов.

Буква S , используется в термине « S -разрезание», происходит от английского Strip – полоска.

II этап: Этап решения задач

Убедимся на примере задачи 3, что метод наложения полосок дает искомое решение.

Задача № 3 (В II ): Разделите параллелограмм на две части, из которых можно сложить прямоугольник.

1) получим полосу из параллелограмма

2) полосы из прямоугольников

3) наложим полосу 2 на полосу 1, так как показано на рисунке 3

4) получаем требуемое задачи.

Задача № 5 ( BIII ): В равнобедренном треугольнике отмечены середины боковых сторон и их проекции на основание. Через отмеченные точки проведены две прямые. Покажите, что из полученных частей можно сложить ромб.

часть2, 3 – поворот вокруг точки

часть 4 – параллельный перенос

В данной задаче разрезание треугольников уже указано, можем убедиться, что это S -разрезание.

Задача № 6 ( BIII ): Преобразуйте три греческих креста в квадрат (используя полоски).

разрежем данные кресты так, чтобы из них сложить элемент полоски;

S крестов = 5 х 3 = 15

S кв = 15 () 2 сторона квадрата АВ = , ВС =

Налагаем полоску из квадратов на полоску из крестов так чтобы точка А и точка С принадлежали краям полоски из крестов.

∆АВН = ∆С D В, следовательно, квадрат состоит из ∆АВС и ∆АВМ.

III этап: Постановка домашнего задания

Задача № 7 (В III ): Данный прямоугольник преобразуйте в другой прямоугольник, стороны которого отличны от сторон исходного прямоугольника.

Примечание: Посмотрите решение задачи 4.

разрез АО (АО – ширина требуемого прямоугольника);

разрез DP / DP  AO ( DP – длина требуемого прямоугольника);

параллельный перенос ∆АВО в направлении ВС на отрезок ВС;

параллельный перенос ∆А PD на отрезок АО в направлении АО;

PFED требуемый прямоугольник.

Задача № 8 ( BIII ): Правильный треугольник разбит на части отрезком, из данных частей сложите квадрат.

Примечание: Можете убедиться с помощью наложения полосок, что это S разрезание.

поворот части 2 вокруг точки О;

поворот части 3 вокруг точки С;

параллельный перенос части 4

Дополнительная задача № 9 ( BII ): Разрежьте параллелограмм по прямой проходящей через его центр, так чтобы из полученных двух кусков можно было сложить ромб.

часть 1 параллельным переносом на ВС отрезок в направлении ВС ( CD и АВ совмещаются).

Методические указания: S – разрезание – один из наиболее сложных типов разрезания. Мы рекомендуем излагать суть данного разрезания на конкретных задачах. На занятиях по решению задач на S – разрезание мы рекомендуем использовать задачи, в которых разрезания фигур даны и необходимо из полученных частей сложить требуемую фигуру, это объясняется сложностью самостоятельного осуществления учащимися метода наложения полосок, который составляет суть S – разрезания. При этом учитель на более доступных для учащихся задачах (например, на задачах 3, 5, 8) может показать, как метод наложения полосок позволяет получить разрезания, данные в условиях задач. Задачи 4, 5, 6, 8, 9 – на практические действия с моделями геометрических фигур, задачи 1, 2, 3, 7 – на работу с изображением геометрических фигур. Задачи 1, 3, 9 – на второй тип оперирования образами, задачи 2, 4, 5, 6, 7, 8 – на третий тип оперирования образами.

Занятие № 5

Тема: Разрезание типа Т.

Цель: Изложить суть разрезания типа S , в процессе разбора решения задач на данный тип разрезания, при этом способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, поворот, параллельный перенос), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование: бумага, цветные пасты, ножницы, цветные пасты, кодопозитивы.

I этап: Ориентированный этап

Учитель: Использование для решения задач Т – разрезания подразумевает составление мозаики, и их последующее наложение. Полоски используемые в S – разрезании могут быть получены из мозаики. Следовательно, метод наложения мозаики обобщает метод полосок.

Рассмотрим суть Т – разрезания на примере решения задач.

Задача № 1 ( BIII ): Преобразовать греческий крест в квадрат.

1) первый шаг состоит в том, чтобы исходный многоугольник преобразовать в элемент мозаики (и в этом есть необходимость);

2) из данных элементов составляем мозаику № 1 (составляем мозаику из греческих крестов);

3) из многоугольника, который требуется составить составляем мозаику № 2 (составляем мозаику из квадратов).

S кв = () 2 , сторона квадрата = .

4) накладываем мозаику № 2 на мозаику № 1 , так чтобы центры мозаик совпадали (накладываем мозаику из квадратов на мозаику из крестов, так чтобы центры крестов совпали с вершинами квадратов).

5) все линии расположенные в общей части двух мозаик покажут места нужных разрезов.

II этап: Этап решения задач

Метод: частично — поисковый

Задача № 2 ( BIII ): Греческий крест разрезан на три части, сложите из этих частей прямоугольник.

Примечание: можем убедиться, что данное разрезание есть разрезание типа Т.

поворот части 1 вокруг точки О;

поворот части 2 вокруг точки А.

Задача № 3 ( BIII ): Выпуклый четырехугольник разрежем по двум прямым, соединяющим середины противоположных сторон. Покажите, что из полученных четырех кусков всегда можно сложить параллелограмм.

часть 2 поворот вокруг точки О (или центр симметрии) на 180 ;

часть 3 поворот вокруг точки С (или центр симметрии) на 180 ;

часть 1 – параллельный перенос.

Покажем мозаику, из которой данное разрезание получено.

Задача № 4 ( BIII ): Три одинаковых треугольника разрезали по разным медианам. Сложите из шести полученных кусков один треугольник.

1) из данных треугольников составляем треугольники как на рисунке 1 (центральная симметрия);

2)составляем из трех новых треугольников другой треугольник (равные стороны совпадают).

Покажем, как данные разрезы получились, пользуясь мозаиками.

Задача № 5 ( BIII ): Греческий крест разрезали на части, составить из этих частей прямоугольный равнобедренный треугольник.

часть 1 центральная симметрия;

часть 3 центральная симметрия;

части 3 и 4 – поворот.

Задача № 6 ( BIII ): Данную фигуру перекроите в квадрат.

часть 1 поворот вокруг точки О;

часть 3 поворот на 90 вокруг точки А.

Задача № 7 ( BIII ): Греческий крест перекроите в параллелограмм (разрезы даны).

часть 2 – параллельный перенос относительно части 1;

часть 3 параллельный перенос по линии разреза.

III этап: Постановка домашнего задания.

Задача № 8 ( BIII ): Два одинаковых бумажных выпуклых четырехугольника разрезами: первый – по одной из диагоналей, а второй – по другой диагонали. Докажите, что из полученных частей можно сложить параллелограмм.

Решение: композиция поворотов.

Задача № 9 ( BIII ): Из двух одинаковых греческих крестов сложите квадрат.

Методические указания: Т – разрезание – наиболее сложный тип разрезания, образующий разрезания типа S . Суть Т – разрезания рекомендуем излагать в процессе решения задач. Из-за сложности реализации для учащихся метода наложения мозаик, составляющего суть Т – разрезания, на занятиях мы советуем использовать задачи, в условиях которых заданы разрезания и требуется из полученных частей фигуры с помощью математических преобразований (поворота, параллельного переноса) получить искомую фигуру. При этом на более доступных для учащихся задачах учитель может показать способ получения данных разрезаний, с помощью метода наложения мозаик. Задачи, предложенные на занятии № 5, на третий тип оперирования образами и предполагает работу учащихся с моделями геометрических фигур, путем осуществления поворота и параллельного переноса.

Видео:128 Разрезание треугольника (условие)Скачать

Исследовательская работа «Задачи на разрезание»

Исследовательская работа «Задачи на разрезание» выполнена учениками 8 класса

Учащимися приводятся и исследуются приемы разрезания фигур в играх «Пентамино», «Танграмм», головоломках, доказательстве теорем.

Видео:5 класс. Математика. Задачи на разрезание и складывание фигур 12.05.2020Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
Презентация «Задачи на разрезание»	1.83 МБ
Исследовательская работа «Задачи на разрезание»	61.68 КБ

Предварительный просмотр:

Видео:Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать

Подписи к слайдам:

Видео:Задачи на разрезание и задачи на складывание фигур.Скачать

Предварительный просмотр:

Научно -исследовательская работа на тему

«Задачи на разрезание»

Выполнили: Саркисян Роман, Шаврова Анастасия,

учащиеся 8 класса

МБОУ «Северомуйская СОШ»

Руководитель: учитель математики Огаркова И.И

Введение
Историческая справка
Игра «Пентамино»
Игра «Танграм»
Задача «Торт»
Задача №4- «Разрежь прямоугольник»
Задача №5 — «Разрежь два квадрата»
Задача №6- «Разрежь два квадрата-2»
Задача №7 – Крест
Задача №8 – Крест -2
Задача №9- Квадрат 8*8
Задача №10 Площадь параллелограмма
Задача №11 Площадь трапеции
Задача №12 Площадь треугольника
Заключение
Литература.

«Решение задач – практическое искусство, подобное

плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;

научиться ему можно, только подражая хорошим

образцам и постоянно практикуясь»

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады – школьные, городские, дистанционные, международные. Готовясь к олимпиадам, мы рассмотрели множество разноплановых заданий и выделили группу задач, подход к решению которых нам показался интересным и оригинальным. Это задачи на разрезание. У нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на разрезание.

Актуальность (Слайд 2)

Математики открывают новые связи между математическими объектами. В результате этой работы находятся общие методы для решения различных задач. И эти задачи получают стандартные методы решения, переходя из разряда творческих в разряд технических, то есть требующих для своего решения применения уже известных методов.
Задачи на разрезание помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

Объект исследования : задачи на разрезание

Предмет исследования : многообразие задач на разрезание, методы и приёмы их решения.

Методы исследования : моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

(Слайд3) Основная цель исследования заключается в расширении знаний о многообразии задач на разрезание.

Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач: ( Слайд 4)

подобрать необходимую литературу
научиться разрезать геометрические фигуры на части, необходимые для составления той или иной другой геометрической фигуры, используя их свойства и признаки;
научиться доказывать, что площади фигур равны, разрезая их на определенные части и доказывая, что эти фигуры равносоставленные;
провести геометрическое исследование, конструирование в решении задач различных типов.
отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
проанализировать и систематизировать полученную информацию
найти различные методы и приёмы решения задач на разрезание
классифицировать исследуемые задачи
найти способы перекраивания: треугольника в равносоставленный параллелограмм; параллелограмма в равносоставленный треугольник; трапеции в равносоставленный треугольник.
Создать электронную презентацию работы

Гипотеза: возможно, многообразие задач на разрезание, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении. Предположим, что при более внимательном исследовании задач на разрезание, мы убедимся в их востребованности, оригинальности, полезности.

При решении задач на разрезание нам не понадобится знание основ планиметрии, а будут нужны именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

( Слайд 5) Историческая справка

Задачи на разрезание, как один из видов головоломок, привлекали к себе внимание с древнейших времен. Первый трактат, в котором рассматриваются задачи на разрезание, написал знаменитый арабский астроном и математик из Хорасана Абу аль – Вефа ( 940 – 998 н.э. ). В начале XX века благодаря бурному росту периодических изданий решение задач на разрезание фигур на то или иное число частей и последующее составление из них новой фигуры привлекает внимание как средство развлечения широких слоев общества. Теперь и геометры всерьёз занялись этими задачами, тем более, что в их основе лежит старинная задача о равновеликих и равносоставленных фигурах, которая исходит еще от античных геометрах. Известными специалистами в этом разделе геометрии были знаменитые классики занимательной геометрии и составители головоломок Генри Э. Дьюдени и Гарри Линдгрен.

Энциклопедией решения различных задач на разрезание является книга Гарри Линдгрена «Геометрия разрезаний». В этой книге можно найти рекорды по разрезанию многоугольников на заданные фигуры

Рассматривая решения задач на разрезание понимаешь, что универсального алгоритма или метода не существует. Иногда начинающий геометр в своем решении может значительно превзойти более опытного человека. Это простота и доступность является основой популярности игр основанных на решении таких задач, например — ( Слайд 6) пентамино «родственницы» тетриса, танграмма.

(Слайд7) Игра «Пентамино» Правила игры

Суть игры заключается в конструировании на плоскости разнообразных предметных силуэтов. Игра заключается в складывании различных фигур из заданного набора пентамино. Набор пентамино содержит 12 фигурок, каждая из которых составлена из пяти одинаковых квадратов, причём квадраты «соседствуют» друг с другом только сторонами.

Игра «Танграмм» (Слайд 8)

В игре « танграмм», из семи базовых элементов можно сложить значительное множество фигур. Все собираемые фигуры должны иметь равную площадь, т.к. собираются из одинаковых элементов. Отсюда следует что:

В каждую собираемую фигуру должны войти непременно все семь элементов.
При составлении фигуры элементы не должны налегать друг на друга, т.е. располагаться только в одной плоскости.
Элементы фигур должны примыкать один к другому.

В игре танграмм можно выделить 3 основные категории заданий:

Поиск одного или нескольких способов построения данной фигуры или изящного доказательства невозможности построения фигуры.
Нахождение способа, позволяющего с наибольшей выразительностью или юмором (или тем и другим вмести) изобразить силуэты животных, людей и другие узнаваемые предметы.
Решение различных задач комбинаторной геометрии, возникающих в связи с составлением фигур из 7 танов.

Задача 3 (Слайд 9)

Торт , украшенный розочками, тремя прямолинейными разрезами разделили на куски так, что на каждом куске оказалось, ровно по одной розочке. Какое наибольшее число розочек могло быть на торте?

Комментарий. В основе решения задачи лежит применение аксиомы: «Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости». Следует изобразить всевозможные случаи расположения трех прямых. Из рисунка становится, что наибольшее число частей – 7 – получается, когда прямые пересекаются попарно. Следовательно, на торте могло быть не более 7 розочек.

Задача 4 (Слайд10 )

Разрежьте прямоугольник , ax2a на такие части,что из них можно было составить равновеликий ему:

1) прямоугольный треугольник;

Решение задачи понятно из рисунков 2 и 3.

Задача 5 (Слайд 11)

Разрежьте два квадрата 1х1 и 3х3 на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий им квадрат.

Комментарий. Эта задача – на перекраивание фигуры, состоящий из двух квадратов, в равновеликий ей квадрат. Площадь нового квадрата равна 3 2 +1 2 , значит, сторона квадрата, равновеликого сумме данных квадратов равна , т. е. является гипотенузой прямоугольника с катетами 3 и 1. Построение такого квадрата понятно из рисунка 4

Задача 6 (Слайд 12)

Разрежьте два произвольных квадрата на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий им квадрат.

Решение задачи понятно из рисунка 5. Площадь нового квадрата равна a 2 + b 2 , значит, сторона квадрата, равновеликого сумме данных квадратов равна

т. е. является гипотенузой прямоугольно- го треугольника с катетами a и b.

Задача 7 (Слайд 13)

Крест составлен из пяти квадратов: один квадрат в центре, а остальные четыре прилежат к его сторонам. Разрежьте его на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий ему квадрат.

Решение задачи понятно из рисунка 6.

Задача 8 (Слайд 14)

Крест составлен из пяти квадратов: один квадрат в центре, а остальные четыре прилежат к его сторонам. Как шестью такими крестами оклеить поверхность луба, каждая грань которого равновелика кресту.

Комментарий. Крест накладывается на грань (рис. 7), обрезать и переклеивать «торчащие уши» не надо – они переходят на соседнюю грань и оказываются в нужных местах. Завернув «торчащие уши» на соседние грани, можно таким образом заклеить поверхность куба шестью крестами (рис.8).

Задача 9 (Слайд 15)

Квадрат 8х8 разрезан на четыре части, как показано на рисунке 9. Из полученных частей составлен прямоугольник 13х5 . Площадь прямоугольника равна 65, а площадь квадрата – 64. Объясните, где ошибка.

Комментарий. Как следует из рисунка 10, квадрат разрезан на две трапеции (белая и синея) и два прямоугольных треугольника (белый и серый). Рассмотрим на рисунке 10 большой белый прямоугольный треугольник и найдем значение тангенса угла : tg a =5/13=0,385. Теперь рассмотрим маленький белый треугольник на рисунке 10 и найдем значение тангенса угла : tg a =3/8=0,375. Значение тангенсов угла не совпадают. Это означает, что гипотенуза маленького белого прямоугольного треугольника и боковая сторона белой трапеции не лежит на одной прямой, а являются звеньями ломаной. Аналогично доказывается, что гипотенуза маленького голубого прямоугольника и боковая сторона голубой трапеции не лежит на одной прямой. Следовательно, площадь прямоугольника равна сумме площадей фигуры, составленной из частей квадрата и черной «щели».

Задача 10 (Слайд 16)

Теорема Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Перекроим параллелограмм в прямоугольник. Для этого разрежем его по высоте BH , и треугольник ABH приложим справа как показано на рисунке. Получим прямоугольник HBCH1 , равносоставленный с параллелограммом ABCD. Но равносоставленные фигуры являются равновеликими, т. е. SHBCH1=SABCD .

Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Перекроим трапецию в треугольник. Для этого разрежем её по отрезку BM, где M- середина стороны CD.Треугольник BCM приложим к отрезку MD как показан на рисунке. Получим треугольник ABN равносоставленный с трапецией ABCD, а следовательно и равновеликий , т. е. SABN=SABCD

SABN=1/2 AN x BH, (1)

Но AN =AD + DN, а DN = BC.

Откуда AN=AD + BC.

Подставим в (1), получим SABCD=1/2 (AD + BC) x BH. Теорема доказана.

Задача 12 (Слайд18)

Теорема Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Перекроим треугольник в параллелограмм. Для этого проведём среднюю линию MN и разрежем треугольник ABC на две части. Треугольник MNC приложим к отрезку BM как показано на рисунке. Получим параллелограмм ABDN, равносоставленный с треугольника ABC, а следовательно и равновеликий. Тогда SABDN=SABC

SABDH=AN x BH. Но AH=1/2 AC, т. к. N-середина AC.

Следовательно SABC=1/2 AC x BH. Теорема доказана.

Любители головоломок и увлекаются решением задач на разрезание, прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берётся за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. Поскольку здесь не требуется глубокое знание геометрии, то любители иногда могут даже превзойти профессионалов-математиков.

Вместе с тем, задачи на разрезание не являются несерьёзными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьёзных математических задач. Из задач на разрезание родилась теорема Бойаи-Гервина о том, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены (обратное очевидно).

Рассмотренные нами задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

1. Дик В. Знаменитая китайская головоломка. //Квант,№5,1989. Обложка.
2. Шарыгин И.Ф. наглядная геометрия: Учебное пособие для учащихся 5-6 классы. -М. МИРОСД995. с. 54-55.
3. Энциклопедический словарь юного математика. С. 111.
4. Гершензон М.А. Головоломки профессора Головоломки: Сборник затей. Фокусов, с 3. Григорьева Г. И. Подготовка школьников к олимпиадам по математике: 5 – 8 классы. Метод. пособие. – М.: Глобус, 2010.

5. Дынкин Е. Б., Молчанов С. А., Розенталь А. Л. Математические соревнования. Арифметика и алгебра. – М.: Наука, 1970.

6. Екимова М. А. ,Кукин Г. П. Задачи на разрезание. М.: МЦНМО, 2002. Режим доступа: http://www.math.ru/lib/files/pdf/kukin.pdf

7. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1982.

8. Кенгуру – 2010. Задачи, решения, итоги. Режим доступа: http://russian-kenguru.ru/load

Рецензия на исследовательскую работу «Задачи на разрезание»

Исследовательская работа «Задачи на разрезание» выполнена учениками 8 класса МБОУ «Северомуйская СОШ» Саркисян Романом, Шавровой Анастасией (научный руководители – учитель математики Огаркова Ирина Ивановна) Указаны задачи, которые были решены в процессе работы. Им удалось в полной мере выполнить поставленные цели и задачи. Приводятся приемы разрезания в играх «Пентамино», «Танграмм», головоломках, доказательстве теорем. Данная исследовательская работа содержит все необходимые структурные элементы для подобных работ, а именно — введение, основная часть, заключение, список использованной литературы, приложения. В работе четко обозначены цель и задачи. Акцентировано внимание на актуальности. Работа имеет большую практическую значимость, а именно может использоваться при подготовки к олимпиаде по математике, на уроках геометрии. При работе над теоретической частью проведена большая работа с литературой. Авторы показали умение логически излагать материал на основе научных и научно-популярных текстов.

Практическая часть исследования – изготовление модели «Танграмма», «Пентамино».

В подаче материала используются интерактивные компьютерные технологии – презентация. Работа выполнена на персональном компьютере с использованием современного программного обеспечения. Текст работы выполнен аккуратно и грамотно. Работа Саркисяна Р., Шавровой А. соответствует требованиям к исследовательским работам.