Хорды пересекаются в точке вне окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Хорды пересекаются в точке вне окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Хорды пересекаются в точке вне окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Хорды пересекаются в точке вне окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Хорды пересекаются в точке вне окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Хорды пересекаются в точке вне окружностиТеорема о бабочке

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьХорды пересекаются в точке вне окружности
КругХорды пересекаются в точке вне окружности
РадиусХорды пересекаются в точке вне окружности
ХордаХорды пересекаются в точке вне окружности
ДиаметрХорды пересекаются в точке вне окружности
КасательнаяХорды пересекаются в точке вне окружности
СекущаяХорды пересекаются в точке вне окружности
Окружность
Хорды пересекаются в точке вне окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругХорды пересекаются в точке вне окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусХорды пересекаются в точке вне окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаХорды пересекаются в точке вне окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрХорды пересекаются в точке вне окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяХорды пересекаются в точке вне окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяХорды пересекаются в точке вне окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеХорды пересекаются в точке вне окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыХорды пересекаются в точке вне окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныХорды пересекаются в точке вне окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиХорды пересекаются в точке вне окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыХорды пересекаются в точке вне окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Хорды пересекаются в точке вне окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыХорды пересекаются в точке вне окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыХорды пересекаются в точке вне окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиХорды пересекаются в точке вне окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныХорды пересекаются в точке вне окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиХорды пересекаются в точке вне окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыХорды пересекаются в точке вне окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыХорды пересекаются в точке вне окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиХорды пересекаются в точке вне окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиХорды пересекаются в точке вне окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаХорды пересекаются в точке вне окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Пересекающиеся хорды
Хорды пересекаются в точке вне окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Хорды пересекаются в точке вне окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Хорды пересекаются в точке вне окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Хорды пересекаются в точке вне окружности
Пересекающиеся хорды
Хорды пересекаются в точке вне окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Видео:Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP=6, CP=8, DP=12. Найдите AP.Скачать

Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP=6, CP=8, DP=12. Найдите AP.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Тогда справедливо равенство

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Хорды пересекаются в точке вне окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Хорды пересекаются в точке вне окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Хорды пересекаются в точке вне окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:№666. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, ВЕСкачать

№666. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, ВЕ

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Хорды пересекаются в точке вне окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Точка внутри и вне окружности

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Хорды пересекаются в точке вне окружности

На этом занятии мы изучим тему «Точка внутри и вне окружности». На этом итоговом уроке мы повторим понятие окружности, вспомним ее основные свойства. Рассмотрим примеры расположения точки внутри и вне окружности. Вместе с преподавателем решим несколько задач на эту тему.

Видео:№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый

Хорды пересекаются

Если хорды пересекаются, как этот факт можно использовать при решении задач?

Теорема

(Свойство отрезков пересекающихся хорд (пропорциональность хорд окружности))

Произведения длин отрезков пересекающихся хорд, на которые эти хорды делятся точкой пересечения, есть число постоянное.

То есть, если хорды AB и CD пересекаются в точке F, то

AF ∙ FB=CF ∙ FD

Хорды пересекаются в точке вне окружностиДано : окружность (O; R), AB и CD — хорды,

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Доказать : AF ∙ FB=CF ∙ FD

1) Проведём отрезки BC и AD.

2) Рассмотрим треугольники AFD и CFB.

Хорды пересекаются в точке вне окружности∠AFD=∠CFB (как вертикальные);

Следовательно, треугольники AFD и CFB подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Хорды пересекаются в точке вне окружности

то есть отрезки пересекающихся хорд пропорциональны.

По основному свойству пропорции:

Хорды пересекаются в точке вне окружности

Что и требовалось доказать .

При решении задач с пересекающимися хордами можно использовать не только вывод теоремы, но также полученный в ходе её доказательства факт, что пересекающиеся хорды образуют пары подобных треугольников.

Через точку M, лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой M на отрезки, длины которых равны 6 см и 16 см. Найти расстояние от точки M до центра окружности, если радиус окружности равен 14 см.

Хорды пересекаются в точке вне окружностиДано : окружность (O; R), R=14 см, AB — хорда, M∈AB, AM=16 см, MB=6 см

Проведём через точку M диаметр CD.

Хорды пересекаются в точке вне окружностиПо свойству отрезков пересекающихся хорд:

Пусть OM=x см (x>0). Так как радиус равен 14 см, то MD= (14-x) см, CM=(14+x) см.

Составим и решим уравнение:

Следовательно, расстояние от точки M до центра окружности равно 10 см.

В окружности проведены хорды AB и CD , пересекающиеся в точке F. Найти длину отрезка AC, если AF=6, DF=8, BD=20.

Хорды пересекаются в точке вне окружностиДано : окружность (O; R), AB и CD — хорды,

Хорды пересекаются в точке вне окружности

В треугольниках AFC и BFD:

∠AFC=∠BFD (как вертикальные);

∠ACF=∠DBF (как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду AD).

Следовательно, треугольники AFC и BFD подобны (по двум углам). Поэтому

📺 Видео

№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.Скачать

№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.

№672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекаетСкачать

№672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые.Скачать

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые.

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Геометрия Докажите, что если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, то AM٠MB = DM٠MCСкачать

Геометрия Докажите, что если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, то AM٠MB = DM٠MC

Геометрия Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M (см. рис.). Докажите, что угол AMC = 1/2Скачать

Геометрия Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M (см. рис.). Докажите, что угол AMC = 1/2

ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

ОГЭ по математике. Задание 16

ищем хорду в окружности. огэ 1 часть геометрияСкачать

ищем хорду в окружности. огэ 1 часть геометрия

№667. Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает ее в точке С. Найдите BB1Скачать

№667. Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает ее в точке С. Найдите BB1

Касательные к окружности пересекаются в точке. Теорема и решение задач. Геометрия 7-8 классСкачать

Касательные к окружности пересекаются в точке. Теорема и решение задач. Геометрия 7-8 класс

Геометрия Хорды AB и CD окружности не пересекаются, а прямые AB и CD пересекаются в точке M см. рисСкачать

Геометрия Хорды AB и CD окружности не пересекаются, а прямые AB и CD пересекаются в точке M см. рис

Геометрия Хорды MK и NP окружности пересекаются в точке F, MF = 9 см, KF = 12 см, а отрезок NF в 3Скачать

Геометрия Хорды MK и NP окружности пересекаются в точке F, MF = 9 см, KF = 12 см, а отрезок NF в 3
Поделиться или сохранить к себе: