Вектор состояния системы тау

Тема:«Векторно-матричные модели систем управления в непрерывном времени»

Понятие пространства состояний

Современная теория автоматического управления оперирует с векторно-матричными моделями динамических систем. При этом рассматриваются в общем случае многомерные системы, т.е. системы произвольного порядка со многими входами и многими выходами, в связи, с чем широко используются векторно-матричные уравнения и аппарат векторной алгебры. Для получения векторно-матричной модели (ВММ) исследуемая динамическая система представляется в виде “черного ящика” с некоторым числом входных и выходных каналов (рис. 1.1, а).

Рис.1.1. Скалярное (а) и векторное (б) представления динамической системы в виде «черного ящика»

Все переменные, характеризующие систему, можно разделить на три группы.

1. Входные переменные или входные воздействия, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе. Они характеризуются вектором входа.

r — число входов

2. Выходные переменные, характеризующие реакцию системы на указанные входные воздействия. Представляются вектором выхода

m — число выходов.

3. Промежуточные переменные, характеризующие внутреннее состояние системы, — переменные состояния, представляются вектором

n — число переменных состояния.

Таким образом, совокупность входов можно рассматривать как один обобщенный вход, на который воздействует вектор входа u, совокупность выходов как вектор y, а совокупность промежуточных координат, характеризующих состояние системы, — в виде вектора состояния x (см. рис. 1.1, б).

Состояние системы — это та минимальная информация о прошлом, которая необходима для полного описания будущего поведения (т.е. выходов) системы, если поведение ее входов известно.

Собственно система, ее входы и выходы — это три взаимосвязанных объекта, которые в каждой конкретной ситуации определяются соответственно математической моделью системы, заданием множеств входных и выходных переменных.

Решение задач анализа и синтеза связано с исследованием состояний системы, множество которых образует пространство состояний,.

Векторно-матричные модели в непрерывном времени

В общем случае динамическая система в непрерывном может быть описана парой матричных уравнений:

где F — n-мерная вектор-функция системы; Q — m-мерная вектор-функция выхода.

Матричное уравнение (1.1) называют уравнением состояния системы. Его решение, удовлетворяющее начальному условию , дает вектор состояния системы

Матричное уравнение (1.2), определяющее выходные переменные в зависимости от x(t) и u(t), называют уравнением выхода.

В частном случае зависимости могут быть линейными комбинациями переменных состояния x_i и входных переменных u_q. При этом динамическая система описывается в векторно-матричной форме:

Переход к стационарным моделям позволяет оперировать с коэффициентными матрицами, т.е. со стационарными уравнениями

А — функциональная матрица размером n x n, называемая матрицей состояния системы (объекта);

В — функциональная матрица размером n x r, называемая матрицей управления (входа);

С — функциональная матрица размером m x n, называемая матрицей выхода по состоянию;

D — функциональная матрица размером m x r, называемая матрицей выхода по управлению.

Очень часто D=0, т.е. выход непосредственно не зависит от входа.

В дальнейшем под векторно-матричной моделью объекта (системы) будем понимать описание ее динамического поведения в классе стационарных непрерывных линейных систем, представленное в виде уравнений (1.6), (1.7).

Таким образом, ВММ имеет единую форму представления, что значительно облегчает алгоритмизацию и компьютерную реализацию проектных процедур и проектных операций структурно-параметрического синтеза и анализа систем управления. Однако с использованием ВММ может быть получено лишь приближенное проектное решение, которое потребует дальнейшего уточнения, так как такие модели отображают динамическое поведение реального объекта лишь в классе стационарных линейных систем.

Построение ВММ реального объекта сопряжено с проблемами линеаризации исходного математического описания и приведения его к структурированному виду — форме Коши.

Если мы знаем физическое описание системы и можем записать уравнения, описывающие поведения ее отдельных частей, то получить уравнения состояния системы обычно сравнительно не трудно. Покажем эту процедуру на нескольких примерах.

Пример 1.1. Получим уравнения состояния для простейшей RLC-цепи, показанной на рис 1.2.

Динамическое поведение этой системы при полностью определяется, если известны начальные значения и входное напряжение U(t) при . Следовательно, можно выбрать в качестве переменных состояния, то есть

Для указанных переменных состояния можно записать дифференциальные уравнения

или в векторно-матричной форме

Таким образом для рассматриваемой системы матрицы А, В, С векторно-матричной модели будут иметь следующий вид:

Пример 1.2. На рис. 1.3. показан электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения, работающий при постоянном магнитном потоке (Ф=const).

Дифференциальные уравнения для такого объекта могут быть записаны относительно следующих переменных состояния: — скорости вращения ротора, тока якоря i(t), углового перемещения ротора . При использовании знакомых зависимостей для электродвижущей силы и вращающего момента двигателя получим уравнение электрической цепи

и уравнения вращающейся части

где J – приведенный момент инерции электродвигателя.

Представляя векторы состояния, входа и выхода как получим следующую векторно-матричную модель электродвигателя постоянного тока

То есть для рассматриваемой системы матрицы А, В, С векторно-матричной модели будут иметь следующий вид:

Пример 1.3. Построим векторно-матричную модель электромеханического объекта — электропривода постоянного тока, приводящего в движение через механический редуктор тяжелую платформу. Функциональная схема такого объекта приведена на рис. 1.4.

Здесь легко выделить три функциональных элемента, соответствующие трем видам преобразования энергии:

преобразователь, осуществляющий управляемое преобразование электрической энергии;

двигатель, выполняющий преобразование электрической энергии в механическую, — электромеханический преобразователь;

механизм, осуществляющий передачу механической энергии от вала двигателя через редуктор к рабочему органу — платформе.

При использовании общеизвестных допущений [5] и обозначений координат и параметров такого объекта его динамическое поведение при МС=0 описывается следующей системой линейных дифференциальных уравнений:

Если компонентами вектора состояния выбрать , где U_п – напряжение преобразователя, i_я — ток электродвигателя, — скорость вращения электродвигателя, М_У — момент упругости механизма, — скорость вращения механизма, то элементы векторно-матричной модели

принимают следующий вид:

После подстановки реальных значений параметров объекта, которые приведены в табл. 1.1, компоненты матриц состояния А и управления В принимают вид (1.13).

На рис. 1.5. приведено окно редактирования векторно-матричной модели (1.13) в среде Компьютерного комплекса функционального проектирования динамических систем.

Контрольные вопросы к лекции № 1.

1. Какие переменные при построении математического описания системы принято называть

a) входными переменными;

b) выходными переменными;

c) переменными состояния?

2. Математическое описание объекта с одним входом и одним выходом представлено структурной схемой, содержащей q элементов, представленных передаточной функцией общего вида

Как в этом случае можно определить размерность пространства состояния для описания этого объекта?

3. Математическое описание объекта с двумя входами и одним выходом y(t) представлено следующим уравнением в операторной форме

Какова в этом случае будет размерность пространства состояния n для описания этого объекта?

4. Выберите из приведенных ниже записей возможные формы представления уравнения состояния для непрерывных систем.

5. Объект управления имеет r – входов, m — выходов, его математическое описание в непрерывном времени содержит n дифференциальных уравнений первого порядка. Какова в этом случае будет размерность матрицы состояния?

6. Сформируйте векторно-матричную модель фильтра, электрическая схема которого представлена на рис. 1.6.

Здесь следует учесть, что

• объект имеет один вход — U₁ один выход — i_H; все параметры электрической схемы R₁, R₂, L, C₁, C₂, R_H известны и являются постоянными;
• могут быть использованы следующие обозначения

7.При составлении математического описания динамических процессов в упругом электромеханическом объекте, влючающем в себя электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения (Ф=const) и механизм, модель которого представляется двухмассовой системой (см. пример 1.3), могут быть использованы следующие переменные:

• i_я — ток электродвигателя,
• — скорость вращения электродвигателя,
• М_у – упругий момент механизма,
• — скорость вращения механизма,
• — угол поворота ротора электродвигателя,
• l – линейное перемещение механизма.

Какие из этих переменных, и в какой последовательности включены в состав вектора состояния приведенной ниже векторно-матричной модели?

ОТВЕТЫ

a) переменные, характеризующие реакцию системы на входные воздействия;

b) переменные, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе;

c) промежуточные переменные, характеризующие внутреннее состояние системы.

Видео:8) ТАУ для чайников.Часть 3.6 : Передаточная функция и пространство состояний.Скачать

Электронный учебник по ТАУ (теория автоматического управления)

Видео:Квантовая механика 7 - Вектор состояния. Амплитуда вероятности.Скачать

ТАУ Модели «вход – состояние – выход»

ТАУ предлагает два основных подхода к анализу и синтезу линейных САУ. Первый базируется на структурных схемах и ПФ отдельных элементов и всей системы. В связи с этим его часто называют операторно—структурным. Другой его особенностью является использование физических величин в качестве переменных. Подробно этот подход рассмотрен при изучении ММ типа «вход – выход» (см. п. 2.1).

Второй подход отличается описанием САУ системой ОДУ первого порядка, составленных относительно переменных состояния. Переменные состояния при таком описании САУ аналогичны обобщенным координатам, используемым в теоретической механике. Сам подход к исследованию САУ получил название метода пространства состояний или метода переменных состояния.

Понятие пространства состояний

Согласно методу пространства состояний (МПС) все переменные величины, характеризующие САУ, разделяют на три группы:

1) входные переменные или входные (управляющие) воздействия u m ;

2) выходные переменные y p , характеризующие реакцию САУ на входные воздействия;

3) переменные (координаты) состояния x n , характеризующие динамическое поведение САУ.

Взаимосвязь названных переменных поясняют схемой САУ, на которой систему изображают в виде «черного ящика» в соответствии с рисунком 2.29.

Отдельные части САУ характеризуют ПФ W 1 (s) и W 2 (s). Как следует из схемы, переменные состояния x n являются промежуточными величинами. Их относят к содержимому «черного ящика». Следовательно, они скрыты от прямого наблюдения. Кроме того, переменные состояния

Видео:Теория автоматического регулирования. Лекция 5. Модели параметров состоянийСкачать

y 2 ( t )

Видео:2) ТАУ для чайников. Часть 2.1: Математические модели...Скачать

u 1 ( t )

Видео:Метод пространства состояний САУ: описание конкретной системыСкачать

u 2 ( t )

Видео:1) ТАУ (Теория автоматического управления) для чайников. Часть 1: основные понятия...Скачать

u m ( t )

Видео:Система управления дорожным движением - ВекторСкачать

x 1 ( t )

Видео:Управляемость и наблюдаемость | Утро с теорией управления, лекция 7Скачать

x 2 ( t )

Видео:Непрерывные законы регулированияСкачать

x n ( t )

Видео:Крайон. Создай пространство счастья и успеха вокруг себя. 10 важнейших уроков. Артур Лиман.Скачать

y 1 ( t )

Видео:Управляемость и наблюдаемостьСкачать

y n ( t )

Видео:5) ТАУ для чайников. Часть 3.1: Модели линейных объектов...Скачать

W 1 ( s )

Видео:Школа КОБ - 3 ВЕКТОРА УПРАВЛЕНИЯСкачать

W 2 ( s )

не всегда являются физическими величинами. Иногда для удоб­ства математического моделиро­вания САУ целенаправленно отказываются от физического содержания переменных состоя­ния. Поэтому в общем случае x n (t) являются абстрактными переменными. Однако они должны однозначно выражаться через физические величины y p (t).

В общем случае исследуемую САУ считают многомерной (рисунок 2.29). Для упрощения работы с многомерными величинами их представляют в векторно-матричном виде. Так, совокупность входных переменных представляют в виде вектора входа совокупность выходных переменных – в виде вектора выхода а совокупность переменных состояния – в виде вектора состояния

Согласно МПС множество всех значений, которые может принять вектор входа U в момент времени t, образует пространство входа исследуемой САУ. Аналогично, множество всех значений, которые может принять вектор выхода Y в момент времени t, образует пространство выхода, а множество всех значений, которые может принять вектор состояния X в момент времени t, образует пространство состояний САУ.

Как было отмечено, векторно-матричные уравнения (2.82) описывают многомерную САУ. Эта же совокупность уравнений служит ММ одномерной САУ, т.е. системы с одним входом и одним выходом. При использовании МПС такие САУ часто называют системами со скалярным входом и выходом, так как входная и выходная величины являются скалярными. Уравнения состояния и выхода одномерной системы имеют вид

Видео:Лекция 14 | Теория автоматического управленияСкачать

Канонические формы уравнений состояния

Разработано множество эквивалентных форм (представлений) уравнений состояния, различающихся между собой видом матриц A , B и C . Одни из форм используются чаще, так как обладают в некоторых случаях известными преимуществами перед другими. Такие формы записи уравнений состояния называются каноническими. Считают, что удобство канонических форм заключается в следующем. Во-первых, канонические представления матриц обеспечивают минимальное количество ненулевых элементов, что заметно упрощает вычисления. Во-вторых, канонические представления приводят к простым алгоритмам синтеза оптимальных регуляторов замкнутых САУ /3/.

Таким образом, в результате приведения уравнений к канонической форме более простую структуру принимают две из трех матриц: A и B (управляемые формы) или A и C (наблюдаемые формы). Управляемые канонические формы используют при синтезе регулятора, а наблюдаемые канонические формы – при синтезе наблюдателя /23/.

Первая управляемая каноническая форма

Первой управляемой канонической формой называют специальные матрицы

Очевидно, что коэффициенты характеристического полинома A(s) составляют последний столбец матрицы A. Матрицы такого вида называют матрицами Фробениуса. Элементы таких матриц определяют без вычислений. Характеристический многочлен A(s) совпадает со знаменателем ПФ системы управления. Корни данного многочлена определяют устойчивость и качество переходных процессов в САУ.

Матрица входа B рассматриваемого канонического представления также имеет специальный вид. Вследствие скалярного входного воздействия матрица B представляет собой вектор-столбец, элементы которого также не требуется вычислять.

Полученная ММ системы управления может быть изображена в виде структурной схемы, представленной на рисунке 2.31.

Принятые переменные состояния являются выходными сигналами интеграторов.

Первую управляемую каноническую форму называют также канонической формой дуальной фазовой переменной /20/.

Видео:Прорывной Високосный год. Прогноз на 2024 год от Светланы ДраганСкачать

Описание САУ методом пространства состояния

Состоянием САУ называется та минимальная информация об объекте, которая позволяет спрогнозировать поведение системы в будущем при известных задающих воздействиях.

С точки зрения ТАУ, объект представляет собой черный ящик, характеризующийся рядом координат.

Состояние объекта в любой момент времени определяется тремя векторными пространствами:

1) Векторное пространство входа определяет входные воздействия на объект.

2) Векторное пространство внутреннего состояния определяет реакцию системы на входное воздействие.

3) Векторное пространство выхода определяется выходными переменными.

Совокупность этих векторов определяет состояние системы (пространства состояния).

Для непрерывных линейных систем динамика и статика объекта описываются следующими уравнениями:

где A * — матрица коэффициентов САУ;

B * — матрица управления САУ;

C * — матрица выхода САУ;

D * — матрица обхода САУ.

Данное описание позволяет представить все стороны САУ:

— Первое уравнение описывает динамику САУ;

— Второе уравнение описывает статику САУ.

На практике бывает удобней объединить вектор входа и внутреннего состояния в один:

— обобщенный вектор состояния.

В итоге получим систему уравнений:

Тогда систему (*) можно представить в виде:

В пространстве состояния в качестве графического изображения системы предлагают схемы переменных состояний.

Дата добавления: 2015-02-16 ; просмотров: 1971 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

🎬 Видео

Введение в теорию автоматического управленияСкачать

Лекция 4.1. Инвертор, датчики, ШИМ. Курс "Разработка цифровых систем управления на К1921ВК01Т"Скачать

Котика ударило током, 10 т. ВольтСкачать

Управление Миром Лекции ФСБ ( Ефимов )Скачать

Лекция 1 | Теория автоматического управленияСкачать