Вектор потенциал в сферических

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Дифференциальные уравнения векторных линий Рассмотрим поле вектора Уравнения векторных линий в криволинейных координатах q, q2i g3 имеют вид В цилиндрических координатах в сферических координатах 14.2. Градиент в ортогональных координатах Пусть скалярное поле. Тогда Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах Дифференциальные уравнения векторных линий радиент в ортогональных координатах Ротор в ортогональных координатах Дивергенция в ортогональных координатах.

Вычисление потенциала в криволинейных координатах Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах Оператор Лапласа в ортогональных координатах В цилиндрических координатах в сферических координатах 14.3. Ротор в ортогональных координатах Рассмотрим векгорное поле и вычислим rot а. Имеем В цилиндрических координатах в сферических координатах 14.4. Дивергенция в ортогональных координатах Дивергенция div а векторного поля вычисляется по формуле.

В цилиндрических координатах или в сферических координатах

Применяя формулу (7) к единичным векторам получим Вычисление потока в криволинейных координатах Пусть S — часть координатной поверхности , ограниченная координатными линиями Тогда поток вектора через поверхность 5 в направлении вектора ei вычисляется по формуле Аналогично вычисляется поток через часть поверхности д2 = с, а также через часть поверхности д3 = с, где с = const. Пример I.

Найти поток П векторного поля через внешнюю сторону верхней полусферы 5 радиуса R с центром в начале координат. Ч Полусфера S есть часть юординатной поверхности г = const, а именно г = R. На полусфере 5 имеем , причем Учитывая, что в сферических коорои патах по формуле (8) найдем 14.6. Вычисление потенциала в криволинейных координатах Пусть в некоторой области О задано потенциальное векторное поле в области Для нахождения потенциала ) этого векторного поля запишем равенство в следующем виде:

Отсюда следует, что Интегрируя систему дифференциальных уравнений с частными производными (9), найдем искомый потенциал произвольная постоянная. В цилиндрических координатах система (9) принимает вид В сферических координатах система (9) имеет вид Пример 2. Найти потенциал векторного поля, заданного в цилиндрических координа тех Убедимся, что По формуле (5) л о лучим данное поле потенциально.

Искомый потенциал и = и(р, у, г) является решением следующей системы дифференциальных уравнений с частными производными (см. формулу (10)): Интегрированием по р из первого уравнения находим Дифференцируя соотношение (11) no р и используя второе уравнение, получим или откуда . Таким образом.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Дифференцируя это соотношение no z и используя тре тье уравнение, получим Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах Пусть векторное поле определено и непрерывно в области Q изменения ортогональных криволинейных координат 4i, 42, 4з • Так как дифференциал радиус-вектора г любой точки M(qb 42, 43) G П выражается формулой то криволинейный интеграл вектора а(М) по ориентированной гладкой или кусочно-гладкой кривой L СП будет равен В частности, для цилиндрических координат ) будем иметь.

Отсюда по формуле (13) получим Аналогично для сферических координат будем иметь Отсюда по формуле (13) получим Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах Дифференциальные уравнения векторных линий радиент в ортогональных координатах Ротор в ортогональных координатах Дивергенция в ортогональных координатах.

Вычисление потенциала в криволинейных координатах Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах.

Оператор Лапласа в ортогональных координатах Если кривая L замкнута (начальная и конечная точки кривой L совпадают), то циркуляция Ц векторного поля а(М) в криволинейных координатах 4,, q2, 43 вычисляется по формуле (13), а в случае цилиндрических или сферических координат — по формулам (14) или (15) соответственно. Пример 3. Вычислить циркуляцию векторного поля, заданного в цилиндрических координатах по замкнутой кривой L, Координаты данного вектора равны соответственно Контур L представляет собой замкнутую кривую, расположенную в плоскости z = 0 (рис. 43).

Подставляя координаты данного вектора в формулу.(14), получим На кривой L имеем . Искомая циркуляция будет равна 14.8. Оператор Лапласа в ортогональных координатах Если скалярная функция, то Используя формулы (16) и (17), для оператора Лапласа Д получим следующее выражение В цилиндрических координатах получим В сферических координатах будем иметь Пример 4. Найти все решения уравнения Лапласа Аи = 0, зависящие только от расстояния г.

Так как искомое решение и должно зависеть только от расстояния точки М от начала координат г, т., то уравнение Лапласа Ди = 0 в сферических координатах будет иметь вид Отсюда так что где постоянные. Упражнения Найдите производную скалярного поля в точке по направлению кточке Найдите производную скалярного поля и(х, у, z) в точке Л#о(хо, Уо» *о) по направлению нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси О г: 6.

Найдите производную скалярного поля в точке эллипса + = 1 по направлению внешней нормали к эллипсу в этой точке. 7. Найдите производную скалярного поля в точке по направлению окружности 8. Найдигеугол между градиентами функции и = arctg | в точках 9. Найдите производную плоского поля и вточке понаправле-нию, задаваемому вектором, лежащим в плоскости хОу и наклоненным под углом | коси Ох. Найдите векторные линии следующих векторных полей: 13.

через точку 14. Найдите векгорную линию поля а, проходящую через точку М(3,4, -1). 15. Вычислите поток векторного поля через верхнюю сторону круга, вырезаемого конусом х2 4- у2 = г2 из плоскости 16. Вычислите поток векторного поля к через треугольник ABC с вершинами в точках (нормаль образует с осью Oz острый угол). 17. Вычислите поток векторного поля а = xi + zk через боковую поверхность кругового цилиндра , ограниченную плоскостями z 18.

Вычислите поток векторного поля а = yzi — xj — yk через полную поверхность конуса х2 + у2 = z2, ограниченную плоскостью z Методом введения криволинейных координат на поверхности вычислите поток заданного векгора а через заданную поверхность S: 19. — внешняя сторона цилиндрической поверхности х2 + у2 = 9, ограниченной сферой Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах Дифференциальные уравнения векторных линий радиент в ортогональных координатах Ротор в ортогональных координатах.

Дивергенция в ортогональных координатах

Вычисление потенциала в криволинейных координатах Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах Оператор Лапласа в ортогональных координатах 20. — внешняя сторона части сферы , вырезанная конической поверхностью Вычислите поток векгорного поля а через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя). Проверьте результат с помощью формулы Гаусса—Остроградского:

Достраивая подходящим образом заданные незамкнутые поверхности до замкнутых и пользуясь теоремой Гаусса—Остроградского, вычислите потоки векторных полей через указанные поверхности (к замкнутой поверхности берем внешнюю нормаль): Найдите работу силы F при перемещении вдольлинии L от точки М к точке N: Найдите циркуляцию векторного поля а вдоль замкнутого контура L (в направлении, соответствующем возрастанию параметра Вычислите циркуляцию векторного поля а по замкнутому контуру L.

Проверьте результат при помощи формулы Стокса: — линия пересечения плоскости с координатными плоскостями 38. Найдите дивергенцию векторного пол я а = (с, г), где с — постоянный вектор, . 39. При какой функции ip(z) дивергенция векгорного поля а =)k будет равна z? 40. Найдите , где г = 41. Найдите функцию tf>(r), для которой выполняется равенство 42. Какова должна быть функция /(х, z), чтобы ротор векгорного поля совпал с вектором Найдите ротор следующих векторов: Докажите, что следующие векторные поля являются потенциальными, и найдите их потенциалы: Ответы

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Скалярный и векторный потенциалыСкачать

Потенциалы источники электрических, магнитных и электромагнитных полей Текст научной статьи по специальности « Физика»

Видео:Потенциальное поле. Нахождение потенциала векторного поляСкачать

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Черкашин Юрий Семёнович

В статье найдены магнитные векторные потенциалы типовых конфигураций электрических проводников с током, конфигурации их магнитных и электрических полей. Выделены их свойства вблизи и вдали от проводников, показано соподчинение полей потенциалов, электрических, магнитных и электромагнитных полей.

Видео:Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор ЛапласаСкачать

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Черкашин Юрий Семёнович

Видео:Останина М.В. - Электродинамика.Лекции.Ч.1 - 3. Векторный и скалярный потенциалы. Уравнение ПуассонаСкачать

Текст научной работы на тему «Потенциалы источники электрических, магнитных и электромагнитных полей»

ПОТЕНЦИАЛЫ — ИСТОЧНИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ, МАГНИТНЫХ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

Черкашин Юрий Семёнович,

«Векторы Е и Н постепенно исчезают из современной записи физических законов: их вытесняют

потенциалы А и> » Р. Фейнман.

Аннотация. В статье найдены магнитные — векторные потенциалы типовых конфигураций электрических проводников с током, конфигурации их магнитных и электрических полей. Выделены их свойства вблизи и вдали от проводников, показано соподчинение полей потенциалов, электрических, магнитных и электромагнитных полей.

Ключевые слова: электродинамика, векторный потенциал.

Мы не будем касаться расчётов картины поля электрических зарядов, которая разработана достаточно подробно. Рассмотрим поля проводников с током.

Типовыми конфигурациями проводников с током являются: прямой отрезок провода, рамка, катушка, соленоид и тороид. Несмотря на простоту конфигураций, в литературе отсутствует полные строгие решения картины полей во всей области пространства вокруг проводника. В известных решениях нет ответа, как выглядит потенциал вблизи проводника на расстояниях, сопоставимых с его размерами.

Толчком к настоящему исследованию послужило известное положение, что магнитное поле тороидальной катушки с током во внешнем объеме равно нулю, а электрическое присутствует, то есть не выполняются уравнения Максвелла.

Это потребовало определения векторного магнитного потенциала вне тороида. Вводя понятие вектора А мы накладывали ограничение (как

пожелание), что: для постоянного поля divA = 0 и для переменного поля

. Однако, в уравнения для вычисления потенциала эти требования

не заложены! При этом выяснилось, что принятое авторами многих книг по

электродинамике допущение-предположение, что = 0 [1, с. 348.], [2, с. 627],

[3, с. 221], [4, с. 277-279], [6, стр. 220] на практике не выполняется для многих простых конфигураций проводников!

Вероятно, в этой связи, вычисление значений электрического поля Е с помощью уравнений Максвелла [1, с. 380-381 и 2, с. 479] и через магнитный потенциал [1, ур-е 24-60; 2, ур-е 19.10] дают разные результаты.

Рассмотрим подробнее каждый случай.

Отрезок прямого провода

Посмотрим вектор-потенциал отрезка тока во всех точках окружающего пространства.

Отметим вначале некоторую некорректность постановки этого вопроса. Токи всегда замкнуты и отрезков тока не бывает. Однако диполь Герца является хорошим приближением к отрезку проводника с током. С другой стороны, суммирование векторных потенциалов отрезков тока составляющих замкнутый проводник позволяет определить векторный потенциал проводника сложной формы.

Подобные решения проведены в [1, с. 341], [2, с. 649], [3, с. 207], [4, с. 263,

Выберем цилиндрическую систему координат.

Рис.1 Цилиндрическая система координат

Вектор тока в этой системе имеет только одну проекцию вдоль оси Z.

Такую же составляющую будет иметь и вектор-потенциал А: А = •

Элемент тока S = dI = Idl .

Радиус-вектор интегрирования найдем, используя декартовы координаты.

R = д/ х2 + у2 + z2 Ru =

Перейдем к цилиндрическим координатам: x = Rcosa , у = і? sin a ,z = z

1 , (z — z )2 4^ z^ л/Т7

где х2 + у2 = Я02 — расстояние точки наблюдения от оси провода; dzi/R0= -du.

Известно что интеграл для провода бесконечной длины расходится, то есть векторный потенциал равен бесконечности [1, с. 349]. Мы определим векторный потенциал отрезка проводника длиной ! (Ь).

Подставляем пределы. Az = —

Выразим размеры в относительных единицах — в длинах половины отрезка, например, высоту — 2/(!/2)=%2, расстояние до оси ^/(1/2)=%^.

Получаем уравнения отличные как от I

[1, с. 380], так и от

Составляющие того же потенциала записаны в сферических координатах

Ae= Csln*j , A„ = 0 [1, с. 380]

Оператор дивергенции в сферических координатах:

divA = Л-—(r 2 Ar) 1

R2 SR 4 R/ Rsin# S6′ a/ Rsin# da

Найдём дивергенцию вектора А, которая по принятым предположениям

должна быть равна нулю:

Я2 Я ‘ Я 2siпвdв Фактически она не равна нулю.

Найдём дивергенцию вектора А, найденного нами для отрезка провода. Оператор дивергенции в цилиндрических координатах:

Тоже не равна нулю. Запишем её в принятых выше относительных величинах:

д/(2z /1 +1)2 + (2R0 /1)2 7(2z /1 -1)2 + (2R0/1)2

При больших по сравнению с длиной отрезка 1 значениях х и/или Я0, дивергенция будет равна нулю, и только там можно будет доказать волновой характер решений уравнений поля.

При х=0, то есть на плоскости (х,у) дивергенция при любом Я0 равна нулю.

Определим теперь индукцию поля В = гоА . Вектор А имеет только одну Ъ

составляющую, не зависящую от угла а. Оператор ротора в цилиндрических координатах:

Применяя к (2) получим:

ґ z + ІП ^2 V R0 J

Вынося и сокращая R0 ,

7(z +1/2)2 + R2 7(z -1/2)2 + R2

Или в относительных единицах:

7(2 z / / +1)2 +(2 R0 / / )2 7(2 z /1 -1)2 +(2R0/1 )2

При х=0 (в плоскости ХУ) получается:

При малом по сравнению с длиной отрезка расстоянии Я0 получаем выражение, совпадающее с индукцией, полученной с применением закона полного тока.

Электрическое поле найдём из Е = -&гаёф

— . Если статических зарядов

нет и ток переменный, с учётом (3) получим:

Вектор напряженности электрического поля направлен вдоль Ъ.

Уравнение потенциала (2) можно записать также в сферических координатах.

От угла альфа потенциал не зависит.

Векторный потенциал отрезка провода I (Ь)

1 V —♦— От оси отрезка

-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

Расстояние вдоль провода г/( 1/2)

Рис. 2 График распределения потенциала вокруг отрезка провода с током

при перемещении вдоль оси отрезка

Векторный потенциал отрезка провода I Щ

Центр отрезка -■— 1/2 полуотрезка -А— В конце отрезка — 1,5 полуотрезка —ж— 2,0 полуотрезка

Расстояние от оси провода Ro/(l/2)

Рис. 3 График распределения потенциала вокруг отрезка провода с током при перемещении перпендикулярно отрезку

Векторный потенциал кольцевого тока

Попытка найти векторный потенциал кольца сделана в [4, с. 287]. Потенциал найден только вдали от кольца методом аналогии с электростатическим потенциалом.

Рис. 4 Ортогональная система координат

Выберем ортогональную цилиндрическую систему координат. [Решать в координатах ХУZ неудобно: решения каждой проекции имеет сложный вид и нахождение полного вектора оказывается трудным.]. Вектор тока в этой системе имеет только одну альфовую проекцию. Такую же составляющую должен иметь

Элемент интегрирования dl = rdpd0 . Его проекции на

направления R0 и на a0: dlR = rdpsinр , dla= rdpcosp .

Однако, радиус-вектор интегрирования привычнее найти, используя декартовы координаты. Его проекции:

Rnx=x-rcos(a+p), Rny=y-rsin(a+p), Rm=z.

Ru = ^J x2 — 2rx cos (a + p)+ r2 cos2 (a + p)+ y2 — 2ry sin (a + 0)+ r2 sin2 (a + p)+ z2 ,

Ru x2 + y2 + z2 + r2 — 2r (x cos (a + p)+ y sin (a + pj)

Вернёмся к цилиндрическим координатам: x = Rcosa , y = Rsina , z=z . Ru =y] R2 + z2 + r2 — 2rR(cosa cos <a + p)+ sin a sin (a + P))

у1Я2 + г2 + г2-2гЯсо8р . Получилась компактная запись. Выразим подкоренное выражение в относительных единицах — вынесем г за знак радикала.

—=г-![*Уг■+Vr-■+1 _2%cosp • A 44 —

ju r I • r cos pdp juI

dla = rdp cos P . fjI r cos pdp

Сначала преобразуем этот интеграл:

juI г cos pdp /uI radp

4ffiy]a — b cos P — b4n^„ лja — b cos P b4n^„ yja — b cos P

jyja — b cos Pdp

4ж д/а — Ь соб Р 4ж Ь ^ ^а — Ь соб Р 4жЬ •

Он свёлся к двум интегралам, напоминающим об эллиптической форме. Далее воспользуемся тригонометрической формулой:

cos р = cos2 — — sin2 — = 1 — 2sin2 — . Получим:

^ jja-b + 2bsin2 —dp

Это эллиптические интегралы, однако, перед бш2х стоит знак плюс. Сделаем замену переменных:

, dp = 2d^ sin2 — = 1 — cos2 — = 1 — sin2^

Пределы P=0, у=л:/2; Р=2л, р/2=л; у=-л/2. Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

принятых обозначениях J

= K , или K=F, и |л/ 1 — k2 sin2 x •dx = E , то

есть полные эллиптические интегралы первого и второго рода.

Элемент тока dl имеет составляющую вдоль радиуса dlR = rdfi sin j3 . Проекция вектор-потенциала на направление R.

..2 + Z/г + 1 _ 2 Rr cos Р

Это интеграл табличный. Его значение при изменении Р в пределах от 0 до 2п равно 0. То есть вторая составляющая потенциала, как и предполагалось, равна 0.

На графиках представлены примеры распределения вектор-потенциала в пространстве в функции от относительных расстояний от центра кольца и от расстояния над плоскостью кольца.

Векторный потенциал на высоте z=0,2r

Расстояние от оси R/r (лог шкала)

Измерительный контур равного с кольцом диаметра приподнятый на z/r

O,OO O,5O 1,OO 1,5O

Высота подъема z/r (лин шкала)

Рис. 5-7 Графики распределения векторного потенциала вокруг кольца с

Полученные решения дают картину полей независящую от абсолютных геометрических размеров, а только от относительных. Это означает что, например, при токе 5 А поле будет одинаковым у кольца диаметром 10 см и кольца диаметром 1 м, если мы его будем измерять его на расстоянии 20 см и 2 м соответственно. Другими словами, имеет место одно решение для всех колец с током. (конечно имеется в виду, что размеры сечения кольца малы по сравнению с его радиусом)

Векторы электрического и магнитного полей через потенциалы

E = — ^аёф—-B = rotA . Если статических зарядов нет и ток переменный

синусоидальный i = Im sin at , то справедливо следующее:

стороны, из электротехники известно U1m = (oM ■ Im . Для измерительного витка, расположенного над кольцом с током: M = ^ • r • (kKK -kEE) . Похожее решение

приведено в [1, с. 359].

По справочнику: «Расчёт индуктивностей» [8, с. 186.] : M =

Получается, что M = — rF = у-r■ (kKK-kEE) , то есть — = (kKK-kEE) .

Коэффициент F = 4^(kKK — kEE) . Сравнение значений F, приведенных в таблице

справочника и вычисленных по нашей формуле в широком диапазоне изменений размеров (более 10 раз) совпадает с точностью ± 1%.

Векторный потенциал соленоида и тора

Сложенные друг на друга «в стопку» кольца образуют соленоид.

Поле соленоида будет равно интегралу от суммы потенциалов колец.

На этом пути возникают серьёзные математические трудности — требуется дифференцирование эллиптических интегралов.

Воспользуемся готовыми приближёнными решениями поля векторного

потенциала соленоида А -—2— ^2 . Поле вектора магнитной индукции вне

соленоида В = шЛ = 0 . «Итак, магнитное поле вне очень длинного соленоида действительно равно нулю, хотя векторный потенциал нулю не равен» [4, с.

Очень длинный соленоид не совсем реальная конструкция. Такая же картина полей имеется вокруг вполне реальной тороидальной катушки. Вне катушки магнитное поле равно нулю, что легко проверяется применением закона полного тока. Однако электрическое поле не равно нулю, иначе в витках

наружной (вторичной) обмотки отсутствовало бы напряжение и = |Е& .

Уравнения Максвелла тогЕ =

здесь не выполняется, хотя выполняется

уравнение Е = — gmdф-— .

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме оперируют с векторами полей в одной точке. А одного из векторов (например, В) может в данной точке вообще не быть, или поле может оказаться полем от другого источника.

В тех конфигурациях, в тех областях пространства, где возникают условия

для выполнения divA = 0 , уравнения поля А, Е, В, приобретают вид волновых

уравнений — уравнений распространения поля. Дифференциальные уравнения хороши для изучения полей излучения или полей в волноводах.

Хорошее практическое значение имеют Уравнения Максвелла в интегральной форме, но для их применения требуется симметрия расположения зарядов или токов, тогда они дают возможность определить параметры поля на линии. Только уравнения векторных потенциалов позволяют определить полную картину всех полей.

Потенциалы играют первичную роль. Потенциалы являются источниками электрического, магнитного и электромагнитного поля. С возникновением или исчезновением источника: заряда или тока в некоторой точке пространства от этой точки начинает распространяться изменение потенциала. Очевидно, что это

продвижение происходит со скоростью света. Поля Е и Н являются проявлением продвижения распространения потенциалов. Поля представляют собой компактную форму записи свойств потенциала возле точки наблюдения. «Выражение «реальное поле» реального смысла не имеет». «реальное поле -это математическая функция, которая используется нами, чтобы избежать представления о дальнодействии» [5, с. 15]. В этой форме мысль выражена излишне формально. Когда мы говорим о распространении потенциала, невольно присутствует представление о запаздывающем дальнодействии, физически оно есть (жаль, что мы не знаем «тайных» нитей этих связей).

Из знания о структуре поля нельзя сделать вывод о структуре потенциала. Все его изменения заложены в источнике потенциала — зарядах и токах и никак не могут быть спрогнозированы по записи полей.

Самый верхний ранг (уровень) уравнений поля есть уравнения потенциалов. Уравнения поля следуют из них. Ниже идут уравнения цепей и так далее. Записанная Р. Фейнманом таблица формул [5, с. 149] должна иметь другой вид.

Перечень формул Р. Фейнмана Уравнения Максвелла

Видео:Урок 231. Свойства электрического потенциалаСкачать

Лабораторная работа № ВИ-104 Элементарные излучатели

К КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА

Институт радиоэлектроники и телекоммуникаций

Лаборатория «Электродинамика и распространение радиоволн»

Лабораторная работа № ВИ-104

Целью работы является изучение элементарных излучателей электромагнитного поля и исследование их свойств с помощью виртуальной лабораторной установки.

2. Подготовка к работе.

Перед выполнением работы необходимо изучить соответствующий лекционный материал, настоящее описание и, при необходимости, рекомендованную литературу [1, с.206-220; 2, с.126-136; 3, с.163-181; 4, с.106-129; 5, с.137-166].

3. Краткие теоретические сведения.

Устройство, предназначенное для излучения электромагнитных волн, называют излучателем или передающей антенной. Любую антенну можно представить в виде совокупности простейших элементарных излучателей. Различают элементарный электрический излучатель, элементарный магнитный излучатель и элемент Гюйгенса – элементарный поверхностный излучатель.

Элементарный электрический излучатель

Элементарным электрическим излучателем называют элемент электрического линейного гармонического тока, для которого известно, что: во-первых, его длина весьма мала по сравнению с длиной волны и, во-вторых, в каждый момент времени ток имеет одно и то же значение вдоль всего элемента.

Пусть ось направлена вдоль элементарного электрического излучателя, который занимает интервал Мгновенные значения тока излучателя от координаты не зависят, т. е.

(1)

Поскольку этот ток изменяет свое значение только в точках: и , то согласно закону сохранения заряда в этих точках должны существовать сосредоточенные электрические заряды, связанные с током (1) соотношениями:

(2)

и, следовательно, равные друг другу по величине и противоположные по знаку:

(3)

причем

Элементарный электрический излучатель со строго неизменным вдоль его длины током практически неосуществим и представляет собой идеализированную излучающую систему, удобную для теоретического, анализа.

Пусть в однородной среде без потерь с параметрами и расположен элементарный электрический излучатель с известным током .

Комплексные амплитуды векторов поля этого излучателя определим через векторный потенциал.

Если поместить начало координат O в центре элементарного излучателя (рис.1) и обозначить расстояние r между точкой наблюдения и текущей точкой излучателя , то, учитывая, что и для элементарного излучателя , имеем векторный электрический потенциал в виде:

(4)

Рис.1. Элементарный электрический излучатель

Из (4) следует, что векторный потенциал элементарного электрического излучателя направлен в точке наблюдения параллельно его оси и зависит только от расстояния R, представляющего собой радиальную координату точки наблюдения в сферической системе координат, начало которой совмещено с центром излучателя. Поэтому дальнейшие преобразования целесообразно проводить в сферической системе, направление полярной оси которой совпадает с током излучателя (рис.2).

В точке наблюдения M орт-вектор разложим в сферической системе координат по двум взаимно перпендикулярным направлениям ( рис. 2):

(5)

Рис.2. Сферическая система координат

Тогда векторный электрический потенциал имеет в точке M следующие составляющие:

, , (6)

Векторный электрический потенциал определяет напряжённость магнитного поля

(7)

, , (8)

Для определения напряжённости электрического поля воспользуемся первым уравнением Максвелла:

(9)

, (10) , (11)

(12)

Электромагнитное поле (8), (10) – (12) не зависит от азимутального угла , что является следствием осевой симметрии излучателя. Зависимость поля от координаты R точки наблюдения позволяет разбить окружающее излучатель пространство на три зоны — ближнюю, промежуточную и дальнюю. В ближней и дальней зоне справедливы более простые, но приближенные формулы для составляющих векторов поля. В промежуточной зоне, переходной между ближней и дальней зоной и характеризуемой условием , должны учитываться все слагаемые в (8), (10) – (12), так как они имеют один порядок.

Поле в ближней зоне

Ближняя зона, или зона индукции, характеризуется такими расстояниями R точки наблюдения от излучателя, для которых . Конечно, одновременно R должно удовлетворять и условию , при котором были получены исходные формулы (8), (10) – (12). Оставив в каждой из этих формул лишь один член, содержащий в высшей степени, и используя справедливое при приближенное соотношение , имеем:

, , (13)

Учитывая, что и переходя от (13) к мгновенным значениям, получаем:

(14)

(15)

(16)

В ближней зоне векторы поля в точке наблюдения в момент времени t определяются значениями тока в этот же момент времени. Таким образом, ближняя зона представляет собой область квазистационарного поля. Использованное нами приближенное соотношение и привело к пренебрежению временем запаздывания.

Вектор Пойнтинга в ближней зоне имеет две составляющие:

и (17)

Компоненты напряженности электрического поля (14), (15) отстают по фазе от напряженности магнитного поля (16) на . Вследствие этого, обе составляющие вектора Пойнтинга изменяются во времени по закону , принимая как положительные, так и отрицательные мгновенные значения. При этом средние значения составляющих вектора Пойнтинга за период T равны нулю. Это означает, что движение энергии ближнего поля имеет колебательный характер — в течение четверти периода T энергия течет в одном направлении (положительные значения и ), в течение следующей четверти периода энергия течет в противоположном направлении, возвращается обратно (отрицательные значения и ). Таким образом, ближнее электромагнитное поле не участвует в процессе излучения. Электромагнитные волны, которые уносят с собой от излучателя энергию, существуют и в ближней зоне, но здесь их поля весьма малы по сравнению с рассмотренными выше полями.

Поле в дальней зоне

Дальняя зона характеризуется такими расстояниями R точки наблюдения от излучателя, для которых . Удерживая при этом в (8), (10) – (12) члены, содержащие в первой степени, имеем только две отличные от нуля составляющие поля:

(18)

(19)

где — характеристическое сопротивление среды.

Перейдя к мгновенным значениям, имеем:

(20)

(21)

Согласно (20), (21) в среде без потерь векторы и в любой точке дальней зоны имеют одинаковую фазу, в которую время t и расстояние R входят в виде линейной комбинации , где м/с. Уравнение постоянных значений фазы имеет вид:

(22)

Подставив в (22) два последовательных момента времени и , получим , откуда . Это означает, что с увеличением времени t постоянное значение фазы поля распространяется в направлении возрастающих значений R ее скоростью v. Таким образом, в дальней зоне распространяется электромагнитная волна в радиальных направлениях. Фаза постоянна при , значит поверхность равных фаз (фазовый фронт) – сфера. Скорость v движения точек с постоянной фазой называют фазовой скоростью.

Вектор направлен по касательной к дуге меридиана, — по касательной к дуге параллели, причем вектора поля и направление распространения волны взаимно перпендикулярны и образуют правую ортогональную тройку векторов (рис.3).

Рис.3. Вектора поля излучения элементарного электрического излучателя

При этом мгновенные значения векторов связаны между собой соотношениями:

, (23)

Вектор Пойнтинга в дальней зоне имеет только одну радиальную составляющую:

(24)

Причем ее мгновенное значение всегда оказывается положительным вследствие того, что векторы поля имеют одинаковую фазу колебаний. Это означает, что энергия движется в направлении радиусов только от излучателя. Она не возвращается обратно к излучателю и представляет собой энергию излученной электромагнитной волны.

Это поле называют полем излучения, а дальнюю зону называют также зоной излучения или волновой зоной.

Рассмотрим зависимость амплитуд векторов поля излучения от сферических координат точки наблюдения. Согласно (20), (21) амплитуды векторов поля изменяются обратно пропорционально первой степени расстояния R, то есть значительно медленнее, чем в ближней зоне. Убывание по закону величин векторов поля сферических бегущих волн является следствием закона сохранения энергии для среды без потерь.

Входящая в выражения для амплитуд векторов поля излучения антенны функция угловых сферических координат , определяющая их зависимость от направления на точку наблюдения, носит название амплитудной характеристики направленности. Графическое изображение характеристики направленности называют диаграммой направленности.

Согласно (20), (21) характеристика направленности элементарного электрического излучателя . Она не зависит от азимутального угла вследствие осевой симметрии излучателя. Поле излучения максимально в экваториальной плоскости и равно нулю вдоль оси излучателя . В плоскости, которая проходит через ось излучателя, характеристика направленности, построенная в полярной системе координат, изображена на рис.4а. (Уравнение в полярных координатах представляет собой две соприкасающиеся окружности). Пространственная характеристика направленности есть тор, образованный вращением фигуры рис.4а вокруг вертикальной оси (рис.4б).

Рис.4. Характеристика направленности элементарного электрического излучателя

Элементарный магнитный излучатель

Если в некотором объеме известна напряженность стороннего магнитного поля , то она вводится во второе уравнение Максвелла:

(25)

В этом случае первичное возбуждение электромагнитного поля вызывается известной в каждой точке объема величиной:

, (26)

которую по аналогии с плотностью стороннего электрического тока называют плотностью стороннего магнитного тока.

Напомним, что в природе не существует магнитных зарядов и магнитного тока, представляющего собой упорядоченное движение этих зарядов. Поэтому формулу (26) следует рассматривать как результат формального введения в теорию фиктивных магнитных зарядов и обусловленных ими фиктивных магнитных токов, благодаря которому приобретается удобство в описании магнитных полей.

Если монохроматическое поле обусловлено электрическими токами и фиктивными магнитными токами, то оно удовлетворяет симметричным уравнениям Максвелла следующего вида:

(27)

(28)

Из симметрии соотношений (27), (28) следует, что при известном решении задачи при заданных сторонних электрических токах , решение задачи при заданных сторонних магнитных токах получим, осуществив в известном решении перестановки:

, , (29)

Конечно, это возможно только в том случае, если в обеих задачах одинакова форма поверхности , на которой заданы граничные условия, и если перестановка (29) преобразует граничные условия исходной задачи в граничные условия новой задачи.

Этот прием называют принципом перестановочной двойственности уравнений Максвелла. Этот принцип широко используется при решении различных задач и имеет большое практическое значение.

Элементарным магнитным излучателем называют элемент фиктивного магнитного линейного гармонического тока, для которого известно, что: во-первых, его длина весьма мала по сравнению с длиной волны и, во-вторых, в каждый момент времени ток имеет одно и то же значение вдоль всего элемента.

Поле, которое создает элементарный магнитный излучатель в безграничной однородной среде без потерь, проще всего найти с помощью принципа перестановочной двойственности, позволяющего сразу перейти от известного нам поля элементарного электрического излуча, (21) к искомому полю:

(30)

(31)

По своей структуре формулы (30), (31) аналогичны (20), (21). Поэтому отмеченные выше особенности поля излучения электрического излучателя полностью присущи и полю излучения элементарного магнитного излучателя. Поверхностью равных фаз является сфера, вектора поля лежат по касательной к ней, они взаимно ортогональны и пропорциональны по величине, сохраняется форма диаграммы направленности. Различие между полями электрического и магнитного элементарных излучателей состоит в разной ориентировке в пространстве векторов (рис.5.42).

Рис.5. Вектора поля излучения элементарного магнитного излучателя

Простейшей физически осуществимой моделью элементарного магнитного излучателя является плоская проводящая рамка (одиночный виток провода) с электрическим током, периметр которой весьма мал по сравнению с длиной волны создаваемого ею поля. Такой излучатель называют элементарной электрической рамкой. Эквивалентный такой рамке фиктивный элементарный магнитный излучатель ориентирован перпендикулярно плоскости рамки. Следовательно, при расположении элементарного магнитного излучателя в центре сферической системы координат вдоль полярной оси элементарная электрическая рамка должна лежать в экваториальной плоскости .

Элемент Гюйгенса

Элементом Гюйгенса называют элемент волновой поверхности бегущей волны, линейные размеры которого много меньше , который поэтому можно считать плоским и в пределах которого касательные составляющие и поля сохраняют постоянные значения.

Совместим начало декартовой системы координат с центром прямоугольного элемента Гюйгенса, стороны и площадь которого равны , и , в пределах которого параллельна оси , — оси (рис.6).

Рис.6. Элемент Гюйгенса

При определении поля элемента Гюйгенса в полупространстве можно, в соответствии с теоремой эквивалентности, заменить касательные составляющие , плотностями поверхностных эквивалентных токов , и найти комплексные амплитуды эквивалентных сторонних электрического и магнитного токов, которые на равны соответственно:

и (32)

Элемент электрического тока длиной и элемент магнитного тока длиной можно рассматривать как эквивалентные элементарные электрический и магнитный излучатели. Таким образом, элемент Гюйгенса можно представить совокупностью взаимно перпендикулярных элементарных электрического и магнитного излучателей.

Определим поле элемента Гюйгенса в дальней зоне, т. е. на расстояниях , для которых выполняется условие . Это поле проще всего найти суммированием в дальней зоне уже известных полей элементарных электрического и магнитного излучателей. При записи полей этих излучателей необходимо учесть связь их амплитуд (32) и изменённое положение элементов тока в пространстве. В итоге получаем две составляющих напряжённости электрического поля:

(33)

(34)

В дальней зоне электромагнитному полю элемента Гюйгенса присущи все основные особенности поля излучения элементарных излучателей. Это поле представляет собой сферические бегущие волны, расходящиеся в полупространстве от элемента Гюйгенса вдоль радиусов в бесконечность со скоростью и убывающие по амплитуде по закону .

Определим амплитуду поля элемента Гюйгенса:

(35)

Следовательно, амплитудная характеристика направленности, определяющая зависимость амплитуды поля от угловых координат, одинакова во всех меридиональных полуплоскостях и выражается формулой:

(36)

Выражение (36) является уравнением кардиоиды (рис.7).

Рис.7. Диаграмма направленности элемента Гюйгенса

Пространственная характеристика направленности представляет собой тело вращения кардиоиды рис.7 вокруг оси .

4. Описание лабораторной установки.

С помощью виртуальной лабораторной установки планируется изучать изменение продольной и поперечной компонент напряженности электрического поля от расстояния до элементарного электрического излучателя. Кроме того, должна иметься возможность наблюдать диаграммы направленности элементарных излучателей и определять их характеристики.

В верхней части лицевой панели лабораторной установки расположен заголовок «Исследование элементарных излучателей» и кнопка останова STOP (рис.8).

Виртуальная лабораторная установка состоит из двух частей, отображаемых в двух страницах на экране: «Компоненты поля элементарного электрического излучателя»(рис.8) и «Диаграммы направленности элементарных излучателей» (рис.9).

Рис.8. Лицевая панель ВИ «Элементарные излучатели». Страница «Компоненты поля элементарного электрического излучателя»

Работа с установкой начинается в закладке «Компоненты поля элементарного электрического излучателя». Справа на ней находится графический индикатор «Амплитуда компоненты поля», на котором отображаются зависимости продольной и поперечной составляющих поля от расстояния между излучателем и точкой наблюдения.

Под индикатором находится панель управления двумя курсорами, в которой имеются названия измеряемых компонент поля «Продольная компонента» и «Поперечная компонента» и окна с координатами курсоров.

В левой верхней части расположен регулятор, задающий значение угловой координаты «Угол от оси излучателя».

Ниже расположен регулятор размера шкалы расстояния (горизонтальная шкала экрана).

На странице «Диаграммы направленности элементарных излучателей» находится два графических индикатора. На левом индикаторе диаграмма направленности отображается в декартовой системе координат. Под индикатором есть панель управления курсором, позволяющая измерять графики на экране.

Рис.9. Лицевая панель ВИ «Элементарные излучатели». Страница «Диаграммы направленности элементарных излучателей»

На правом индикаторе диаграмма направленности отображается в полярных координатах.

Над экранами имеется переключатель на три положения: «Электрический», «Магнитный», «Площадка». Он осуществляет переключение на экране всех изучаемых элементарных излучателей.

Включение прибора осуществляется нажатием на двунаправленную стрелку в строке кнопок окна LabVIEW, расположенная правее заголовка кнопка STOP выключает виртуальную лабораторную установку.

5. Порядок выполнения работы.

1. Запустить лабораторную установку «Элементарные излучатели», ознакомиться с органами управления.

2. Перейти на страницу «Компоненты поля элементарного электрического излучателя». Выполнить исследования в соответствии с вариантом, выбранным в таблице 1.

Таблица 1. Исходные параметры для исследования элементарных излучателей радиоволн

💡 Видео

44. Электрическое поле в диэлектрике. Вектор поляризованностиСкачать

6.2 Калибровка потенциалов. Решение неоднородного уравнения Гельмгольца для векторного потенциалаСкачать

Лекция 2-2 Потенциал - примерыСкачать

Урок 235. Задачи на электрический потенциал - 3Скачать

Билет №03 "Потенциал"Скачать

Урок 218. Напряженность электрического поляСкачать

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.Скачать

Задача №2. Потенциал проводящей сферы.Скачать

Электродинамика | векторный потенциал магнитного поля | для взрослыхСкачать

Семинар №6 "Вектор-потенциал магнтиного поля" (Александров Д.А.)Скачать

Теорема Гаусса. Поле заряженной сферы. Электростатика.Скачать

ЧК_МИФ_3_2_4_1_(L3)_ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛСкачать

НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ суперпозиция полейСкачать

Применение теоремы Гаусса-Остроградского. Напряжённость поля пластины, сферы и шара.Скачать

Урок 233. Задачи на электрический потенциал - 1Скачать