Если точка о центр вписанной в четырехугольник авсд окружности то

Определение 1. Окружность называют вписанным в четырехугольник, если окружность касается всех сторон четырехугольника.

На рисунке 1 окружность вписан в четырехугольник ABCD. В этом случае говорят также, что четырехугольник описан около окружности.

Теорема 1. Если окружность вписан в четырехугольник, то сумма противолежащих сторон четырехугольника равны.

Доказательство. Пусть окружность ABCD вписан в четырехугольник (Рис.2). Докажем, что ( small AB+CD=AD+BC ).

Точки M, N, Q, P − точки касания окружности со сторонами четырехугольника. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности через одну точку, равны (статья Касательная к окружности теорема 2), то

Из равенств (1) и (2), следует:

( small AB+CD=AD+BC. )

Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть задан выпуклый четырехугольник ABCD и пусть ( small AB+CD=AD+BC. ) (Рис.3). Докажем, что в него можно вписать окружность.

Проведем биссектрисы углов A и B четырехугольника ABCD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Тогда точка O равноудалена от сторон AB, BC, AD. Следовательно существует окружность с центром в точке O, которая касается этих трех сторон.

Пусть эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая.

Случай 1. Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.

Проведем касательную C₁D₁ к окружности, параллельно стороне CD четырехугольника.

Тогда окружность с центром O вписан в четырехугольник ABC₁D₁. Следовательно, по теореме 1, имеем:

Но по условию данной теоремы:

Вычтем из равенства (4) равенство (3):

Получили, что в четырехугольнике CC₁D₁D длина одной стороны равна сумме длин трех остальных сторон, что невозможно (см. задачу 1 статьи Четырехугольник).

Таким образом сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.

Случай 2. Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью (Рис.4).

Аналогичными рассуждениями можно показать, что сторона CD не может иметь две общие точки с построенной окружностью.

Следовательно, предполагая, что построенная окружность не касается стороны CD, мы пришли к противоречию. Таким образом, если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Если в четырехугольник вписан окружность, то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника. Эта точка является центром вписанной в четырехугольник окружности. Для нахождения этой точки достаточно найти точку пересечениия биссектрис двух соседних углов данного четырехугольника.

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

Вписанная в четырехугольник окружность

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.

Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.

В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если

И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:

то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

O — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.

AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,

то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.

3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.

AM=AN,

5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой

где p — полупериметр четырехугольника.

Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.

Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и

Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен

Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Докажите, что если в четырехугольник АВСД вписана окружность с центром в точке О, то угол АОВ + угол СОД = 180 градусов?

Геометрия | 5 — 9 классы

Докажите, что если в четырехугольник АВСД вписана окружность с центром в точке О, то угол АОВ + угол СОД = 180 градусов.

Рассмотрим треугольник АОВ.

Здесь &lt ; OAB = 1 / 2&lt ; A.

Для этого утверждения мы использовали свойство касательных к окружности : отрезки касательных АВ и АD к окружности, проведенные из одной точки А, равны и составляют равные углы с прямой АО, проходящей через эту точку А и центр окружности О (&lt ; OAB = &lt ; OAD = 1 / 2&lt ; A).

Таким же образом утверждаем, что&lt ; ОВА = 1 / 2&lt ; В (касательные ВС и ВА проведены к окружности из точки В).

Зная сумму углов треугольника, запишем :

&lt ; AOB = 180 — (&lt ; OAB + &lt ; OBA) = 180 — (1 / 2&lt ; A + 1 / 2&lt ; B) = 180 — 1 / 2(&lt ; A + &lt ; B).

Рассмотрим треугольник COD.

Здесь &lt ; OCD = 1 / 2&lt ; C (касательные CB и CD к окружности проведены из точки С) и &lt ; ODC = 1 / 2&lt ; D (касательные DC и DA проведены из точки D).

&lt ; COD = 180 — (&lt ; OCD + &lt ; ODC) = 180 — (&lt ; 1 / 2&lt ; C + 1 / 2&lt ; D) = 180 — 1 / 2(&lt ; C + &lt ; D).

Зная сумму углов четырехугольника ABCD, запишем :

&lt ; A + &lt ; B + &lt ; C + &lt ; D = 360,

&lt ; A + &lt ; B = 360 — &lt ; C — &lt ; D.

В выражение &lt ; AOB = 180 — 1 / 2(&lt ; A + &lt ; B) подставим значение для суммы &lt ; A + &lt ; B :

&lt ; AOB = 180 — 1 / 2(&lt ; A + &lt ; B) = 180 — 1 / 2(360 — &lt ; C — &lt ; D) = 1 / 2(&lt ; C + &lt ; D).

Запишем сумму углов АОВ и COD :

&lt ; AOB + &lt ; COD = 1 / 2(&lt ; C + &lt ; D) + 180 — 1 / 2(&lt ; C + &lt ; D) = 180°, что и требовалось доказать.

Видео:№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярнаяСкачать

Четырехугольник АВСД вписан в окружность?

Четырехугольник АВСД вписан в окружность.

Угол АВС равен 48 градусов, угол САД равен 38 градусов.

Найдите угол АВД.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Четырехугольник АВСД вписан в окружность?

Четырехугольник АВСД вписан в окружность.

Угол Авс равен 130 градусов, угол САД равен79 град.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

В угол С велечиной 79 градусов вписана окружность с центром О которая касается сторон угла в точках А и В?

В угол С велечиной 79 градусов вписана окружность с центром О которая касается сторон угла в точках А и В.

Найдиде угол АОВ.

Видео:В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 11 и CD = 15. Найдите четвертую сторону.Скачать

Чему равен угол угол АДС четырехугольника АВСД, вписанного в окружность, если угол АСД = 32 градуса, СВД = 56 градусов, САВ = 48 градусов?

Чему равен угол угол АДС четырехугольника АВСД, вписанного в окружность, если угол АСД = 32 градуса, СВД = 56 градусов, САВ = 48 градусов.

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

В угол с величиной 99 градусов вписана окружность с центром в точке О, которая касается сторон угла в точках А и В?

В угол с величиной 99 градусов вписана окружность с центром в точке О, которая касается сторон угла в точках А и В.

Найдите угол АОВ.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

В угол C величиной 72 градуса вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, Где О — центр окружности?

В угол C величиной 72 градуса вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, Где О — центр окружности.

Найдите угол АОВ.

Видео:11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

В угол C величиной 72 градуса вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, Где О — центр окружности?

В угол C величиной 72 градуса вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, Где О — центр окружности.

Найдите угол АОВ.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

В угол с величиной 75° вписана окружность которая касается сторон угла в точках А и В где о — центр окружность?

В угол с величиной 75° вписана окружность которая касается сторон угла в точках А и В где о — центр окружность.

Найти угол АОВ ответ дать в градусах.

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке О Найдите ACB если угол АОВ равен 173 градуса?

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке О Найдите ACB если угол АОВ равен 173 градуса.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Точка О — центр вписанной в треугольник АВС окружности найти угол С , если угол АОВ равен 128 градусам?

Точка О — центр вписанной в треугольник АВС окружности найти угол С , если угол АОВ равен 128 градусам.

Вы перешли к вопросу Докажите, что если в четырехугольник АВСД вписана окружность с центром в точке О, то угол АОВ + угол СОД = 180 градусов?. Он относится к категории Геометрия, для 5 — 9 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Геометрия. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

1. Площадь ромба — это половина произведения его диагоналей. То есть S = 10 * 16 / 2 = 80 см квадратных. 2. По теореме Пифагора c = Так как сторона, лежащая против угла 30 градусов равна половине гипотенузы (пускай это будет сторона а), то формула..

Находим углы треугольника АВС = X + x + 90 = 180 2x = 180 — 90 X = 90 : 2 X = 45 Это значит что трейгольник АВС равнобедреный Треугольник МЛКтоже равнобедреный = >треугольники равны по стороне и двум прележащим к ней углам = >что соответствующие элем..

Ответ : 14Пошаговое объяснение : CD = BD — BCCD = 27 + x — (3x + 47) = 27 + x — 3x — 47 = — 2x — 20CE = CD + DE = — 2x — 20 + 10 = — 2x — 10С другой стороны, СЕ = х + 26, x + 26 = — 2x — 103x = — 36x = — 12CE = x + 26 = — 12 + 26 = 14.

Решение в приложении.

ЕН⊥СН и EF⊥CF. Углы между соответственно перпендикулярными прямыми равны, значит∠FCH = ∠FEH. ВЕ = CF, значит ЕBCF — прямоугольник. BF — диагональ. Точка О — центр описанной окружности около прямоугольника. ∠FCH = ∠FEH значит FH — хорда окружност..

По теореме Пифагора 100 — 73 = 27. Сторона треугольника равна 2 корень из 27, или 6 корень из 3. Треугольник равносторонний. Расстояние от данной точки до плоскости треугольника — расстояние от точки до точки пересечения биссектрис (высот, медиан)..

16 — (5×2) = 6 6÷2 = 3 Друга сторона паралелограма 3см.

Sтрап. = ½(17 + 9)×4 = 13×4 = 52см².

12) С 16) А 17) D 18) С.

180 — 90 — 70 = 20 180 — (20 * 2) = 140 — один угол 180 — 140 = 40 — другой угол.

🎦 Видео

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать

Задание 26 Вписанный четырёхугольникСкачать

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Тема 9. Вписанные и описанные четырехугольникиСкачать

Геометрия 11 класс. Вписанный четырехугольникСкачать