Векторное возведение в степень векторов (2 видео)

Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Содержание

Сложение двух векторов
Сложение нескольких векторов
Умножение вектора на число
Свойства операций над векторами
Возвести вектор в степень
Возвести вектор в степень
Используем быстрое возведение матриц в степень для написания очень быстрого интерпретатора простого языка программирования
Векторизованное возведение в степень
🎬 Видео

Видео:Векторное произведение векторовСкачать

Сложение двух векторов

Исходные данные: векторы a → и b → . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор A B → , равный вектору а → ; из полученной точки undefined – вектор В С → , равный вектору b → . Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

Геометрически сложение векторов выглядит так:

— для неколлинеарных векторов:

— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Видео:Сравнение скалярного и векторного произведений векторов (видео 16) | Магнетизм | ФизикаСкачать

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → , d → . Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a → ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b → ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B , а полученный отрезок (вектор) A B → – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a → и b → есть сумма векторов a → и — b → .

Видео:Векторное произведение | Сущность Линейной Алгебры, Глава 8Скачать

Умножение вектора на число

Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k , необходимо учитывать следующие правила:
— если k > 1 , то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
— если 0 k 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k раз;
— если k 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
— если k = 1 , то вектор остается прежним;
— если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

Исходные данные:
1) вектор a → и число k = 2 ;
2) вектор b → и число k = — 1 3 .

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Видео:Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → и произвольные действительные числа λ и μ .

Свойство коммутативности: a ⇀ + b → = b → + a → .
Свойство ассоциативности: ( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) .
Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0 → ⃗). Это очевидное свойство: a → + 0 → = a →
Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1 · a → = a → . Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
Любой ненулевой вектор a → имеет противоположный вектор — a → и верным является равенство: a → + ( — a → ) = 0 → . Указанное свойство — очевидное.
Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a → = λ · ( µ · a → ) . Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a → = λ · a → + µ · a → .
Второе распределительное свойство: λ · ( a → + b → ) = λ · a → + λ · b → .
Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Задача: упростить выражение a → — 2 · ( b → + 3 · a → )
Решение
— используя второе распределительное свойство, получим: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → )
— задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → ) = a → — 2 · b → — ( 2 · 3 ) · a → = a → — 2 · b → — 6 · a →
— используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: a → — 2 · b → — 6 · a → = a → — 6 · a → — 2 · b →
— затем по первому распределительному свойству получаем: a → — 6 · a → — 2 · b → = ( 1 — 6 ) · a → — 2 · b → = — 5 · a → — 2 · b → Краткая запись решения будет выглядеть так: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · 3 · a → = 5 · a → — 2 · b →
Ответ: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = — 5 · a → — 2 · b →

Видео:СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

Возвести вектор в степень

Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Возвести вектор в степень

В системе MatLab достаточно просто выполняются математические операции над матрицами и векторами. Рассмотрим сначала простые операции сложения и умножения матриц и векторов. Пусть даны два вектора

a = [1 2 3 4 5]; % вектор-строка
b = [1; 1; 1; 1; 1]; % вектор-столбец

тогда умножение этих двух векторов можно записать так

c = a*b; % c=1+2+3+4+5=16
d = b*a; % d – матрица 5х5 элементов

В соответствии с операциями над векторами, умножение вектор-строки на вектор-столбец дает число, а умножение вектор-столбца на вектор-строку дает двумерную матрицу, что и является результатом вычислений в приведенном примере, т.е.

Сложение и вычитание двух векторов записывается так

a1 = [1 2 3 4 5];
a2 = [5 4 3 2 1];
c = a1+a2; % c = [1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1];
с = a2-a1; % c = [5-1, 4-2, 3-3, 2-4, 1-5];

Следует обратить внимание, что операции сложения и вычитания можно выполнять между двумя векторами-столбцами или двумя векторами-строками. Иначе MatLab выдаст сообщение об ошибке, т.к. разнотипные векторы складывать нельзя. Так обстоит дело со всеми недопустимыми арифметическими операциями: в случае невозможности их вычисления система MatLab сообщит об ошибке и выполнение программы будет завершено на соответствующей строке.

Аналогичным образом выполняются операции умножения и сложения между матрицами:

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
B = ones(3);
C = A+B; % сложение двух матриц одинакового размера
D = A+5; % сложение матрицы и числа
E = A*B; % умножение матрицы А на В
F = B*A; % умножение матрицы В на А
G = 5*A; % умножение матрицы на число

Операции вычисления обратной матрицы, а также транспонирования матриц и векторов, записываются следующим образом:

a = [1 1 1]; % вектор-строка
b = a’; % вектор-столбец, образованный
% транспонированием вектора-строки а.
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; % матрица 3х3 элемента
B = a*A; % B = [12 15 18] – вектор-строка
C = A*b; % C = [6; 15; 24] – вектор-столбец
D = a*A*a’; % D = 45 – число, сумма эл-ов матрицы А
E = A’; % E – транспонированная матрица А
F = inv(A); % F – обратная матрица А
G = A^-1; % G – обратная матрица А

Из приведенного примера видно, что операция транспонирования матриц и векторов обозначается символом ‘ (апостроф), который ставится после имени вектора или матрицы. Вычисление обратной матрицы можно делать путем вызова функции inv() или возводя матрицу в степень -1. Результат в обоих случаях будет одинаковым, а два способа вычисления сделано для удобства использования при реализации различных алгоритмов.

Если в процессе вычислений требуется поэлементно умножить, разделить или возвести в степень элементы вектора или матрицы, то для этого используются операторы:

.* — поэлементное умножение;
./ и . — поэлементные деления;
.^ — поэлементное возведение в степень.

Рассмотрим работу данных операторов на следующем примере.

a = [1 2 3]; % вектор-строка
b = [3 2 1]; % вектор-строка
c = a.*b; % c = [3 4 3]
A = ones(3); % матрица 3х3, состоящая из единиц
B = [1 2 3;4 5 6; 7 8 9]; % матрица 3х3
C = A.*B; % матрица 3х3, состоящая из
D = A./B; % матрица 3х3, состоящая из
E = A.B; % матрица 3х3, состоящая из
F = A.^2; % возведение элементов матрицы А в квадрат

В заключении данного параграфа рассмотрим несколько функций полезных при работе с векторами и матрицами.

Для поиска максимального значения элемента вектора используется стандартная функция max(), которая возвращает найденное максимальное значение элемента и его позицию (индекс):

a = [1 6 3 4];
[v, i] = max(a); % v = 6, i = 2;

Приведенный пример показывает два разных способа вызова функции max(). В первом случае определяется и максимальное значение элемента и его индекс в векторе, а во втором – только максимальное значение элемента.

В случае с матрицами, данная функция определяет максимальные значения, стоящие в столбцах, как показано ниже в примере:

A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];
[V, I] = max(A); % V=[6 7 8], I = [2 2 3]
V = max(A); % V=[6 7 8]

Полный синтаксис функции max() можно узнать, набрав в командном окне MatLab команду

Аналогичным образом работает функция min(), которая определяет минимальное значение элемента вектора или матрицы и его индекс.

Другой полезной функцией работы с матрицами и векторами является функция sum(), которая вычисляет сумму значений элементов вектора или столбцов матрицы:

a = [3 5 4 2 1];
s = sum(a); % s = 3+5+4+2+1=15
A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];
S1 = sum(A); % S1=[13 11 15]
S2 = sum(sum(A)); % S2=39

При вычислении суммы S2 сначала вычисляется сумма значений элементов матрицы А по столбцам, а затем, по строкам. В результате, переменная S2 содержит сумму значений всех элементов матрицы А.

Для сортировки значений элементов вектора или матрицы по возрастанию или убыванию используется функция sort() следующим образом:

b1 = sort(a); % b1=[1 2 3 4 5]
b2 = sort(a, ‘descend’); % b2=[5 4 3 2 1]
b3 = sort(a, ‘ascend’); % b3=[1 2 3 4 5]

A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];
B1 = sort(A); % B1=[3 1 2
% 4 3 5
% 6 7 8]
B2 = sort(A, ‘descend’); % B2=[6 7 8
% 4 3 5
% 3 1 2]

Во многих практических задачах часто требуется найти определенный элемент в векторе или матрице. Это можно выполнить с помощью стандартной функции find(), которая в качестве аргумента принимает условие, в соответствии с которым и находятся требуемые элементы, например:

a = [3 5 4 2 1];
b1 = find(a == 2); % b1 = 4 – индекс элемента 2
b2 = find(a

= 2); % b2 = [1 2 3 5] – индексы без 2
b3 = find(a > 3); % b3 = [2 3]

В приведенном примере символ ‘==’ означает проверку на равенство, а символ ‘

=’ выполняет проверку на неравенство значений элементов вектора а. Более подробно об этих операторах будет описано в разделе условные операторы.

Еще одной полезной функцией работы с векторами и матрицами является функция mean() для вычисления среднего арифметического значения, которая работает следующим образом:

a = [3 5 4 2 1];
m = mean(a); % m = 3
A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];
M1 = mean(A); % M1 = [4.333 3.667 5.000]
M2 = mean(mean(A)); % M2 = 4.333

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Видео:Лекция 19. Векторное произведение векторов и его свойства.Скачать

Используем быстрое возведение матриц в степень для написания очень быстрого интерпретатора простого языка программирования

Недавно на хабре появилась неплохая статья про вычисление N-ного числа фибоначи за O(log N) арифметических операций. Разумный вопрос, всплывший в комментариях, был: «зачем это может пригодиться на практике». Само по себе вычисление N-ого числа фибоначи может и не очень интересно, однако подход с матрицами, использованный в статье, на практике может применяться для гораздо более широкого круга задач.

В ходе этой статьи мы разберем как написать интерпретатор, который может выполнять простые операции (присвоение, сложение, вычитание и урезанное умножение) над ограниченным количеством переменных с вложенными циклами с произвольным количеством итераций за доли секунды (конечно, если промежуточные значения при вычислениях будут оставаться в разумных пределах). Например, вот такой код, поданный на вход интерпретатору:

Незамедлительно выведет a = 1000000000000000000000000000, b = 500000000000000000000000000500000000000000000000000000, несмотря на то, что если бы программа выполнялась наивно, интерпретатору необходимо было бы выполнить октиллион операций.

Я полагаю, что у читателя есть представление о том, что такое матрица, и что такое произведение матриц. В рамках этой статьи мы будем использовать исключетельно квадратные матрицы и полагаться на очень важное свойство умножения квадратных матриц — ассоциативность.

Для простоты ограничим наш интерпретатор четырьмя переменными — A, B, C и D. Для представления состояния интерпретатора в заданный момент будем использовать вектор размера пять, первые четыре элемента которого будут содержать значения четырех переменных соответственно, а последний будет на протяжении всей работы интерпретатора равен единице.

В начале работы интерпретатора будем полагать значения всех переменных равными нулю.

Допустим, что первая операция в коде программы содержит строку

Эффект этой команды заключается в том, что значение переменной A увеличится на пять, в то время как значения остальных трех переменных не изменятся. Это можно претставить в виде следующей матрицы:

Если посмотреть на нее, можно заметить, что она почти идентична единичной матрице (которая, как известно, при умножении любого вектора на нее не меняет его значения), за исключением последнего элемента в первом столбце, который равен пяти. Если вспомнить, как происходит умножение вектора на матрицу, можно понять, что значения всех элементов, кроме первого, не изменятся, в то время как значение первого элемента станет равно

Так как v[0] содержит текущее значение в переменной A, а v[4] всегда равен единице, то

Если вектор текущего состояния умножить на эту матрицу, полученный вектор будет соответствовать состоянию, в котором A на пять больше, что и требовалось.
Если матрицу поменять немного, убрав единицу в первом элементе первой строки:

Как и прежде, значения всех элементов кроме первого не изменятся, в то время как первый элемент станет равным v[4] * 5, или просто пяти. Умножение вектора текущего состояния на такую матрицу эквивалентно выполнению команды

Посмотрим на такую матрицу:

Единственное отличие ее от единичной матрицы — это второй элемент в четвертой строке, который равен единице. Очевидно, что умножение вектора текущего состояния на эту матрицу не изменит значения в первом и последних трех элементах, в то время как значение второго элемента изменится на

Так как v[1] содержит текущее значение переменной B, а v[3] содержит текущее значение переменной D, то умножение вектора состояния на такую матрицу эквивалентно выполнению команды B += D

Аналогично рассуждая можно понять, что умножение вектора состояния на следующую матрицу эквивалентно выполнению команды C *= 7

Перейдем к комбинированию команд. Пусть вектор v задает текущее состояние, матрица Ma соответствует команде A += 5, а матрица Mm соответствует команде A *= 7. Тогда, чтобы получить вектор r для состояния после выполнения этих двух команд, надо сначала умножить v на Ma, а затем на Mm:

Как и ожидается, умножение вектора начального состояния на эти две матрицы приводит в состояние, в котором a=35:

Рассмотрим другой пример — пусть вместо умножения на семь, мы просто хотим прибавить пять к A семь раз.

Тут на помощь приходит ассоциативное свойство умножения матриц:

Это пример простого цикла — вместо того, чтобы умножать v на Ma семь раз, достаточно возвести матрицу Ma в седьмую степень, после чего выполнить только одно умножение. Если бы мы хотели выполнить следующие две операции в цикле три раза:

(Пусть операция B -= C представляется матрицей Mbc), это бы выглядело следующим образом:

Мы вычисляем матрицу, соответствующую телу цикла, только один раз, после чего возводим ее в степень.

Рассмотренных примеров достаточно, чтобы начать работать над интерпретатором простого языка, поддерживающего присваивание, сложение, вычитание, умножение (только на константу) и циклы. Для этого мы научимся представлять любую такую программу в виде матрицы размера N+1 на N+1, где N — это количество переменных, которыми программа оперирует, после чего будем просто умножать вектор с начальным состоянием на эту матрицу.

Правила представления программы в виде матрицы очень просты:
1. Каждая отдельная команда представляется в виде матрицы, отличающейся от единичной одним элементом (или двумя для операции присваивания). Примеры таких матриц рассмотрены выше в этой статье.
2. Несколько подряд идущих команд представляются в виде матрицы, равной произведению матричного представления каждой отдельной команды.
3. Цикл представляется в виде матрицы, представляющей тело цикла, возведенной в степень количества итераций цикла.

Если у нас есть функция identity, возвращающая единичную матрицу:

То фукнция, строящая матрицу для команды r1 += r2 (где r1 и r2 — переменные) может выглядеть так:

А для команды r += val (r — переменная, val — константа) вот так:

Функции для построения матриц других команд выглядят похоже — получается единичная матрица, в которой заменяется один элемент.

Интерпретатор без циклов теперь пишется очень просто — пусть матрица mat соответствует уже прочитанному коду. В начале она равна единичной матрице, потому что пустая программа не меняет состояния. Затем мы считываем команды по одной, разбиваем их на три элемента (левый операнд, оператор, правый операнд), и в зависимости от оператора домножаем матрицу, соответствующую всей программе, на матрицу, соответствующую текущей команде:

Осталось дело за малым — добавить поддержку циклов. Цикл возводит матрицу тела цикла в степень количества итераций цикла. Возведение в степень, как известно, требует только O(log N) операций, где N — это степень, в которую матрица возводится. Алгоритм возведения в степень очень прост:
1. Если степень равна нулю, вернуть единичную матрицу.
2. Если степень четная, пусть 2N, то можно рекурсивно вычислить M^N, а затем вернуть квадрат получившейся матрицы.
3. Если степень нечетная, пусть 2N+1, то достаточно рекурсивно посчитать значение M^2N, и вернуть полученную матрицу, умноженную на M.

Так как каждые две итерации степень сокращается в двое, сложность такого алгоритма логарифмическая.

В интерпретаторе теперь осталось добавить одну строку:

И интерпретатор готов.

Пример интерпретатора доступен на гитхабе. Весь код занимает меньше 100 строк.

Для теста скорости можно вернуться к уже упомянутым числам фибоначи. Например, такой код:

Вычислит 101-ое и 102-ое числа фибоначи:

A = 573147844013817084101, B = 927372692193078999176

Замена 100 на 1000000 вычислит миллион первое и миллион второе числа за четыре секунды. Выполнение такой программы в лоб заняло бы гораздо больше, потому что программе приходится оперировать многотысячезначными числами. Если написать код, которому не приходится оперировать большими числами, например код для вычисления суммы арифметической прогрессии, приведенный в начале статьи, то количество итераций может уходить за рамки разумного, но код будет выполняться за доли секунды

На практике этот подход может применяться, например, в оптимизирующих компиляторах, которые могут таким образом сворачивать циклы с большим количеством итераций, оперирующие на небольшом количестве переменных.

Видео:Векторное произведение векторов | Высшая математикаСкачать

Векторизованное возведение в степень

У меня есть два вектора, X оснований и N показателей. Я хочу получить матрицу всех значений e = x n для каждого x из X и n из N

Например, следующий ввод:

Есть ли способ получить это без циклов (так же, как вы можете получить все значения x × n, используя произведение по столбцам)?

Это предполагает, что X – вектор-столбец, а N – вектор-строка. Если вы хотите это гарантировать, используйте следующий синтаксис, который является более надежным:

Это, вероятно, немного sloppier, чем ответ bsxfun , но вы можете использовать meshgrid :

Это предполагает, что X и N являются векторами строк. Если оба являются векторами столбцов, тогда они становятся: