Вычислить двойной интеграл если область ограничена окружностью (5 видео)

Двойные интегралы в полярных координатах: теория и примеры

Содержание

Что значит вычислить двойной интеграл в полярных координатах?
Пределы интегрирования в повторных интегралах
Случай первый
Случай второй
Случай третий
Случай четвёртый
Решения двойных интегралов в полярных координатах: примеры
Вычислить двойной интеграл если область ограничена окружностью
Контакты
Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойных интегралов в полярных координатах.
💥 Видео

Видео:Двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Что значит вычислить двойной интеграл в полярных координатах?

Если область интегрирования представляет собой окружность или часть окружности, двойной интеграл проще вычислить не в декартовых прямоугольных координатах, а в полярных координатах. В этом случае подынтегральная функция выражается как функция полярных переменных r и φ с использованием соотношений между полярными и декартовыми координатами x = rcosφ и y = rsinφ :

Что представляет собой элемент площади dxdy , выраженный в полярных координатах? Для ответ на этот вопрос разделим область интегрирования D на участки линиями окружности r = const и лучами φ = const . Рассмотрим один частичный участок (заштрихованный на рисунке), который ограничивают лучи, образующие с полярной осью углы φ и φ + dφ и линии окружности с радиусом r и r + dr . Этот криволинейный четырёхугольник можем приближенно считать прямоугольником с длиной боковой стороны dr и длиной основания rdφ . Поэтому элемент площади в полярных координатах выражается следующим образом:

а двойной интеграл в полярных координатах записывается так:

Чтобы вычислить двойной интеграл в полярных координатах, его нужно выразить через повторные интегралы, так же, как и «обычный» двойной интеграл в декартовых прямоугольных координатах. В полярных координатах внешний интеграл всегда интегрируется по углу φ , а внутренний — по радиусу r .

Вычислить двойной интеграл в полярных координатах — значит, как и в декартовых прямоугольных координатах, найти число, равное площади упомянутой фигуры D .

Видео:Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Пределы интегрирования в повторных интегралах

При переходе от двойного интеграла в полярных координатах к повторным интегралам расстановку пределов интегрирования могут облегчить следующие закономерности.

Случай первый

Полюс O является внутренней точкой области интегрирования D , область ограничена линией r = r(φ) .

Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны 0 и 2π , а внутреннего интеграла — 0 и r(φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

Случай второй

Полюс O находится на границе области интегрирования D , ограниченного линией r = r(φ) , но не является угловой точкой.

Через полюс O проведём касательную. Пусть касательная образует с полярной осью угол α . Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и π + α , а внутреннего интеграла — 0 и r(φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

Случай третий

Полюс O находится на границе области интегрирования D , ограниченного линией r = r(φ) , и является угловой точкой.

Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область D . Пусть эти лучи образуют с полярной осью углы α и β . Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и β , а внутреннего интеграла — 0 и r(φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

Случай четвёртый

Полюс O находится вне области интегрирования D .

Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область D . Пусть эти лучи образуют с полярной осью углы α и β , а область D ограничивают линии r = r 1 (φ) и r = r 2 (φ) . Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и β , а внутреннего интеграла — r 1 (φ) и r 2 (φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

Видео:Двойной интеграл / Как находить двойной интеграл через повторный (двукратный) / Два способаСкачать

Решения двойных интегралов в полярных координатах: примеры

Пример 1. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

где область D ограничена линиями , , .

Решение. Строим на чертеже область интегрирования. Видим, что этот пример относится к третьему случаю из вышеописанных четырёх случаев расположения области интегрирования.

Выразим подынтегральную функцию как функцию полярных переменных:

Данные в условии линии, ограничивающие D , приводим к полярным координатам:

Переходим от двойного интеграла к повторному, учитывая пределы интегрирования, верные в третьем случае:

Вычисляем интеграл (так как повторные интегралы независимы друг от друга, каждый из них вычисляем отдельно и результаты перемножаем):

Пример 2. В повторном интеграле

перейти к полярной системе координат.

Решение. В повторном интеграле переменная x изменяется от -1 до 1, а переменная y — от параболы x² до 1. Таким образом, область интегрирования снизу ограничена параболой y = x² , а сверху — прямой y = 1 . Область интегирования изображена на следующем чертеже.

При переходе к полярным координатам область интегрирования нужно разделить на три части. Значит, данный повторный интеграл должен быть вычислен как сумма трёх интегралов. В первой области полярный радиус меняется от 0 до параболы, во второй области — от 0 до прямой y = 1 , в третьей области — от 0 до параболы. Точки пересечения прямой y = 1 и параболы: (1; 1) и (−1; 1) . В первой точке полярный угол составляет , во второй точке он составляет . Поэтому в первой области φ меняется от от 0 до , во второй области — от 0 до , в третьей области — от до π .

Запишем линии, ограничивающие область интегрирования в полярной системе координат. Найдём уравнение прямой y = 1 : или . Найдём уравнение параболы y = x² в полярной системе координат:

Теперь у нас есть всё, чтобы от данного повторного интеграла перейти к полярным координатам:

Пример 3. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

где область D ограничена линией окружности .

Решение. Строим на чертеже область интегрирования.

Область интегрирования ограничивает линия окружности с центром в точке (a; 0) и радиусом a . В этом легко убедиться, преобразовав её уравнение следующим образом:

Линия окружности касается оси Oy , поэтому полярный угол в области интегрирования меняется от до . Подставим и в уравнение окружности и получим

Напишем подынтегральную функцию в полярных координатах:

Теперь можем перейти в данном двойном интеграле к полярным координатам:

Наконец, находим двойной интеграл в полярных координатах:

В полученном выражении второе слагаемое равно нулю, так как и sinπ , и sin(−π) равны нулю. Продолжая, получаем:

Пример 4. Вычислить плоской фигуры, которую ограничивают линии , , , .

Решение. Построим заданную фигуру на следующем рисунке.

Так как фигура является частью круга, её площадь проще вычислить в полярных координатах. Данные уравнения линий перепишем в полярных координатах:

Таким образом, у нас есть всё, чтобы записать площадь фигуры в виде двойного интеграл в полярных координатах, перейти к повторному интегралу и вычислить его:

Пример 5. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

где область D ограничена линиями и .

Решение. Преобразуем данные уравнения линий, чтобы было проще построить чертёж:

Строим на чертеже область интегрирования.

В данных уравнениях линий перейдём к полярным координатам:

В данном двойном интеграле перейдём к полярным координатам, затем к повторным интегралам и вычислим интеграл:

Видео:Вычислить двойной интегралСкачать

Вычислить двойной интеграл если область ограничена окружностью

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Видео:Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатамСкачать

Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойных интегралов в полярных координатах.

Вычислить двойной интеграл если область ограничена окружностью

( 7)

При вычислении двойных интегралов иногда бывает полезно сделать замену переменных. Пусть

( 8)

функции, определенные на всей плоскости xOy или в некоторой ее области D_xy и имеющие непрерывные частные производные в области D_xy. Допустим также, что систему уравнений ( 7) можно однозначно разрешить относительно x и y:

Тогда каждой точке М(x;y) из области D_xy будет взаимно однозначно соответствовать пара чисел (u,v), называемых криволинейными координатами этой точки. Если область D_xy расположена в той части плоскости xOy, в которой введены криволинейные координаты u, v, то справедлива следующая формула:

( 9)

где D_uv – область изменения криволинейных координат u и v, отвечающая области D_xy, а I(u,v) – якобиан преобразования ( 8):

( 10)

Например, для полярных координат имеем:

В зависимости от строения области интегрирования или подынтегральной функции вычисление двойного интеграла может оказаться более простым не в прямоугольной, а в какой-нибудь из криволинейных систем координат. Наиболее распространенной из них является полярная.

Для того, чтобы преобразовать двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах в двойной интеграл в полярных координатах, нужно x и y в подынтегральной функции заменить соответственно через rcosj и rsinj, а выражение dxdy заменить выражением rdrdj:

( 11)

где D_r_j – та же область D_ху, но описанная в полярных координатах (поскольку в этом случае якобиан I = r).

В этой формуле следует обратить внимание на то, что в подынтегральной функции не только происходит замена координат по формулам перехода от декартовых к полярным, но и появляется дополнительный множитель r.

Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат, также как и в декартовой, сводится к двукратному интегрированию, но, соответственно, по переменным r и j. Расстановку пределов при вычислении интегралов в полярных координатах можно производить, используя чертеж области интегрирования на плоскости Oxy и геометрический смысл полярных координат.

Пусть, например, внешнее интегрирование производится по j и область D_ρφ является правильной в направлении j = сonst, т.е. каждый луч, выходящий из начала координат, пересекает область D_ρφ по отрезку
(рис. 14).

Тогда справедлива формула:

(12)

В частном случае, когда D содержит начало координат, имеем:

( 13)

Если же внешнее интегрирование производится по r и область D_ρφ является правильной в направлении
r = const, т.е. каждая окружность пересекает, имея центром начало координат, область D_ρφ по дуге этой окружности (только в двух точках) (см. рис.16), то справедлива формула:

( 14)

Пример 12.

Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями: x 2 + y 2 = 1, y = 0, x = 2, y = x и лежащей в первом квадранте.

Хотя данный интеграл можно вычислить в прямоугольной декартовой системе координат, в которой он задан, но неопределенные интегралы, которые при этом возникнут, достаточно сложны.

Перейдем к полярной системе координат. Вспомним, что . Построив область интегрирования (рис. 17), мы видим, что для точек области полярный угол меняется в пределах от 0 до p/4, а при каждом значении j из этого промежутка полярный радиус меняется от 1 до 2/cosj (последнее мы получим, подставив в уравнение х = 2 выражение для х через полярные координаты: rcosj = 2 и разрешив полученное соотношение относительно r).

Таким образом, искомый интеграл можно представить в виде:

Пример 13.

Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена окружностью x 2 + y 2 = 1.

Область D есть круг радиуса 1 с центром в начале координат. Введем полярные координаты. В полярных координатах x 2 + y 2 = r 2 и уравнение окружности принимает вид r = 1.

Тогда по формуле ( 13) получаем:

Пример 14.

Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена половиной дуги окружности x 2 + z 2 = ax и отрезком оси Ox от точки с абсциссой равной 0 до точки с абсциссой равной а.

Область D – полукруг. Введем полярные координаты: x = rcosj, z = rsinj.

Уравнение окружности в полярных координатах принимает вид r 2 = racosj, или r = acosj.

Подынтегральная функция имеет вид z = rsinj. Угол j меняется от 0 до p/2 (полукруг находится в I четверти). При каждом фиксированном значении угла j r меняется от 0 (в начале координат) до r = acosj (на окружности). Тогда получаем:

Пример 15.

В двойном интеграле расставить пределы интегрирования в полярных координатах, если область D является квадратом с вершинами в точках О(0;0), А(1;0), В(1;1), С(0;1).

Уравнение стороны АВ (х = 1) в полярных координатах принимает вид rcosj = 1, или r = 1/cosj, а ВС будет r = 1/sinj. Угол j меняется от 0 до p/2 (квадрат находится в I четверти). При изменении угла от 0 до p/4 r меняется от 0 до r = 1/cosj, а при изменении угла от p/4 до p/2 r меняется от 0до r = 1/sinj.