Отметим на плоскости точку O — центр поворота. Зададим угол α — угол поворота.
Поворот плоскости вокруг точки O на угол α — это отображение плоскости на себя, при котором каждая точка A отображается в такую точку A1, что
При этом точка O остаётся на месте (отображается сама в себя), а все остальные точки поворачиваются вокруг точки O в одном и том же направлении — либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки.
Поворот является движением
(то есть отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние).
Если точки A, O и B не лежат на одной прямой.
Пусть точка O — центр поворота, α — угол поворота. При повороте вокруг точки O на угол α против часовой стрелки точка A отобразится в точку A1, точка B — в точку B1.
Проведём отрезки AB и A1B1.
Рассмотрим треугольники AOB и A1OB1.
2) OB=OB1 (по определению поворота).
Следовательно, треугольники AOB и A1OB1 равны (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=A1B1.
Если точки A, O и B лежат на одной прямой.
При повороте в направлении по часовой стрелке все рассуждения аналогичны.
Равенство A1B1=AB означает, что при повороте расстояние между точками сохраняется, а значит, поворот является движением.
Урок геометрии по теме «Поворот»
Презентация к уроку
Цели урока:
Образовательные
- ввести понятие поворота и доказать, что поворот есть движение;
- рассмотреть поворот отрезка, в зависимости от центра поворота (центр поворота лежит вне отрезка, на отрезке и является одним из концов отрезка);
- научить построению отрезка при повороте его на данный угол;
- проверить усвоение материала, изученного на предыдущих уроках и материала, пройденного на этом уроке.
Развивающие
- развивать умение анализировать условие задачи, строить логическую цепочку при решении задач, обоснованно делать выводы;
- развивать мыслительный процесс, познавательный интерес, математическую речь учащихся;
Воспитательные
- воспитывать внимательность, наблюдательность, положительное отношение к обучению.
Содержание темы: урок по геометрии разработан для учащихся 9 класса.
Тип урока: урок изучения нового материала и промежуточного контроля усвоения учащимися пройденного на этом уроке и изученного ранее материала.
Организационные формы общения: коллективная, индивидуальная, фронтальная, в парах.
Структура занятия:
- Мотивационная беседа с учащимися с последующей постановкой целей;
- Проверка домашнего задания;
- Актуализация опорных знаний;
- Обогащение знаний;
- Закрепление изученного материала;
- Проверка усвоения изученного материала (тестирование с последующей взаимопроверкой);
- Подведение итога занятия (рефлексия);
- Домашнее задание.
Оформление: мультимедийный проектор, экран, ноутбук, компьютерная презентация, сигнальные карточки.
Мотивационная беседа.
Без движения — жизнь только летаргический сон.
Жан Жак Руссо
I. Сообщение темы, целей и хода урока. (СЛАЙД 2)
— Ребята, Вы знаете какую важную роль имеет движение в жизни человека, общества, науки. Большую роль играет движение и в математике: преобразование графиков, отображение точек, фигур, плоскостей – всё это движение. На предыдущих уроках мы с Вами рассмотрели несколько видов движения. Сегодня мы познакомимся ещё с одним видом движения: поворотом. Тема урока: поворот.
И наш урок тоже является примером движения, только движения не с физической точки зрения, а движением в умственном развитии, познании нового и приобретения новых знаний. В течение всего урока Вы будете выполнять различные задачи, тесты. Поэтому будьте активны, продвигайтесь в своих знаниях вперёд на протяжении всего урока и улучшайте свои результаты от одного этапа к другому!
В течение всего урока, как мою речь, так и вашу будет сопровождать презентация, которая поможет проверить правильность выполнения Вами домашней работы, предложенных тестов и самостоятельно решённых задач.
II. Проверка домашнего задания.
С помощью СЛАЙДОВ 3-5 проверить решение № 1165.
III. Актуализация опорных знаний.
Тест №1. (СЛАЙДЫ 6-13)
После выполнения теста ребята обмениваются тетрадями и выполняют взаимопроверку.
IV. Изучение нового материала. (обогащение знаний)
(СЛАЙД 14) Отметим на плоскости точку О (неподвижная точка), и зададим угол a – угол поворота. Поворотом плоскости вокруг точки О на угол a называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M1, что OM =OM1 и угол MOM1 = a.
(СЛАЙД 15) При этом точка O остаётся на месте, т.е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки O в одном и том же направлении на угол a по часовой стрелки или против часовой стрелки.
(СЛАЙД 16) Точка О называется центром поворота, a – угол поворота. Обозначается Ро a .
(СЛАЙД 17) Если поворот выполняется по часовой стрелке, то угол поворота a считается отрицательным. Если поворот выполняется против часовой стрелки, то угол поворота – положительный.
— Ребята, давайте вспомним понятие движения. Как Вы думаете, является ли поворот движением? (высказывают предположения)
— Поворот – является движением, т.е. отображением плоскости на себя. Докажем это.
(СЛАЙД 18 или СЛАЙД 19)
(Доказательство может выполнить сильный ученик по СЛАЙДУ 18. В этом случае можно сразу после доказательства перейти к СЛАЙДУ 20. Доказательство может выполнить учитель вместе с классом по СЛАЙДУ 19, на котором отображаются этапы доказательства.)
V. Закрепление изученного материала.
Задание. Построить точку M1, которая получается из точки M поворотом на угол 60 o . Поэтапно с помощью слайда 20 прорабатывается построение точки M1.
— Какие инструменты нам понадобятся для того, чтобы выполнить поворот? (линейка, циркуль, транспортир)
— Ребята, что сначала нужно отметить? (точку M и центр поворота – точку O)
— Как задаём центр поворота? Отмечаем в определённом месте? (нет, произвольно)
— Как будем выполнять поворот по часовой или против часовой стрелки? Почему? (против, т.к. угол положительный)
— Что нужно построить, чтобы отложить угол 60 o ? (луч OM)
— Как найти на второй стороне угла точку M1? (с помощью циркуля отложить отрезок OM1=OM)
— Рассмотрим, как выполняется поворот отрезка в зависимости от расположения центра поворота.
— Рассмотрим случай, когда центр поворота лежит вне отрезка. Решим № 1166 (а). (Если класс сильный, то можно вместе с детьми составить план решения задачи, дать задание решить № 1166 (а) самостоятельно. Решение проверить с помощью СЛАЙДА 21. Если ребята затрудняются с выполнением задания, то решать коллективно, опираясь на СЛАЙД 21)
Работа в парах.
Задание. Построить фигуру, которая получится при повороте отрезка AB на угол — 100 o вокруг точки А.
— Какая точка является центром поворота? Что можно о ней сказать? (это один из концов отрезка – точка А, она будет неподвижной, оставаться на месте)
— Как будем выполнять поворот по часовой стрелки или против часовой? (по часовой, т.к. угол отрицательный)
— Составьте план решения задачи.
Задание выполняют по парам. Проверяют решение с помощью СЛАЙДА 22.
Индивидуальная работа.
Задание. Построить фигуру, в которую переходит отрезок AB при повороте на угол – 100 o вокруг точки О – середины отрезка AB.
— Составьте план решения задачи. Задание выполняют самостоятельно, решение проверяем с помощью СЛАЙДА 23.
— Сегодня на уроке мы рассмотрели поворот отрезка в зависимости от расположения центра поворота. На следующих уроках мы рассмотрим повороты других фигур. (продемонстрировать СЛАЙДЫ 24-25)
VI. Проверка усвоения изученного материала.
Тест №2. (СЛАЙДЫ 26-30)
VII. Подведение итога урока. (рефлексия)
— Ребята, давайте выделим тех, кто был лучшим на каждом этапе. (подводится итог, выставляются оценки)
— Поднимите руки, кому понравился урок. Отметьте, что интересного было на уроке?
VII. Домашнее задание.
- № 1166 (б), № 1167 – для тех, кто получил оценку “3”.
- № 1167 (рассмотреть три случая расположения центра поворота: центр — вершина А, центр расположен вне треугольника, центр лежит на стороне АВ треугольника) – для тех, кто получил оценку “4” и “5”.
Угол поворота, угол произвольной величины
Среди множества терминов тригонометрии важным является понятие угла поворота. В данной статье рассмотрим поворот и все соответствующие ему определения; дадим представление о полном обороте; изучим угол поворота и его характеристики, а также поворот фигуры вокруг точки. Для лучшего понимания теория будет снабжена иллюстрациями и практическими примерами.
Поворот точки вокруг точки
Центр поворота – точка, относительно которой осуществлен поворот.
Рассмотрим, что происходит в результате поворота точки. Пусть некоторая точка А поворачивается относительно центра поворота О , в результате чего получается точка А 1 (при совершении некоторого количества полных оборотов она может совпасть с точкой А ). При этом точка А 1 лежит на окружности с центром в точке О радиуса О А . Другими словами, когда точка А осуществляет поворот относительно точки О , она переходит в точку А 1 , лежащую на окружности с центром О радиуса О А .
Считается, что в данном случае точка О при осуществлении поворота вокруг самой себя переходит в саму себя. Или: когда точка О осуществляет поворот вокруг центра поворота О , она переходит в саму себя.
Отметим также, что поворот точки А относительно центра О нужно рассматривать, в том числе, как перемещение в результате движения точки А по окружности с центром в точке О радиуса О А .
Изобразим графически поворот точки А относительно точки О , перемещение точки А в точку А 1 отметим стрелкой:
Полный оборот
Возможно осуществить поворот точки А относительно центра поворота О таким образом, что точка А , пройдя все точки окружности, вернется на прежнее свое место. Тогда говорим, что точка совершила полный оборот вокруг точки О .
Если движение точки А по окружности продолжится, то будет выполнено два, три и так далее полных оборотов. На иллюстрации ниже справа отображено два полных оборота, а слева – три:
В рамках всего вышесказанного можно также говорить о частях полного оборота. Например, о половине оборота или трети, или четверти и так далее.
Угол поворота
Из указанного выше понятия поворота точки очевидно, что возможно бесконечное множество вариаций поворота точки А относительно центра О . Любую точку окружности с центром О можно рассматривать как точку А 1 , полученную в результате поворота точки А . Поэтому для определения отличия одного поворота от другого вводится понятие угла поворота.
Угол поворота имеет свои характеристики, одна из которых – направление поворота. По нему определяют, как перемещалась точка – по часовой стрелке или против.
Еще одной характеристикой угла поворота служит его величина. Углы поворота имеют ту же единицу измерения, что и углы в геометрии: наиболее распространены градусы и радианы. Отметим, что угол поворота может выражаться в градусах любым действительным числом в промежутке от — ∞ до + ∞ , что отличает его от угла в геометрии, который выражается только положительным числом, не превосходящим 180 ° .
Чтобы обозначить углы поворота, стандартно используют буквы греческого алфавита: α , β , γ и так далее. Чтобы обозначить большое количество углов поворота, применяют одну и ту же букву с различными нижними индексами: α 1 , α 2 , α 3 … . . α n .
Разберем характеристики угла поворота подробнее.
Направление поворота
Отметим на окружности с центром О точки А и А 1 . В точку А 1 возможно попасть, совершив точкой А поворот относительно центра О либо по часовой стрелке, либо – против. Очевидно определять эти повороты, как различные.
Принято считать, что поворот по часовой стрелке – поворот в отрицательном направлении направлении, а поворот против часовой стрелки – поворот в положительном направлении.
Приведем графическую иллюстрацию различных поворотов: слева на чертеже – поворот в положительном направлении; справа – в отрицательном.
Величина угла поворота, угол произвольной величины
Угол поворота точки, не являющейся центром поворота, в полной мере определяется указанием его величины. С другой стороны, по величине угла поворота можно определить, каким образом поворот был осуществлен.
Как было сказано выше, величина угла поворота варьируется в пределах от — ∞ до + ∞ ;
Знак плюс определяет поворот против часовой стрелки, а минус – по часовой стрелке.
Необходимо установить соответствие между самой величиной угла поворота и тем, какому повороту она соответствует.
Пусть угол поворота равен 0 ° . Такому углу поворота соответствует перемещение точки в саму себя. Иначе говоря, при повороте вокруг точки О на 0 ° точка A остается на месте.
Теперь предположим, что поворот точки А происходит в пределах половины оборота: пусть точка А переходит в точку А 1 . В таком случае абсолютная величина угла А О А 1 , выраженная в градусах, не превосходит 180 . Если поворот имел положительное направление, то величина угла поворота считается равной величине угла А О А 1 ; если отрицательное – величина угла поворота равна величине угла А О А 1 со знаком минус. Для иллюстрации этих утверждений отобразим на чертеже углы поворота в 30 ° , 180 ° и — 150 ° :
Углы поворота, превышающие 180 или меньшие – 180 определяются, исходя из очевидного свойства последовательных поворотов:
Несколько последовательных поворотов точки А относительно центра О равносильны одному повороту, величина которого равна сумме величин этих поворотов.
Рассмотрим пример, который даст нам возможность графически проиллюстрировать описанное свойство. Пусть точка А выполняет поворот относительно центра О на 45 ° , затем еще на 60 ° и еще раз — на — 35 ° . Обозначим промежуточные точки поворотов А 1 , А 2 и А 3 . В конечную точку А 3 возможно было попасть, совершив один поворот на угол поворота, величина которого равна: 45 ° + 60 ° + ( — 35 ° ) = 70 ° . Проиллюстрируем:
Таким, образом, углы, превышающие 180 ° , будем представлять, как несколько последовательных поворотов на углы, сумма величин которых определяет величину исходного угла поворота. Например, угол поворота 298 ° соответствует последовательным поворотам на 180 ° и 118 ° , или 90 ° , 90 ° , 90 ° и 28 ° , или 180 ° , 180 ° и — 62 ° , или 298 последовательных поворотов на 1 ° .
По такому же принципу определяются углы меньше — 180 ° . Например, угол поворота — 515 ° можно определить, как последовательные повороты на — 180 ° , — 180 ° и — 155 ° .
Нами был определен угол поворота, и его величина выражается в градусах некоторым действительным числом в пределах от — ∞ до + ∞ . Тригонометрия работает именно с углами поворота, хотя для удобства слово «поворот» опускают и говорят «угол». Т.е. будем рассматривать углы произвольной величины, понимая под ними углы поворота.
В заключение также отметим, что полный оборот в положительном направлении соответствует углу поворота в 360 ° или 2 π радиан. Соответственно при отрицательном направлении полный оборот будет соответствовать углу в — 360 ° или — 2 π радиан.
При этом удобно большие углы поворота представлять, как некоторое количество полных оборотов и еще один на величину в пределах от — 180 ° до 180 ° . К примеру, поворот осуществляется на 1478 ° . Представим эту величину как: 360 · 4 + 38 , т.е. заданному углу поворота соответствуют 4 полных оборота и еще один поворот – на 38 ° . Или еще один пример: угол поворота в — 815 ° можно представить, как ( — 360 ) · 2 + ( — 95 ) , т.е. заданному углу поворота соответствуют 2 полных оборота в отрицательном направлении (против часовой стрелки) и еще один поворот того же направления на — 95 ° .
Поворот фигуры вокруг точки на угол
Понятие поворота точки легко распространить на поворот любой фигуры вокруг точки на угол (такой поворот, при котором и точка, относительно которой осуществляется поворот, и сама поворачиваемая фигура лежат в одной плоскости).
Поворот фигуры – это поворот всех ее точек вокруг заданной точки на заданный угол.
Как пример, иллюстрируем следующее действие: поворот отрезка А В на угол α относительно точки О – при повороте заданный отрезок перейдет в отрезок А 1 В 1 .