Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Какие из следующих утверждений верны?

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.

2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.

3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.

4) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.» — неверно, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны, если их вершины лежат по одну сторону от хорды.

2) «Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.» — неверно, окружности имеют две общие точки.

3) «Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.» — верно, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая и окружность имеют две общие точки.

4) «Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.» — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги,на которую он опирается.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Углы, связанные с окружностью

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно лиВписанные и центральные углы
Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно лиУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно лиДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголВписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли
Вписанный уголВписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно лиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголВписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно лиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголВписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно лиДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголВписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно лиВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаВписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиВписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно лиВписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаВписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно лиВписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияВписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно лиВписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли
Угол, образованный касательной и секущейВписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно лиВписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли
Угол, образованный двумя касательными к окружностиВписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно лиВписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли
Формула: Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли
Формула: Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

В этом случае справедливы равенства

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

В этом случае справедливы равенства

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

Вписанные углы, опирающихся на одну дугу (или на одну хорду), обладают полезным свойством, вытекающим из теоремы о вписанном угле.

Следствие из теоремы о вписанном угле.

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу (или на одну хорду), равны.

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла.

Отсюда, любой вписанный угол, опирающийся на дугу AC, равен половине центрального угла AOC (или половине дуги AC).

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности равны верно ли

Что и требовалось доказать.

Это свойство вписанных углов очень часто используется при решении задач. Позже мы рассмотрим несколько таких задач.

💡 Видео

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.

№1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательныеСкачать

№1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательные

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян

Углы в окружности | ФормулыСкачать

Углы в окружности | Формулы

8 класс. Решаем задачи на центральные и вписанные углы | Часть 1Скачать

8 класс. Решаем задачи на центральные и вписанные углы |  Часть 1

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 классСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 класс

Геометрия. 8 класс. Урок 11 "Вписанные углы"Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 11 "Вписанные углы"

Занятие 7. Окружность. Центральные и вписанные углы. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭСкачать

Занятие 7. Окружность. Центральные и вписанные углы. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭ

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105
Поделиться или сохранить к себе: