Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружностьСерединный перпендикуляр к отрезку
Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружностьОкружность описанная около треугольника
Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружностьСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружностьДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружностьВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаВокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружностьОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиВокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружностьЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиВокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружностьЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовВокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность
Площадь треугольникаВокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность
Радиус описанной окружностиВокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаВокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиВокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиВокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиВокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовВокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаВокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиВокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Для любого треугольника справедливо равенство:

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Окружность, описанная около треугольника

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Видео:8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Задание 13 ГИА по теме «Треугольники»
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс) на тему

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

В работе представлены 30 заданий «верно-неверно», прототипов к Заданию 13 ГИА.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Скачать:

ВложениеРазмер
zadacha_13verno-neverno.doc27.5 КБ

Видео:Описанная окружность. Видеоурок 22. Геометрия 8 классСкачать

Описанная окружность. Видеоурок 22. Геометрия 8 класс

Предварительный просмотр:

Укажите в ответе номера верных утверждений:

  1. Треугольники, имеющие равные площади, равны.
  2. Точка пересечения медиан треугольника является центром описанной окружности треугольника.
  3. Треугольники, имеющие одно основание, а вершины, находящиеся на прямой, параллельной основанию треугольника, равновелики.
  4. Если в равнобедренном треугольнике угол при вершине острый, то такой треугольник — остроугольный.
  5. Отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла равно диаметру окружности, вписанной в треугольник.
  6. Во всяком треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой.
  7. В прямоугольном треугольнике тангенсом острого угла называется отношение .
  8. Во всяком треугольнике биссектриса угла равна его медиане.
  9. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  10. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  11. Около любого треугольника можно описать окружность.
  12. В равностороннем треугольнике ABC медиана AK равна высоте CH.
  13. Внешний угол треугольника всегда тупой.
  14. Сумма катетов прямоугольного треугольника больше его гипотенузы.
  15. Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
  16. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению двух его катетов.
  17. Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен , то такой треугольник – правильный.
  18. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
  19. Если любая сторона первого треугольника больше любой стороны второго треугольника, то площадь первого треугольника больше площади второго треугольника.
  20. Гипотенуза – самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике.
  21. Один из катетов может быть в три раза короче другого.
  22. Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность.
  23. Сумма углов в тупоугольном треугольнике больше, чем в остроугольном.
  24. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
  25. Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
  26. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит его на два подобных треугольника.
  27. Если два угла одного треугольника пропорциональны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  28. Треугольник с углами существует.
  29. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы.
  30. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равняется двум третьим его высоты.

Верные утверждения: 3, 4, 7, 10, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 25, 29, 30.

Видео:Задача 6 №27922 ЕГЭ по математике. Урок 139Скачать

Задача 6 №27922 ЕГЭ по математике. Урок 139

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Домашнее задание — это очень важное задание!

Совет для родителей.

Математика 6 класс. «Координатная плоскость» Задания для развития и обучения учащихся (задания для интерактивной доски)

Задания для развития и обучения учащихся. Задания для интерактивной доски. Данный материал можно использовать для закрепления или повторения темы.

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Задания к стартовой контрольной работе по географии в 7 кл., Задания промежуточной аттестации по географии в 7 кл.(переводной экзамен).

Задания к стартовой контрольной работе по географии в 7 кл., Задания промежуточной аттестации по географии в 7 кл.(переводной экзамен). .

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Структура задания и презентация компетентностно-ориентированного задания

Презентация «Метапредметные результаты. Компетентностно-ориентированные задания. » Структура задания. Материал предназначен для урока биологии в 7 классе.

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

Практические работы, творческие задания, викторины, контрольные задания, тестовые задания для занятий в объединении «КОМП»

Практические работы, творческие задания, викторины, контрольные задания, тестовые задания для проверки навыков работы в старндартных прогаммах.

Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность

задание для подготовки ОГЭ по информатике (задание по Exel, задание 19)

Данный фал может использоваться как для подготовки, так и для итоговой проверки по 19 заданию ОГЭ по информатике. На закладках файла собраны тексты и сами задания для школьников.

Работа состоит из 3-х частей. Часть А – задания с выбором 1 ответа, каждый ответ оценивается в 1 балл. Часть В — задания на установления соответствия оценивается в 2 балла. Часть С – задания с развернутым ответом, оценивается в 3 балла. Максимальное кол

Работа состоит из 3-х частей. Часть А – задания с выбором 1 ответа, каждый ответ оценивается в 1 балл. Часть В — задания на установления соответствия оценивается в 2 балла. Часть С .

💥 Видео

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиусСкачать

№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Радиус описанной около треугольника окружностиСкачать

Радиус описанной около треугольника окружности

Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | УмскулСкачать

Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | Умскул
Поделиться или сохранить к себе: