2019-06-12 
В концах диаметра окружности стоят единицы. Каждая из получившихся полуокружностей делится пополам, и в ее середине пишется сумма чисел, стоящих в концах (первый шаг). Затем каждая из четырех получившихся дуг делится пополам, и в ее середине пишется число, равное сумме чисел, стоящих в концах дуги (второй шаг). Такая операция проделывается $n$ раз. Найдите сумму всех записанных чисел.
Пусть $S_n$ — сумма всех чисел после $n$-го шага. Нетрудно доказать, что после $(n + 1)$ -го шага сумма станет равна $2S_n + S_n = 3S_n$.
Итак, сумма всех чисел каждый раз увеличивается втрое, так что на $n$-шаге она будет равна $2 cdot 3^n$.
Ответ: $2 cdot 3^n$. После первого шага сумма всех чисел будет равна $6 = 2 cdot 3$.
Видео:Радиус и диаметрСкачать
Математическая индукция 1
Видео:КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать
Гимназия 1543, 8-В класс Листик 1, 3 сентября 2009.
Математическая индукция 1.
Из квадрата клетчатой бумаги размером 16Ч16 вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на «уголки» из трёх клеток. Придумайте обобщение этой задачи.
Принцип математической индукции состоит в следующем:
Пусть есть последовательность утверждений, занумерованных натуральными числами У1, У2, У3, …Тогда, если
- Верно утверждение У1 (база индукции),
- для любого натурального числа k из утверждения Уk следует утверждение Уk+1, (индукционный переход, или шаг математической индукции)
то тогда верны утверждения ряда Уn для всех натуральных n.
Замечание. Идею индукции легко понять на примере лестницы. Допустим, мы хотим научить робота подниматься по лестнице. Тогда нам достаточно научить его двум вещам – как сделать первый шаг и как переступать со ступеньки на ступеньку. Как только это усвоено ‑ робот может подняться на любую высоту.
Задачи можно решать и не подряд, хотя начать лучше с первых основных, а потом уже смотреть на дополнительные.
Все задачи этого листика следует решать с помощью метода математической индукции. ☺
(Игра «Ханойская башня») Имеется пирамида с n кольцами возрастающих размеров и еще два пустых стержня той же высоты. Разрешается перекладывать верхнее кольцо с одного стержня на другой, но при этом запрещается класть большее кольцо на меньшее. Докажите, что
а) можно переложить все кольца с первого стержня на один из пустых стержней;
б) это можно сделать за 2n–1 перекладываний.
Вадик нарисовал на плоскости треугольник. Таня провела n прямых, которые разделили треугольник на части. Докажите, что хотя бы одна из этих частей снова треугольник. В Математической стране 100 городов. Любые два города соединены напрямую либо автодорогой, либо подземной дорогой. Докажите, что или из любого города в любой можно проехать на автомобиле, или из любого города в любой можно добраться на метро. (Старинная задача) У Васи есть очень много трех — и пятикопеечных монет. Какую сумму он может ими заплатить? (найдите все варианты и докажите, что других нет) Докажите, что любое число можно представить как сумму а) нескольких различных степеней двойки (т. е. перевести его в двоичную систему счисления).
б) нескольких степеней тройки так, чтобы каждой степени было не более двух штук (перевести в троичную систему счисления).
Несколько прямых находятся в общем положении – если среди них нет параллельных, и никакие три из них не пересекаются в одной точке.
На сколько частей делят плоскость 2009 прямых общего положения? Про число x известно, что x +1/x – целое. Докажите, что xn + 1/xn – целое.
В концах диаметра окружности стоят единицы. На первом шаге каждая из получившихся дуг делится пополам, и в её середине пишется сумма чисел, стоящих в концах. Затем то же самое делается с каждой из четырёх полученных дуг и т. д. Такая операция проделывается n раз. Найти сумму всех полученных чисел. а) Докажите, что квадрат можно разрезать на любое, большее пяти, число квадратов (не обязательно одинаковых).
б) Докажите, что равносторонний треугольник можно разрезать на любое, большее пяти, число равносторонних треугольников (не обязательно одинаковых).
б)* На какое наибольшее число частей могут разделить пространство 2009 плоскостей?
В правильном n-угольнике вершины раскрашены в 3 цвета. При этом оказалось, что соседние вершины покрашены в разные цвета и все цвета использованы. Докажите что его можно разрезать диагоналями на треугольники, так что у каждого треугольника, вершины покрашены в разные цвета. В трех бочках содержится в сумме 128 литров воды, причем в каждой – целое число литров. Разрешается выбрать две бочки и перелить из одной в другую столько воды, сколько там уже есть. Докажите, что можно собрать всю воду в одной бочке (если бочки достаточно большие). *Восьмого марта каждая из n учительниц пришла в школу с букетом из одного цветка. При этом оказалось, что все цветы разные. Каждая учительница может подарить любой другой учительнице все или часть имеющихся у нее цветов. Нельзя дарить букет, если букет, состоящий из точно тех же цветов, в этот день уже кому-то дарили. Какое наибольшее количество букетов могло быть подарено?
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Радиус и диаметр окружности
Окружность — это фигура в геометрии, которая состоит
из множества точек, расположенных на одинаковом
расстоянии от заданной точки (центра окружности).
Радиус окружности — это отрезок, который соединяет
центр окружности с какой-либо точкой окружности.
Диаметр окружности — это отрезок, который соединяет
две любые точки окружности, причем сам отрезок
должен проходить через центр окружности
Eсли от центра окружности провести
отрезки ко всем точкам окружности, то они будут иметь
одинаковую длину, то есть равны. В математике
такие отрезки называют радиусами.
Все радиусы окружности, как и диаметры окружности,
равны между собой, имеют одинаковую длину.
На рисунке выше изображена окружность, с центром в точке O.
OA = OB = OC — радиусы окружности;
BC = CO + OB — диаметр окружности;
Радиус окружности принято обозначать маленькой либо большой буквой, r или R.
Диаметр окружности обозначают буквой D.
Диаметр окружности условно состоит из двух
радиусов и равен длинам этих радиусов.
Длину радиуса окружности можно найти через диаметр окружности.
Для этого достаточно разделить на два длину диаметра окружности,
получившееся число и будет радиусом.
Формула радиуса окружности через диаметр:
Формула диаметра окружности через радиус:
Также, окружность, может быть вписанной в фигуру, описанной
около фигуры; или вообще может быть не вписана и не описана.
Формула радиуса окружности зависит от того находится фигура
внутри окружности, или окружность находится около фигуры.
Существует радиус вписанной окружности
и радиус описанной окружности.
Формулы радиуса вписанной и радиуса описанной окружностей
зависят в первую очередь от геометрической фигуры.
Радиус вписанной окружности — это радиус окружности,
которая вписана в геометрическую фигуру.
Радиус описанной окружности — это радиус окружности,
которая описана около геометрической фигуры.
📽️ Видео
РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать
Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать
Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать
Окружность. 7 класс.Скачать
Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать
Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать
Задача на окружности из ОГЭ-2023!! Разбор за 30 секСкачать
Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать
Задача на вычисление диаметра окружностиСкачать
Движение по окружности | задачи ЕГЭ по профильной математикеСкачать
Окружности с нуля, 9 класс | Математика ОГЭ 2024 #сотка #огэ2024 #математика #геометрияСкачать
№146. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, еслиСкачать
Вписанный угол, который опирается на диаметрСкачать
16 задание ОГЭ математика 2023 | УмскулСкачать
Вся геометрия 7–9 класс с нуля | ОГЭ МАТЕМАТИКА 2023Скачать
