Вектор в цилиндрической системе координат (7 видео)

Цилиндрическая система координат (цилиндрические координаты)

Для введения цилиндрической системы координат в пространстве выбирается плоскость ( основная плоскость ) и на ней задается полярная система координат с полюсом и полярной осью . Через точку перпендикулярно основной плоскости проведем ось ( ось аппликат ) и выберем ее направление так, чтобы возрастание полярного угла, наблюдаемое со стороны положительного направления оси , происходило против часовой стрелки (рис.2.34,а).

В цилиндрической системе координат положение точки , не принадлежащей оси аппликат, характеризуется полярными координатами точки — ортогональной проекции точки на основную плоскость, и аппликатой — координатой точки — ортогональной проекции точки на ось аппликат. Таким образом, цилиндрические координаты точки — это упорядоченная тройка чисел — полярный радиус , полярный угол и аппликата . У точек, принадлежащих оси аппликат, не определен полярный угол, они задаются указанием нулевого полярного радиуса и аппликатой.

Содержание

Переход от цилиндрических координат к декартовым (прямоугольным)
Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах
В цилиндрических координатах или в сферических координатах
Дивергенция в ортогональных координатах
Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах
Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах
📹 Видео

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Переход от цилиндрических координат к декартовым (прямоугольным)

С цилиндрической системой координат можно связать прямоугольную систему координат (рис.2.34,б), у которой начало и базисные векторы совпадают с началом цилиндрической системы координат и единичными векторами на полярной оси и оси аппликат соответственно, а базисный вектор выбирается так, чтобы тройка была правой (при этом базис оказывается стандартным).

Наоборот, если в пространстве задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим цилиндрическую систему координат ( связанную с данной прямоугольной ).

Поскольку аппликата точки в прямоугольной системе координат и аппликата в цилиндрической системе координат совпадают, то формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты точки и ее цилиндрические координаты , имеют вид, следующий из

Эти формулы перехода позволяют найти прямоугольные координаты по известным цилиндрическим. Обратный переход выполняется по формулам

Главное значение полярного угла находится по формулам (см. рис.2.29).

Пример 2.12. В цилиндрической системе координат :

а) построить координатные поверхности ;

б) найти цилиндрические координаты точки , если известны ее прямоугольные координаты ;

в) найти прямоугольные координаты точки , если известны ее цилиндрические координаты: .

Решение. а) Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении полярного радиуса , является прямой круговой цилиндр, ось которого параллельна оси аппликат (рис.2.35). Этим объясняется название цилиндрической системы координат. Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении полярного угла , является полуплоскость, ограниченная осью аппликат (на рис.2.35 изображены полуплоскости и ). Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении аппликаты , является плоскость, перпендикулярная оси аппликат (на рис.2.35 изображены плоскости и ).

б) Найдем цилиндрические координаты точки . Аппликата , полярный радиус и полярный угол находим по формулам (2.20) (см. пример 2.11):

так как и ортогональная проекция точки на координатную плоскость (основную плоскость) лежит в IV четверти.

в) Найдем прямоугольные координаты точки . По формулам (2.19) вычисляем (см. пример 2.10):

Видео:Полярная система координатСкачать

Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Дифференциальные уравнения векторных линий Рассмотрим поле вектора Уравнения векторных линий в криволинейных координатах q, q2i g3 имеют вид В цилиндрических координатах в сферических координатах 14.2. Градиент в ортогональных координатах Пусть скалярное поле. Тогда Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах Дифференциальные уравнения векторных линий радиент в ортогональных координатах Ротор в ортогональных координатах Дивергенция в ортогональных координатах.

Вычисление потенциала в криволинейных координатах Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах Оператор Лапласа в ортогональных координатах В цилиндрических координатах в сферических координатах 14.3. Ротор в ортогональных координатах Рассмотрим векгорное поле и вычислим rot а. Имеем В цилиндрических координатах в сферических координатах 14.4. Дивергенция в ортогональных координатах Дивергенция div а векторного поля вычисляется по формуле.

В цилиндрических координатах или в сферических координатах

Применяя формулу (7) к единичным векторам получим Вычисление потока в криволинейных координатах Пусть S — часть координатной поверхности , ограниченная координатными линиями Тогда поток вектора через поверхность 5 в направлении вектора ei вычисляется по формуле Аналогично вычисляется поток через часть поверхности д2 = с, а также через часть поверхности д3 = с, где с = const. Пример I.

Найти поток П векторного поля через внешнюю сторону верхней полусферы 5 радиуса R с центром в начале координат. Ч Полусфера S есть часть юординатной поверхности г = const, а именно г = R. На полусфере 5 имеем , причем Учитывая, что в сферических коорои патах по формуле (8) найдем 14.6. Вычисление потенциала в криволинейных координатах Пусть в некоторой области О задано потенциальное векторное поле в области Для нахождения потенциала ) этого векторного поля запишем равенство в следующем виде:

Отсюда следует, что Интегрируя систему дифференциальных уравнений с частными производными (9), найдем искомый потенциал произвольная постоянная. В цилиндрических координатах система (9) принимает вид В сферических координатах система (9) имеет вид Пример 2. Найти потенциал векторного поля, заданного в цилиндрических координа тех Убедимся, что По формуле (5) л о лучим данное поле потенциально.

Искомый потенциал и = и(р, у, г) является решением следующей системы дифференциальных уравнений с частными производными (см. формулу (10)): Интегрированием по р из первого уравнения находим Дифференцируя соотношение (11) no р и используя второе уравнение, получим или откуда . Таким образом.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Дифференцируя это соотношение no z и используя тре тье уравнение, получим Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах Пусть векторное поле определено и непрерывно в области Q изменения ортогональных криволинейных координат 4i, 42, 4з • Так как дифференциал радиус-вектора г любой точки M(qb 42, 43) G П выражается формулой то криволинейный интеграл вектора а(М) по ориентированной гладкой или кусочно-гладкой кривой L СП будет равен В частности, для цилиндрических координат ) будем иметь.

Отсюда по формуле (13) получим Аналогично для сферических координат будем иметь Отсюда по формуле (13) получим Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах Дифференциальные уравнения векторных линий радиент в ортогональных координатах Ротор в ортогональных координатах Дивергенция в ортогональных координатах.

Вычисление потенциала в криволинейных координатах Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах.

Оператор Лапласа в ортогональных координатах Если кривая L замкнута (начальная и конечная точки кривой L совпадают), то циркуляция Ц векторного поля а(М) в криволинейных координатах 4,, q2, 43 вычисляется по формуле (13), а в случае цилиндрических или сферических координат — по формулам (14) или (15) соответственно. Пример 3. Вычислить циркуляцию векторного поля, заданного в цилиндрических координатах по замкнутой кривой L, Координаты данного вектора равны соответственно Контур L представляет собой замкнутую кривую, расположенную в плоскости z = 0 (рис. 43).

Подставляя координаты данного вектора в формулу.(14), получим На кривой L имеем . Искомая циркуляция будет равна 14.8. Оператор Лапласа в ортогональных координатах Если скалярная функция, то Используя формулы (16) и (17), для оператора Лапласа Д получим следующее выражение В цилиндрических координатах получим В сферических координатах будем иметь Пример 4. Найти все решения уравнения Лапласа Аи = 0, зависящие только от расстояния г.

Так как искомое решение и должно зависеть только от расстояния точки М от начала координат г, т., то уравнение Лапласа Ди = 0 в сферических координатах будет иметь вид Отсюда так что где постоянные. Упражнения Найдите производную скалярного поля в точке по направлению кточке Найдите производную скалярного поля и(х, у, z) в точке Л#о(хо, Уо» *о) по направлению нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси О г: 6.

Найдите производную скалярного поля в точке эллипса + = 1 по направлению внешней нормали к эллипсу в этой точке. 7. Найдите производную скалярного поля в точке по направлению окружности 8. Найдигеугол между градиентами функции и = arctg | в точках 9. Найдите производную плоского поля и вточке понаправле-нию, задаваемому вектором, лежащим в плоскости хОу и наклоненным под углом | коси Ох. Найдите векторные линии следующих векторных полей: 13.

Найдите векторную линию поля а , проходящую

через точку 14. Найдите векгорную линию поля а, проходящую через точку М(3,4, -1). 15. Вычислите поток векторного поля через верхнюю сторону круга, вырезаемого конусом х2 4- у2 = г2 из плоскости 16. Вычислите поток векторного поля к через треугольник ABC с вершинами в точках (нормаль образует с осью Oz острый угол). 17. Вычислите поток векторного поля а = xi + zk через боковую поверхность кругового цилиндра , ограниченную плоскостями z 18.

Вычислите поток векторного поля а = yzi — xj — yk через полную поверхность конуса х2 + у2 = z2, ограниченную плоскостью z Методом введения криволинейных координат на поверхности вычислите поток заданного векгора а через заданную поверхность S: 19. — внешняя сторона цилиндрической поверхности х2 + у2 = 9, ограниченной сферой Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах Дифференциальные уравнения векторных линий радиент в ортогональных координатах Ротор в ортогональных координатах.

Дивергенция в ортогональных координатах

Вычисление потенциала в криволинейных координатах Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах Оператор Лапласа в ортогональных координатах 20. — внешняя сторона части сферы , вырезанная конической поверхностью Вычислите поток векгорного поля а через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя). Проверьте результат с помощью формулы Гаусса—Остроградского:

Достраивая подходящим образом заданные незамкнутые поверхности до замкнутых и пользуясь теоремой Гаусса—Остроградского, вычислите потоки векторных полей через указанные поверхности (к замкнутой поверхности берем внешнюю нормаль): Найдите работу силы F при перемещении вдольлинии L от точки М к точке N: Найдите циркуляцию векторного поля а вдоль замкнутого контура L (в направлении, соответствующем возрастанию параметра Вычислите циркуляцию векторного поля а по замкнутому контуру L.

Проверьте результат при помощи формулы Стокса: — линия пересечения плоскости с координатными плоскостями 38. Найдите дивергенцию векторного пол я а = (с, г), где с — постоянный вектор, . 39. При какой функции ip(z) дивергенция векгорного поля а =)k будет равна z? 40. Найдите , где г = 41. Найдите функцию tf>(r), для которой выполняется равенство 42. Какова должна быть функция /(х, z), чтобы ротор векгорного поля совпал с вектором Найдите ротор следующих векторов: Докажите, что следующие векторные поля являются потенциальными, и найдите их потенциалы: Ответы

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:§55 Цилиндрическая система координатСкачать

Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах

Видео:Декартова, полярная, сферическая и цилиндрическая системы координат. Свободный вектор. Лекция №3Скачать

Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах

Цилиндрические оси иногда используются, когда точки перемещаются в пространстве. Они получены путем сложения координат r с полярными координатами на плоскости. Он проходит вдоль неподвижной оси Oz, перпендикулярной плоскости с полярной осью координат (рис. 26). Положение точки М определяется путем установки трех ее цилиндрических координат как функции времени. r = /, (z); f(‘): = A 4.

Вводя понятие времени, мы получаем более сложную науку под названием кинематика, которая связана не с физическими причинами движения, а с геометрической природой движения во взаимосвязи времени. Людмила Фирмаль

Разложение векторов скорости и ускорения на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат Or, Op, Oz, выражается в виде v = vrr ° + vJ, p0 + vI £; (30) a = arr ° + app ° + ajc, (31) Где r °, p ° и k единичные векторы в направлении вдоль оси цилиндрической системы координат. Оси Ор и Ор находятся в одной плоскости с осями Ох и Оу. Выразите радиус-вектор p точки M как сумму двух векторов. p = OM ‘+ M’ M = rr ° + zk. Скорость точки получается путем дифференцирования вектора радиуса p по времени. Первый член этой формулы был рассчитан при выводе формулы для скорости полярной точки (24). прибывший (D / dz) (rr °) = rr ° +/ r = r; 1> p = rf; t>. = z. (33).

Компоненты скорости t> r, vp и v. Параллельно оси цилиндрической системы координат и перпендикулярно друг другу, Ускорение точки получается путем дифференцирования вектора скорости по времени. Первый член в этом уравнении был рассчитан, когда ускорение было получено в полярных координатах. ^ (R0 + rfr0) = (r-rf2) r ° + (rf + 2rf) p0 Второе слагаемое в дифференцировании проходит вектор k по знаку производной.

Доказано, что две пары сил в плоскости, пересекающиеся с силой, действующей на один и тот же объект, могут быть заменены одной эквивалентной парой сил векторного момента, равной сумме векторных моментов пары заданных сил. Людмила Фирмаль

Объедините производные результаты, чтобы получить следующее разложение ускорения на компоненты, параллельные осям цилиндрической системы координат. a = (r-rf2) r0 + (rf + 2rf) p ° 4-2. (34) По сравнению с (31) получена проекционная формула ускорения по цилиндрической координатной оси. ar = r gp2; ar = gf + 2gf; az = z. (35) Компоненты ускорения a, ar и ar перпендикулярны друг другу, поэтому a = y / ai + aj + al = h / (r-rf2) 24(rf + 2rf) 2 + r2.

Если вам потребуется помощь по теоретической механике вы всегда можете написать мне в whatsapp.