Сколько плоскостей можно провести через три параллельные прямые (4 видео)

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых

Содержание

Задача 45263 1. Определи, какое максимально возможное.
Условие
Все решения
Введение в стереометрию. Параллельность
🔍 Видео

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы дадим основные определения и теоремы на тему параллельных прямых в пространстве.
В начале урока рассмотрим определение параллельных прямых в пространстве и докажем теорему о том, что через любую точку пространства можно провести только одну прямую, параллельную данной. Далее докажем лемму о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость. И с ее помощью докажем теорему о двух прямых, параллельных третьей прямой.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Задача 45263 1. Определи, какое максимально возможное.

Условие

1. Определи, какое максимально возможное количество разных плоскостей можно провести через 5 данных параллельных прямых в пространстве (никакие три прямые не лежат в одной плоскости).
2. Определи, какое максимальное возможное количество плоскостей можно провести через 5 данных лучей с общей начальной точкой?
3. Определи, какое максимально возможное количество разных плоскостей можно провести через 7 данны(-х, -е) точ(-ек, -ки) в пространстве (никакие три точки не лежат на одной прямой, никакие четыре точки не лежат в одной плоскости).
.

Все решения

1.
Так как плоскость можно провести через две параллельные прямые, необходимо посчитать, сколько пар параллельных прямых образуют данные параллельные прямые — 5 данных параллельных прямых образуют 10 пар прямых, следовательно столько плоскостей можно провести.

Так как плоскость можно провести через две пересекающиеся прямые, необходимо посчитать, сколько пар образуют данные лучи — 5 данные лучи образуют 10 пар пересекающихся прямых, следовательно столько плоскостей можно провести.

3.
Так как плоскость можно провести через три точки не лежащие на одной прямой, необходимо посчитать, сколько троек образуют 7 данных точек. Они образуют 35 троек точек, следовательно столько плоскостей можно провести.

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Введение в стереометрию. Параллельность

Важные аксиомы стереометрии

1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Таким образом, любая плоскость однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой: (pi=(ABC)) (рис. 1).

2. Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости: (ain pi) .
Говорят также, что плоскость содержит прямую: (pisubset a) (рис. 2).

3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Таким образом, если плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой: (picap mu=p) .
Данная прямая (p) называется линией пересечения плоскостей (рис. 3).

Заметим, что плоскость обычно изображают в виде внутренности параллелограмма. Почему? Посмотрите, например, сбоку на стол. В виде какой фигуры выглядит столешница?

Следствия из аксиом

1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна (рис. 4).

2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна (рис. 5).

Доказательство

1. Действительно, отметим на прямой (a) некоторые две точки (A) и (B) . Тогда мы получим три точки (A, B, C) , не лежащие на одной прямой. Через них можно провести единственную плоскость (pi) . А т.к. две выбранные точки (A) и (B) прямой лежат в этой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

2. Действительно, пусть (O) – точка пересечения данных прямых (p) и (q) . Отметим еще по одной точке (P) и (Q) на каждой прямой (отличающиеся от точки (O) ). Получили три точки (P, Q, O) , не лежащие на одной прямой. Через них проходит единственная плоскость (pi) . А т.к. две точки каждой прямой лежат в этой плоскости, то и все точки каждой прямой будут лежать в этой плоскости.

Определения

Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Следствие 1

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 1

Через любую точку (A) в пространстве, не лежащую на данной прямой (b) , проходит прямая (a) , параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство

Через точку (A) и прямую (b) можно провести единственную плоскость (по аксиоме); пусть эта плоскость называется (pi) . Прямая (a) , параллельная прямой (b) , должна лежать с ней в одной плоскости, а также должна проходить через точку (A) , следовательно, должна лежать в плоскости (pi) . Но в плоскости через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной (теорема планиметрии), чтд.

Теорема 2

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Доказательство

Пусть (aparallel b) и (acap pi=A) . Докажем, что и (b) пересечет плоскость (pi) (назовем их точку пересечения (B) ).

Проведем через прямые (a) и (b) плоскость (mu) (это возможно в силу определения параллельных прямых). Тогда плоскости (pi) и (mu) имеют общую точку (A) , следовательно, имеют и общую прямую (p) , на которой лежат все их общие точки. Но т.к. (bparallel a) и (acap p=A) , то прямая (b) тоже пересекает прямую (p) . Значит, прямая (b) пересекает и плоскость (mu) (это и есть точка (B) ).

Теорема 3: о параллельности трех прямых

Если прямая (a) параллельна прямой (b) , а та в свою очередь параллельна прямой (c) , то (aparallel c) .

Доказательство

1) Отметим некоторую точку (C) на прямой (c) и проведем плоскость (pi) через прямую (a) и точку (C) . Прямая (c) будет лежать в этой плоскости. Действительно, т.к. прямая (c) и плоскость (pi) имеют общую точку (C) , то в противном случае прямая (c) будет пересекать эту плоскость. Но т.к. (bparallel c) , то и прямая (b) будет пересекать (pi) ; а т.к. (aparallel b) , то и прямая (a) будет пересекать эту плоскость. А это противоречит нашему построению.

2) Теперь прямые (a) и (c) лежат в одной плоскости, значит, они могут либо пересекаться, либо быть параллельны. Предположим, что (c) пересекает (a) в точке (A) . Тогда получается, что через точку (A) проведены две прямые, параллельные прямой (b) , что противоречит теореме 1.

Определение

Существует три вида взаимного расположения прямой и плоскости:

1. прямая имеет с плоскостью две общие точки (то есть лежит в плоскости) — рис. 4;

2. прямая имеет с плоскостью ровно одну общую точку (то есть пересекает плоскость) — рис. 6;

3. прямая не имеет с плоскостью общих точек (то есть параллельна плоскости).

Теорема 4: признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая (a) , не лежащая в плоскости (pi) , параллельна некоторой прямой (p) , лежащей в плоскости (pi) , то она параллельна данной плоскости (рис. 7).

Доказательство

Докажем, что прямая (a) не может пересекать плоскость (pi) (случай, что прямая лежит в плоскости, невозможен по условию). Предположим, что это не так. Во-первых, проведем плоскость (mu) через прямые (a) и (p) (значит, плоскости (pi) и (mu) пересекаются по прямой (p) ). Во-вторых, пусть (acappi=A) . Т.к. (aparallel p) , то точка (A) не может лежать на прямой (p) . Значит, плоскости (pi) и (mu) имеют еще одну общую точку (A) , не лежащую на их линии пересечения, что противоречит аксиоме 3. Чтд.

Следствие 2

Пусть прямая (p) параллельна плоскости (mu) . Если плоскость (pi) проходит через прямую (p) и пересекает плоскость (mu) , то линия пересечения плоскостей (pi) и (mu) — прямая (m) — параллельна прямой (p) (рис. 8).

Доказательство

Т.к. прямые (m) и (p) лежат в одной плоскости (pi) , то они могут быть либо параллельны, либо пересекаться, либо совпадать. Совпадать они не могут, потому что тогда (pin mu) , а это противоречит условию. Если (mcap p=O) , то (p) пересекает плоскость (mu) в точке (O) , что опять же противоречит условию. Значит, (mparallel p) .

Следствие 3

Если прямые (a) и (b) параллельны и прямая (a) также параллельна плоскости (alpha) , то и прямая (b) либо параллельна, либо лежит в плоскости (alpha) .

Определение

Существует три типа взаимного расположения плоскостей в пространстве: совпадают (имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой), пересекаются (имеют общие точки, лежащие строго на одной прямой), и не имеют общих точек.

Если две плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными плоскостями.

Теорема 5: признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

Доказательство

Рассмотрим две плоскости (pi) и (mu) и в них пересекающиеся прямые (a, b) и (a_1, b_1) соответственно, такие что (aparallel a_1, bparallel b_1) . Докажем, что плоскости не имеют общих точек.

Предположим, что это не так. Пусть плоскости имеют общую точку, значит они имеют и общую прямую (y) : (picap mu=y) . Данная прямая не может быть параллельна обеим прямым (a) и (b) (т.к. они все лежат в одной плоскости (pi) ), значит, хотя бы одну из этих прямых она пересекает. Пусть это будет прямая (a) , то есть (acap y=Y) . Т.к. прямая (y) лежит и в плоскости (mu) , то (Yin mu) , то есть прямая (a) имеет с плоскостью (mu) общую точку (Y) . Но это невозможно, т.к. по признаку параллельности прямой и плоскости прямая (a) параллельна плоскости (mu) . Чтд.

Следствие 4

Если две параллельные плоскости (alpha) и (beta) пересечены третьей плоскостью (gamma) , то линии пересечения плоскостей также параллельны:

[alphaparallel beta, alphacap gamma=a, betacapgamma=b Longrightarrow aparallel b]