Вектор векторные величины в физике

Что такое векторные величины в физике? Все векторные величины
Содержание
  1. Содержание:
  2. Что такое векторная величина
  3. Действия над векторными величинами
  4. Что значит векторная величина в обычной жизни
  5. Векторная величина в физике. Примеры векторных величин
  6. Как отличить скалярную величину от векторной?
  7. Какие действия чаще всего выполняются с векторами?
  8. Какие векторы изучают в физике?
  9. Первая величина — скорость
  10. Вторая величина — сила
  11. Третья величина — перемещение
  12. Четвертая величина — ускорение
  13. Пятая величина — импульс
  14. Задача о неупругом ударе
  15. Задача с разделением тела на части
  16. Задача про выстрел под углом
  17. Задача о переправе через реку
  18. Большая теория по векторам
  19. Векторы — коротко о главном
  20. Векторы и… Колумб
  21. О направлении
  22. Что такое скалярная величина?
  23. Что такое векторная величина?
  24. Как обозначаются векторы?
  25. Операции над векторами
  26. Умножение вектора на число
  27. Параллельный перенос векторов
  28. Сложение векторов по правилу треугольника
  29. Больше двух слагаемых векторов. Сложение по правилу многоугольника
  30. Вычитание векторов через сложение
  31. Вычитание векторов через треугольник
  32. Универсальное правило параллелограмма
  33. Скалярное произведение векторов
  34. Векторное произведение векторов
  35. Проекции векторов
  36. Что такое проекция вектора и с чем ее едят?
  37. Построение проекции. Определение знака
  38. Анализ углов
  39. Частные случаи проекции
  40. Способы нахождения проекций и векторов с помощью тригонометрии
  41. Действия над проекциями векторов. Решение задач
  42. Сложение проекций. Доказательство главного свойства
  43. Простейшие задачи на нахождение проекций
  44. Задачи на нахождение вектора и его угла с осью
  45. Главный метод работы с осями и проекциями в решении физических задач
  46. Заключение

Содержание:

Физические величины служат для численного выражения различных характеристик материальных предметов и физических явлений. Все физические величины разделены на два вида. Векторные величины в физике – это те, которые кроме численного выражения обязательно характеризуются направлением. А вот обычные величины называют скалярными. Примерами таких величин могут служить:

  • температура;
  • яркость;
  • энергия;
  • поглощенная доза радиации;
  • мощность.

Видео:Физика | Ликбез по векторамСкачать

Физика | Ликбез по векторам

Что такое векторная величина

Векторные величины в физике, список которых приведен ниже, широко известны:

  • сила;
  • ускорение;
  • скорость;
  • магнитная индукция;
  • импульс;
  • напряженность магнитного поля.

Чтобы досконально разобраться в их смысле, попробуем рассмотреть простой пример. Каждый из нас неоднократно бросал или подбрасывал какой-либо предмет. Пусть это будет теннисный мячик. Сделать это можно разными способами:

  • подбросить вертикально вверх;
  • бросить параллельно поверхности земли, то есть горизонтально;
  • метнуть под углом к горизонту.

В нашем эксперименте будем предполагать, что все три раза мячик бросает один и тот же человек, а сила броска всегда примерно одинакова. Какие результаты будут в итоге? Догадаться довольно просто: в каждом из случаев результат будет разным, потому что три раза мячик бросали в разном направлении. Таким образом мы увидели, что векторная величина это в физике одновременно две характеристики какого-либо физического процесса или состояния.

Вектор векторные величины в физике

Видео:Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси.  9 класс.

Действия над векторными величинами

Теперь, когда мы установили, что такое векторная величина в физике, настало время подумать о действиях над такими величинами. Их можно складывать, вычитать, умножать, но важно помнить, что определяющим фактором будет их направление. Действия над такими величинами производят с использованием правил, принятых в математике. Например, сложение векторов производят с использованием правил треугольника или параллелограмма.

Видео:Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.Скачать

Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.

Что значит векторная величина в обычной жизни

В повседневной жизни мы зачастую даже не задумываемся, что значит векторная величина, и не замечем, что пользуемся векторами. Допустим, что два друга собрались поехать на рыбалку и договорились о встрече с утра за 100 м от автобусной остановки. Согласитесь, что намеченное мероприятие может оказаться под угрозой из-за того, что не было указано в каком конкретно направлении от остановки следует двигаться на указанное расстояние.

Другой пример из всем известной басни. Речь про лебедя, рака и щуку, которые дружно собрались потянуть тяжелый воз. Тяговую силу каждый из них приложил в своем направлении, не согласовав его с другими. В итоге воз не тронулся с места. Говоря языком физики, все векторные величины силы математически сложились так, что их равнодействующая оказалась равной нулю.

Ну и в заключительной части вспомним о том, что векторы в виде указующих стрелок принято использовать на дорожных знаках и различных табличках, информирующих о направлении движения в непредвиденных ситуациях либо помогающих найти соответствующий объект.

Видео:Зачем нужен ВЕКТОР. Объяснение смыслаСкачать

Зачем нужен ВЕКТОР. Объяснение смысла

Векторная величина в физике. Примеры векторных величин

Физика и математика не обходятся без понятия «векторная величина». Ее необходимо знать и узнавать, а также уметь с нею оперировать. Этому обязательно стоит научиться, чтобы не путаться и не допускать глупых ошибок.

Видео:Основы кинематики. Тема 2. Скалярные и векторные величины. Действия над векторамиСкачать

Основы кинематики. Тема 2. Скалярные и векторные величины. Действия над векторами

Как отличить скалярную величину от векторной?

Первая всегда имеет только одну характеристику. Это ее числовое значение. Большинство скалярных величин могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Их примерами может служить электрический заряд, работа или температура. Но есть такие скаляры, которые не могут быть отрицательными, например, длина и масса.

Векторная величина, кроме числовой величины, которая всегда берется по модулю, характеризуется еще и направлением. Поэтому она может быть изображена графически, то есть в виде стрелки, длина которой равна модулю величины, направленной в определенную сторону.

При письме каждая векторная величина обозначается знаком стрелки на буквой. Если идет речь о числовом значении, то стрелка не пишется или ее берут по модулю.

Вектор векторные величины в физике

Видео:Скалярные и векторные величины, основные определения.Скачать

Скалярные и векторные величины, основные определения.

Какие действия чаще всего выполняются с векторами?

Сначала — сравнение. Они могут быть равными или нет. В первом случае их модули одинаковые. Но это не единственное условие. У них должны быть еще одинаковые или противоположные направления. В первом случае их следует называть равными векторами. Во втором они оказываются противоположными. Если не выполняется хотя бы одно из указанных условий, то векторы не равны.

Потом идет сложение. Его можно сделать по двум правилам: треугольника или параллелограмма. Первое предписывает откладывать сначала один вектор, потом от его конца второй. Результатом сложения будет тот, который нужно провести от начала первого к концу второго.

Правило параллелограмма можно использовать, когда нужно сложить векторные величины в физике. В отличие от первого правила, здесь их следует откладывать от одной точки. Потом достроить их до параллелограмма. Результатом действия следует считать диагональ параллелограмма, проведенную из той же точки.

Если векторная величина вычитается из другой, то они снова откладываются из одной точки. Только результатом будет вектор, который совпадает с тем, что отложен от конца второго к концу первого.

Видео:Физика. Объяснение темы "Векторные и скалярные величины"Скачать

Физика. Объяснение темы "Векторные и скалярные величины"

Какие векторы изучают в физике?

Их так же много, как скаляров. Можно просто запомнить то, какие векторные величины в физике существуют. Или знать признаки, по которым их можно вычислить. Тем, кто предпочитает первый вариант, пригодится такая таблица. В ней приведены основные векторные физические величины.

Обозначение в формулеНаименование
vскорость
rперемещение
аускорение
Fсила
римпульс
Енапряженность электрического поля
Вмагнитная индукция
Ммомент силы

Теперь немного подробнее о некоторых из этих величин.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Первая величина — скорость

С нее стоит начать приводить примеры векторных величин. Это обусловлено тем, что ее изучают в числе первых.

Скорость определяется как характеристика движения тела в пространстве. Ею задается числовое значение и направление. Поэтому скорость является векторной величиной. К тому же ее принято разделять на виды. Первый является линейной скоростью. Ее вводят при рассмотрении прямолинейного равномерного движения. При этом она оказывается равной отношению пути, пройденного телом, ко времени движения.

Эту же формулу допустимо использовать при неравномерном движении. Только тогда она будет являться средней. Причем интервал времени, который необходимо выбирать, обязательно должен быть как можно меньше. При стремлении промежутка времени к нулю значение скорости уже является мгновенным.

Если рассматривается произвольное движение, то здесь всегда скорость — векторная величина. Ведь ее приходится раскладывать на составляющие, направленные вдоль каждого вектора, направляющего координатные прямые. К тому же определяется он как производная радиус-вектора, взятая по времени.

Вектор векторные величины в физике

Видео:Вектор в Физике. Как Рисовать Вектор? Модуль Вектора || Урок Физики 8 класс // Подготовка к ЕГЭСкачать

Вектор в Физике. Как Рисовать Вектор? Модуль Вектора || Урок Физики 8 класс // Подготовка к ЕГЭ

Вторая величина — сила

Она определяет меру интенсивности воздействия, которое оказывается на тело со стороны других тел или полей. Поскольку сила — векторная величина, то она обязательно имеет свое значение по модулю и направление. Так как она действует на тело, то важным является еще и точка, к которой приложена сила. Чтобы получить наглядное представление о векторах сил, можно обратиться к следующей таблице.

СилаТочка приложенияНаправление
тяжестицентр телак центру Земли
всемирного тяготенияцентр телак центру другого тела
упругостиместо соприкосновения взаимодействующих телпротив внешнего воздействия
трениямежду соприкасающимися поверхностямив сторону, противоположную движению

Также еще векторной величиной является равнодействующая сила. Она определяется как сумма всех действующих на тело механических сил. Для ее определения необходимо выполнить сложение по принципу правила треугольника. Только откладывать векторы нужно по очереди от конца предыдущего. Результатом окажется тот, который соединяет начало первого с концом последнего.

Видео:СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

Третья величина — перемещение

Во время движения тело описывает некоторую линию. Она называется траекторией. Эта линия может быть совершенно разной. Важнее оказывается не ее внешний вид, а точки начала и конца движения. Они соединяются отрезком, который называется перемещением. Это тоже векторная величина. Причем оно всегда направлено от начала перемещения к точке, где движение было прекращено. Обозначать его принято латинской буквой r.

Здесь может появиться такой вопрос: «Путь — векторная величина?». В общем случае это утверждение не является верным. Путь равен длине траектории и не имеет определенного направления. Исключением считается ситуация, когда рассматривается прямолинейное движение в одном направлении. Тогда модуль вектора перемещения совпадает по значению с путем, и направление у них оказывается одинаковым. Поэтому при рассмотрении движения вдоль прямой без изменения направления перемещения путь можно включить в примеры векторных величин.

Вектор векторные величины в физике

Видео:Векторные величины Сложение векторовСкачать

Векторные величины Сложение векторов

Четвертая величина — ускорение

Оно является характеристикой быстроты изменения скорости. Причем ускорение может иметь как положительное, так и отрицательное значение. При прямолинейном движении оно направлено в сторону большей скорости. Если перемещение происходит по криволинейной траектории, то вектор его ускорения раскладывается на две составляющие, одна из которых направлена к центру кривизны по радиусу.

Выделяют среднее и мгновенное значение ускорения. Первое следует рассчитывать как отношение изменения скорости за некоторый промежуток времени к этому времени. При стремлении рассматриваемого интервала времени к нулю говорят о мгновенном ускорении.

Вектор векторные величины в физике

Видео:Физика, 10-й класс, Векторные величины. Действия над векторамиСкачать

Физика, 10-й класс, Векторные величины. Действия над векторами

Пятая величина — импульс

По-другому его еще называют количеством движения. Импульс векторной величиной является из-за того, что напрямую связан со скоростью и силой, приложенной к телу. Обе они имеют направление и задают его импульсу.

По определению последний равен произведению массы тела на скорость. Используя понятие импульса тела, можно по-другому записать известный закон Ньютона. Получается, что изменение импульса равно произведению силы на промежуток времени.

В физике важную роль имеет закон сохранения импульса, который утверждает, что в замкнутой системе тел ее суммарный импульс является постоянным.

Мы очень кратко перечислили, какие величины (векторные) изучаются в курсе физики.

Вектор векторные величины в физике

Видео:Физика.7 класс. Скалярные и векторные физические величины /11.09.2020/Скачать

Физика.7 класс. Скалярные и векторные физические величины /11.09.2020/

Задача о неупругом ударе

Условие. На рельсах стоит неподвижная платформа. К ней приближается вагон со скоростью 4 м/с. Массы платформы и вагона — 10 и 40 тонн соответственно. Вагон ударяется о платформу, происходит автосцеп. Необходимо вычислить скорость системы «вагон-платформа» после удара.

Решение. Сначала требуется ввести обозначения: скорость вагона до удара — v1, вагона с платформой после сцепки — v, масса вагона m1, платформы — m2. По условию задачи необходимо узнать значение скорости v.

Правила решения подобных заданий требуют схематичного изображения системы до и после взаимодействия. Ось OX разумно направить вдоль рельсов в ту сторону, куда движется вагон.

В данных условиях систему вагонов можно считать замкнутой. Это определяется тем, что внешними силами можно пренебречь. Сила тяжести и реакция опоры уравновешены, а трение о рельсы не учитывается.

Согласно закону сохранения импульса, их векторная сумма до взаимодействия вагона и платформы равна общему для сцепки после удара. Сначала платформа не двигалась, поэтому ее импульс был равен нулю. Перемещался только вагон, его импульс — произведение m1 и v1.

Так как удар был неупругий, то есть вагон сцепился с платформой, и дальше он стали катиться вместе в ту же сторону, то импульс системы не изменил направления. Но его значение стало другим. А именно произведением суммы массы вагона с платформой и искомой скорости.

Можно записать такое равенство: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Оно будет верно для проекции векторов импульсов на выбранную ось. Из него легко вывести равенство, которое потребуется для вычисления искомой скорости: v = m1 * v1 / (m1 + m2).

По правилам следует перевести значения для массы из тонн в килограммы. Поэтому при подстановке их в формулу следует сначала умножить известные величины на тысячу. Простые расчеты дают число 0,75 м/с.

Ответ. Скорость вагона с платформой равна 0,75 м/с.

Вектор векторные величины в физике

Видео:Векторные величины Проекция вектора на осьСкачать

Векторные величины  Проекция вектора на ось

Задача с разделением тела на части

Условие. Скорость летящей гранаты 20 м/с. Она разрывается на два осколка. Масса первого 1,8 кг. Он продолжает двигаться в направлении, в котором летела граната, со скоростью 50 м/с. Второй осколок имеет массу 1,2 кг. Какова его скорость?

Решение. Пусть массы осколков обозначены буквами m1 и m2. Их скорости соответственно будут v1 и v2. Начальная скорость гранаты — v. В задаче нужно вычислить значение v2.

Для того чтобы больший осколок продолжал двигаться в том же направлении, что и вся граната, второй должен полететь в обратную сторону. Если выбрать за направление оси то, которое было у начального импульса, то после разрыва большой осколок летит по оси, а маленький — против оси.

В этой задаче разрешено пользоваться законом сохранения импульса из-за того, что разрыв гранаты происходит мгновенно. Поэтому, несмотря на то что на гранату и ее части действует сила тяжести, она не успевает подействовать и изменить направление вектора импульса с его значением по модулю.

Сумма векторных величин импульса после разрыва гранаты равна тому, который был до него. Если записать закон сохранения импульса тела в проекции на ось OX, то он будет выглядеть так: (m1 + m2) * v = m1 * v1 — m2 * v2. Из него просто выразить искомую скорость. Она определится по формуле: v2 = ((m1 + m2) * v — m1 * v1) / m2. После подстановки числовых значений и расчетов получается 25 м/с.

Ответ. Скорость маленького осколка равна 25 м/с.

Видео:Векторные величины Сложение векторовСкачать

Векторные величины  Сложение векторов

Задача про выстрел под углом

Условие. На платформе массой M установлено орудие. Из него производится выстрел снарядом массой m. Он вылетает под углом α к горизонту со скоростью v (данной относительно земли). Требуется узнать значение скорости платформы после выстрела.

Решение. В этой задаче можно использовать закон сохранения импульса в проекции на ось OX. Но только в том случае, когда проекции внешних равнодействующих сил равна нулю.

За направление оси OX нужно выбрать ту сторону, куда полетит снаряд, и параллельно горизонтальной линии. В этом случае проекции сил тяжести и реакции опоры на OX будут равны нулю.

Задача будет решена в общем виде, так как нет конкретных данных для известных величин. Ответом в ней является формула.

Импульс системы до выстрела был равен нулю, поскольку платформа и снаряд были неподвижны. Пусть искомая скорость платформы будет обозначена латинской буквой u. Тогда ее импульс после выстрела определится как произведение массы на проекцию скорости. Так как платформа откатится назад (против направления оси OX), то значение импульса будет со знаком минус.

Импульс снаряда — произведение его массы на проекцию скорости на ось OX. Из-за того, что скорость направлена под углом к горизонту, ее проекция равна скорости, умноженной на косинус угла. В буквенном равенстве это будет выглядеть так: 0 = — Mu + mv * cos α. Из нее путем несложных преобразований получается формула-ответ: u = (mv * cos α) / M.

Ответ. Скорость платформы определяется по формуле u = (mv * cos α) / M.

Вектор векторные величины в физике

Видео:Векторы в физике. Что нужно знать? | 50 уроков физики (2/50)Скачать

Векторы в физике. Что нужно знать? | 50 уроков физики (2/50)

Задача о переправе через реку

Условие. Ширина реки по всей ее длине одинакова и равна l, ее берега параллельны. Известна скорость течения воды в реке v1 и собственная скорость катера v2. 1). При переправе нос катера направлен строго к противоположному берегу. На какое расстояние s его снесет вниз по течению? 2). Под каким углом α нужно направить нос катера, чтобы он достиг противоположного берега строго перпендикулярно к точке отправления? Сколько времени t потребуется на такую переправу?

Решение. 1). Полная скорость катера является векторной суммой двух величин. Первая из них течение реки, которое направлено вдоль берегов. Вторая — собственная скорость катера, перпендикулярная берегам. На чертеже получается два подобных треугольника. Первый образован шириной реки и расстоянием, на которое сносит катер. Второй — векторами скоростей.

Из них следует такая запись: s / l = v1 / v2. После преобразования получается формула для искомой величины: s = l * (v1 / v2).

2). В этом варианте задачи вектор полной скорости перпендикулярен берегам. Он равен векторной сумме v1 и v2. Синус угла, на который должен отклоняться вектор собственной скорости, равен отношению модулей v1 и v2. Для расчета времени движения потребуется разделить ширину реки на сосчитанную полную скорость. Значение последней вычисляется по теореме Пифагора.

Видео:Векторы для чайников (что потребуется знать при решении физических задач)Скачать

Векторы для чайников (что потребуется знать при решении физических задач)

Большая теория по векторам

И ты наверняка обратил внимание, что некоторые величины имеют только значение (число) – например, путь ((L)).

А некоторые имеют и число, и направление — например, перемещение ((vec)).

И сейчас ты узнаешь, почему это настолько важно.

Видео:Физика, 10-й класс, Векторные величины. Действия над векторамиСкачать

Физика, 10-й класс, Векторные величины. Действия над векторами

Векторы — коротко о главном

Решать задачи с векторами — легко!

Видео:Построение проекции вектора на осьСкачать

Построение проекции вектора на ось

Векторы и… Колумб

В 1492 году Колумб приказал кораблям изменить курс на запад-юго-запад, полагая, что он и его команда уже прошли мимо Японии, не заметив ее островов.

Вскоре его экспедиция наткнулась на множество архипелагов, которые ошибочно принимали за земли Восточной Азии. И теперь, спустя века, американцы в октябре отмечают высадку Колумба в Новом Свете.

Кто знает, как повернулась бы история, если бы его корабли не поменяли свое направление?

Видео:2.1. Скалярные и векторные физические величиныСкачать

2.1. Скалярные и векторные физические величины

О направлении

Направление – одна из важнейших характеристик движения.

Подумай, какие из этих величин являются просто числами, а какие тоже являются числами, но имеют еще и направление.

Наверное, ты без труда заметил, что направление имеют сила, скорость, перемещение, а время, длина, масса и температура – это просто числа.

Так вот, «просто числа» — это скалярные величины (их также называют скалярами).

А «числа с направлением» — это векторные величины (их иногда называют векторы).

В физике существует множество скалярных и векторных величин.

Что такое скалярная величина?

Скалярная величина, в отличие от вектора, не имеет направления и определяется лишь значением (числом)

Это, например, время, длина, масса, температура (продолжи сам!)

Что такое векторная величина?

Векторная величина – это величина, которая определяется и значением, и направлением.

В случае с векторами нам важно, куда мы, например, тянем груз или в какую сторону движемся.

Например, как на этом рисунке изображен вектор силы (нам важно не только с какой силой, но и куда мы тянем груз):

Вектор векторные величины в физике

Как обозначаются векторы?

Векторы принято обозначать специальным символом – стрелочкой над названием. Вот, например, вектор перемещения: (vec)

Значение вектора – это модуль вектора, то есть его длина.

Обозначить это можно двумя способами: (left| <vec> right|) или (S)

Операции над векторами

Для решения задач необходимо уметь работать с векторами: складывать, вычитать, умножать их.

Давай научимся это делать. Мы пойдем от простого к сложному, но это вовсе не значит, что будет трудно!

Умножение вектора на число

Если вектор умножить на какое-либо число (скаляр), мы просто «растягиваем» вектор, сохраняя его направление. Получившийся вектор сонаправлен начальному, то есть они имеют одинаковое направление.

(Если направление противоположно, обозначаем так: (vecuparrow downarrow vec))

Рассмотрим на примере, используя клетку для точности построений:

Вектор векторные величины в физике

Если вектор умножить на ноль, он станет нулевым.

Обязательно нужно ставить значок вектора над нулем! Нельзя говорить, что векторная величина просто равна скалярной:

Рассмотрим некоторые свойства нулевого вектора.

Если он нулевой, то его длина равна нулю! Логично, не правда ли?

А это значит, что его начало совпадает с концом, это просто какая-то точка.

Нулевой вектор – вектор, начало которого совпадает с концом.

Нулевой вектор принято считать сонаправленным любому вектору.

Его мы можем получить не только путем умножения вектора на ноль, но и путем сложения противонаправленных векторов:

А если к любому вектору прибавит нулевой, ничего не изменится:

Если вектор умножают на отрицательное число, он изменит свое направление на противоположное. Такой вектор называется обратным данному.

Вектор векторные величины в физике

Но такие векторы должны быть коллинеарны. Звучит как скороговорка, но ничего страшного. Главное – понять суть.

Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Вектор векторные величины в физике

Две прямые параллельны: (qparallel p)

Векторы лежат на одной прямой: они коллинеарны. По направлению видно, что они противонаправлены, это обозначается так:

Векторы лежат на параллельных прямых, они коллинеарны. При этом они сонаправлены:

Эти двое тоже коллинеарны! Они ведь лежат на параллельных прямых. При этом они противонаправлены:

(vecuparrow downarrow vec)

Коллинеарные векторы, имеющие одинаковую длину и противоположные направления, называются обратными друг другу.

Параллельный перенос векторов

Одно из важных свойств вектора, которое очень часто помогает в операциях над ним, – параллельный перенос.

Если передвинуть вектор, не меняя его направления и длины, он будет идентичен начальному. Это свойство – параллельный перенос.

Вектор векторные величины в физике

Сложение векторов по правилу треугольника

Сложение векторов – одна из самых легких и приятных вещей. Предположим, у нас есть два вектора:

Вектор векторные величины в физике

Наша цель – найти такой вектор, который будет являться суммой двух данных:

Для начала нужно сделать так, чтобы конец одного вектора был началом другого. Для этого воспользуемся параллельным переносом:

Вектор векторные величины в физике

Теперь достроим до треугольника.

Но как узнать направление нужного нам вектора?

Все просто: вектор суммы идет от начала первого слагаемого к концу второго, мы словно «идём» по векторам:

Вектор векторные величины в физике

Это называется правилом треугольника.

Больше двух слагаемых векторов. Сложение по правилу многоугольника

Но что делать, нам нужно сложить не два, а три, пять векторов или даже больше?

Мы руководствуемся той же логикой: соединяем векторы и «идём» по ним:

Вектор векторные величины в физике

Это называется правилом многоугольника.

Вычитание векторов через сложение

Вычитание векторов не сложнее. Это даже можно сделать через сумму! Для этого нам понадобится понятие обратного вектора. Запишем разность так:

Тогда нам лишь остается найти сумму с обратным вектором:

Вектор векторные величины в физике

А сделать это очень легко по правилу треугольника:

Вектор векторные величины в физике

Всегда помни, что вычитание можно представлять сложением, а деление — умножением на дробь.

Вычитание векторов через треугольник

Вычитать векторы можно через треугольник. Основная задача будет состоять в том, чтобы определить направление вектора разности.

Итак, векторы должны выходить из одной точки. Далее мы достраиваем рисунок до треугольника и определяем положение. Рассмотрим два случая:

Вектор векторные величины в физике

Вектор векторные величины в физике

Направление вектора разности зависит от того, из какого вектора мы вычитаем. У них совпадают концы.

Универсальное правило параллелограмма

Есть еще один способ сложения и вычитания векторов.

Способ параллелограмма наиболее востребован в физике и сейчас ты поймешь, почему. Основа в том, чтобы векторы выходили из одной точки, имели одинаковое начало.

Вектор векторные величины в физике

Ничего не напоминает?

Именно! Когда мы делаем чертеж к задачам по физике, все силы, приложенные к телу, мы рисуем из одной точки.

В чем же заключается правило параллелограмма? С помощью параллельного переноса достроим до параллелограмма:

Вектор векторные величины в физике

Тогда вектор суммы будет диагональю этой фигуры. Это легко проверяется правилом треугольника. Начало этого вектора совпадает с началом двух слагаемых векторов:

Вектор векторные величины в физике

Другая диагональ будет являться разностью этих векторов. Направление определяем так же, как делали раньше.

Вектор векторные величины в физике

Скалярное произведение векторов

Еще одной важной операцией является произведение векторов. Рассмотрим скалярное произведение. Его результатом является скаляр.

Уравнение очень простое: произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Вектор векторные величины в физике

Векторное произведение векторов

Векторное произведение векторов пригодится нам в электродинамике.

Его формула лишь немного отличается от предыдущей:

В отличие от скалярного произведения, результатом его является вектор и его даже можно изобразить!

После параллельного переноса векторов и нахождения угла между ними достроим их до параллелограмма и найдем его площадь. Площадь параллелограмма равна длине вектора произведения:

Вектор векторные величины в физике

Этот вектор одновременно перпендикулярен двум другим. Его направление зависит от условного порядка векторов, который либо определен какими-то фактами (когда мы будем изучать силу Лоренца), либо является свободным.

Вектор векторные величины в физике

Об этом мы поговорим подробнее, когда будем изучать электродинамику.

Итак, мы разобрали операции с векторами, рассмотрев даже самые сложные из них. Это было не так тяжело, верно? Так происходит не только с векторами, но и со многими другими темами. Идя от легкого к сложному, мы даже не заметили трудностей.

Ведь всегда стоит помнить о том, что даже самое длинное путешествие начинается с первого шага.

Проекции векторов

Что такое проекция вектора и с чем ее едят?

Мы уже выяснили, что над векторами можно проводить множество операций. Здорово, когда можешь начертить векторы, достроить их до треугольника и измерить результат линейкой.

Но зачастую физика не дает нам легких цифр. Наша задача – не отчаиваться и быть умнее, упрощая себе задачи.

Для того, чтобы работать с векторами как с числами и не переживать об их положении и о точности рисунков, были придуманы проекции.

Проекция вектора – словно тень, которую он отбрасывает на ось координат. И эта тень может о многом рассказать.

Ось координат — прямая с указанными на ней направлением, началом отсчёта и выбранной единицей масштаба.

Ось можно выбрать произвольно. В зависимости от ее выбора можно либо значительно упростить решение задачи, либо сделать его очень сложным.

Именно поэтому необходимо научиться работать с проекциями и осями.

Построение проекции. Определение знака

Возьмем вектор и начертим рядом с ним произвольную ось. Назвать ее тоже можно как угодно, но мы назовем ее осью Х.

Вектор векторные величины в физике

Теперь опустим из начала и конца вектора перпендикуляры на эту ось. Отметим координаты начала (Х0) и конца (Х). Рассмотрим отрезок, заключенный между этими точками.

Казалось бы, мы нашли проекцию. Однако думать, что проекция является простым отрезком, – большое заблуждение.

Не все так просто: проекция может быть не только положительной. Чтобы найти проекцию, нужно из координаты конца вычесть координату начала:

Вектор векторные величины в физике

Проекция вектора на ось — разность между координатами проекций точек конца и начала вектора на ось.

В случае выше определить знак довольно легко. Сразу видим, что координата конца численно больше координаты начала и делаем вывод о том, что проекция положительна:

Порой работать с буквами трудно. Поэтому предлагаю взять конкретный пример:

Вектор векторные величины в физике

Рассмотрим другой случай. В этот раз координата начала больше координаты конца, следовательно, проекция отрицательна:

Вектор векторные величины в физике

Рассмотрим еще один интересный случай.

Давай разместим ось так, чтобы вектор был ей перпендикулярен. Проекции точек начала и конца совпадут и проекция вектора будет равна нулю!

Вектор векторные величины в физике

Анализ углов

Рассматривая эти ситуации, можно заметить, что знак, который принимает проекция вектора напрямую зависит от угла между вектором и осью, то есть от его направления!

Из начала вектора проведем луч, параллельный оси и направленный в ту же сторону, что и ось. Получим угол между вектором и осью.

Если угол острый, проекция положительна:

Вектор векторные величины в физике

Если угол тупой, проекция отрицательна:

Вектор векторные величины в физике

Обрати особое внимание на то, какой именно угол является углом между вектором и осью!

Частные случаи проекции

Настоящий подарок судьбы – тот момент, когда вектор параллелен оси. Это сохраняет драгоценное время при решении множества задач. Рассмотрим эти случаи.

Если вектор параллелен оси, угол между ними либо равен нулю, либо является развернутым (180 О ). Это зависит от направления.

При этом длина проекции совпадает с длиной вектора! Смотри!

Как и прежде, если вектор направлен туда же, куда и ось, проекция положительна:

Вектор векторные величины в физике

Если вектор направлен в другую сторону, проекция отрицательна:

Вектор векторные величины в физике

Если вектор направлен туда же, куда и ось, его проекция положительна. Если вектор направлен в другую сторону, его проекция отрицательна.

Эти утверждения применимы не только к векторам, которые параллельны оси. Это особенно удобно использовать в тех случаях, когда ось направлена под углом.

Что? Почему раньше не сказал? А… Ну…

Хватит вопросов! Вот тебе пример:

Вектор векторные величины в физике

(vec) направлен противоположно оси. Его проекция отрицательна.

Еще один частный случай – работа с обратными векторами.

Давай выясним, как связаны проекции данного вектора и вектора, который является ему обратным. Начертим их и обозначим координаты начал и концов:

Вектор векторные величины в физике

Проведем дополнительные линии и рассмотрим два получившихся треугольника. Они прямоугольны, так как проекция строится с помощью перпендикуляра к оси.

Наши векторы отличаются лишь направлением. При этом, если мы просто посмотрим на них как на прямые, мы можем сказать, что они параллельны. Их длины тоже одинаковы.

Прямоугольные треугольники равны по углу и гипотенузе. Это значит, что численно равны и их катеты, в том числе те, которые равны проекциям:

Вектор векторные величины в физике

Мы помним, что обратные векторы всегда коллинеарны. Это значит, что прямые, на которых они расположены, находятся под одним углом к оси:

Остается лишь определиться со знаками. Данный вектор направлен по оси Х, а обратный ему – против. Значит, первый положителен, а второй отрицателен. Но модули их равны, так как равны их длины.

Проекции обратных векторов равны по модулю и противоположны по знаку.

Давайте еще раз уточним.

Вектор сам по себе не может быть отрицательным (обратный вектор есть вектор, умноженный на минус единицу).

Длина вектора так же не может быть отрицательной. Длина есть модуль вектора, а модуль всегда положителен.

Проекция вектора бывает отрицательной. Это зависит от направления вектора.

Способы нахождения проекций и векторов с помощью тригонометрии

Зная угол между вектором и осью, можно не прибегать к координатам. Углы, прямоугольные треугольники… Всегда стоит помнить, что, если ты видишь прямоугольный трегольник, тригонометрия протянет тебе руку помощи.

Именно тригонометрия чаще всего применяется в задачах, где требуется работать с проекциями. Особенно она помогает в задачах на второй закон Ньютона.

Рассмотрим вектор и его проекции на оси:

Вектор векторные величины в физике

Можем заметить, что проекции вектора соответствуют катетам прямоугольного треугольника, который легко можно достроить:

Вектор векторные величины в физике

Тогда обозначим прямой угол и угол между вектором и осью:

Вектор векторные величины в физике

Зная, что проекции соответствуют катетам, мы можем записать, чему равны синус и косинус угла. Они равны отношению проекций к гипотенузе. За гипотенузу считаем длину данного вектора.

Из этих уравнений легко выражаются проекции.

А еще следует помнить, что из проекций мы можем найти длину данного вектора с помощью теоремы Пифагора:

Зная, как работать с проекциями векторов и часто практикуясь, можно довести свои навыки решения большинства задач механики до совершенства.

Действия над проекциями векторов. Решение задач

Умение применять свои знания на практике невероятно важны. Это касается не только физики.

Мы знаем, что проекции были придуманы для того, чтобы работать не с векторами, а с числами.

Сложение проекций. Доказательство главного свойства

Предположим, у нас есть два вектора и нам нужно найти их сумму. Посчитать по клеткам нам вряд ли удастся:

Вектор векторные величины в физике

Спроецируем оба вектора на ось Х. Заметим, что конец одного вектора есть начало второго, то есть их координаты совпадают:

Вектор векторные величины в физике

Давай посчитаем проекции векторов и проекцию вектора их суммы:

Вектор векторные величины в физике

Мы можем заметить, что сумма проекций двух данных векторов оказалась равна проекции вектора их суммы!

Намного важнее уметь доказывать гипотезы в общем виде.

Тогда никто не сможет упрекнуть тебя в том, что твои утверждения – просто результат совпадения!

Согласно определению проекции, запишем уравнения проекций для двух данных векторов и вектора их суммы:

Вектор векторные величины в физике

Затем запишем, чему равна сумма этих векторов.

Вектор векторные величины в физике

Вектор векторные величины в физике

Вектор векторные величины в физике

Мы доказали нашу гипотезу.

Но что насчет разности?

Все очень просто! Помнишь, как мы считали разность через сумму? Здесь это делается аналогично!

Проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов.

Проекция разности векторов равна разности проекций векторов.

Или можно записать так:

Простейшие задачи на нахождение проекций

Простейшие задачи на нахождение проекций чаще представлены в виде различных графиков или рисунков.

Давай научимся с ними работать.

Нам даны оси и векторы. Задача: найти проекции каждого из них на обе оси.

Вектор векторные величины в физике

Будем делать все по порядку. Для каждого вектора предлагаю сначала определить знак проекций, а затем посчитать их.

В первом случае вектор направлен против оси Х.

Значит, его проекция на эту ось будет отрицательна. Мы убедимся в этом с помощью вычислений.

Сразу бросается в глаза то, что вектор расположен перпендикулярно оси Y. Его проекция на эту ось будет равна нулю, ведь расстояние между проекциями точек начала и конца равно нулю!

Вектор векторные величины в физике

Рассмотрим второй вектор.

Он «сонаправлен» оси Y и «противонаправлен» оси Х. Значит, проекция на ось будет положительна, а на ось Х – отрицательна.

Убедимся в этом.

На осях для удобства отметим проекции точек начала и конца вектора, проведя перпендикуляры. Затем проведем вычисления:

Вектор векторные величины в физике

Рассмотрим (vec). Заметим, что он является обратным для (vec): их длины равны, а направления противоположны.

Мы помним, что в таком случае их проекции отличаются лишь знаками. И это действительно так:

Вектор векторные величины в физике

Поступаем с (vec) так же, как поступали с первым вектором.

Он перпендикулярен оси Х, а значит его проекция (что есть разность между проекциями точки конца и начала!) на эту ось равна нулю.

Проведя перпендикуляры, считаем проекцию на ось Y:

Вектор векторные величины в физике

С (vec) работать приятно: он расположен по направлению обеих осей. Обе его проекции будут положительны, остается лишь посчитать их:

Вектор векторные величины в физике

Задачи на нахождение вектора и его угла с осью

С помощью проекций можно найти длину вектора и его направление, а также угол, под которым он находится относительно оси.

Давай попробуем это сделать.

Даны проекции вектора на две оси. Для начала нарисуем оси:

Вектор векторные величины в физике

Расположить вектор можно как угодно, поэтому произвольно отметим на осях его проекции. Мы помним, что проекции и вектор образуют прямоугольный треугольник. Давай попробуем его составить.

С проекцией на ось Х все понятно, просто поднимаем ее. Но куда поставить проекцию оси Y?

Вектор векторные величины в физике

Для этого нам нужно определить направление вектора. Проекция на ось Х отрицательна, значит вектор направлен в другую сторону от оси.

Проекция на ось Y положительна. Вектор смотрит в ту же сторону, что и ось.

Исходя из этого, мы можем нарисовать вектор и получить прямоугольный треугольник:

Вектор векторные величины в физике

Теперь нужно найти длину этого вектора. Используем старую добрую теорему Пифагора:

Вектор векторные величины в физике

Обозначим угол (alpha ), который необходимо найти, мы учились это делать в начале изучения проекций. Он расположен вне треугольника. Мы ведь не ищем легких путей, верно?

Рассмотрим смежный ему угол (beta ). Его найти гораздо проще, а в сумме они дадут 180 градусов.

Чтобы сделать это, абстрагируемся от векторов, проекций и просто поработаем с треугольником, стороны которого равны 3, 4 и 5. Найдем синус угла (beta ) и по таблице Брадиса (либо с помощью инженерного калькулятора) определим его значение.

Вычитанием угла (beta ) из 180 градусов найдем угол (alpha ):

Вектор векторные величины в физике

Вектор векторные величины в физике

Главный метод работы с осями и проекциями в решении физических задач

В большинстве задач по физике, когда в условиях нам дают значения векторных величин, например, скорости, нам дают длину вектора.

Поэтому важно научиться искать проекции вектора и связывать их с ней.

Рассмотрим следующий рисунок (вектор F2 перпендикулярен вектору F3):

Вектор векторные величины в физике

Чаще всего с подобным расположением векторов мы встречаемся в задачах, где необходимо обозначить все силы, действующие на тело.

Одним из важных этапов решение «векторной части» этих задач является правильный выбор расположения осей. Он заключается в том, чтобы расположить оси так, чтобы как можно большее число векторов оказались им параллельны.

Как правило, оси располагаются под прямым углом друг к другу, чтобы не получить лишней работы с углами.

Сделаем это для данного рисунка:

Вектор векторные величины в физике

Мы видим, что остальные векторы расположены к осям под каким-то углом.

Пунктиром проведем горизонтальную линию и отметим этот угол, а затем отметим другие равные ему углы:

Вектор векторные величины в физике

Пришло время искать проекции. У нас две оси, поэтому сделаем для удобства табличку:

Вектор векторные величины в физике

Мы располагали оси так, чтобы некоторые векторы были расположены параллельно осям, значит их проекции будут равняться их длинам.

Оси перпендикулярны друг другу, поэтому некоторые проекции будут равняться нулю. Запишем это:

Вектор векторные величины в физике

Переходим к векторам, которые расположены под углом.

Выглядит страшно, но это не так!

Дальше идет чистая геометрия. Чтобы не запутаться, рассмотрим лишь часть рисунка. А лучше и вовсе перерисовать его часть, могут открыться много новых вещей.

Вектор векторные величины в физике

Из конца вектора F1 проведем перпендикуляр к оси Y. Мы получим прямоугольный треугольник, где нам известен угол (альфа) и гипотенуза (вектор).

Обозначим, что является проекцией. Это катет:

Вектор векторные величины в физике

Здесь на помощь придет тригонометрия. Этот катет прилежащий к известному углу. Синус угла есть проекция катета, деленная на гипотенузу. Отсюда можно выразить катет (проекцию) и записать ее в таблицу.

Вспомни, когда мы первый раз встретились с тригонометрией, изучая векторы. Мы тоже рассматривали прямоугольный треугольник.

Найдем проекцию на ось Х. Это, кажется, сложнее, ведь мы не знаем угол…

Знаем! Ведь проекция вектора на ось Х – то же самое, что противолежащий катет уже рассмотренного треугольника, смотри:

Вектор векторные величины в физике

Значит, проекцию на ось Х можно найти через косинус.

Не забываем смотреть на направления векторов!

Попробуй найти проекции четвертого вектора самостоятельно и сверься с таблицей.

Вектор векторные величины в физике

Значит, проекцию на ось Х можно найти через косинус.

Не забываем смотреть на направления векторов!

Попробуй найти проекции четвертого вектора самостоятельно и сверься с таблицей.

Заключение

Итак, теперь мы знаем о векторах очень много! Мы выяснили, зачем они нужны и как с ними работать, а еще разобрали их роль в решении различных задач. Теперь векторы — наша прочная опора.

Именно из таких знаний складывается порой нечто более сложное и комплексное, что-то, что безусловно нам однажды поможет.

Поделиться или сохранить к себе: