Видео:8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать
свойства высоты в треугольнике
Свойство 1
Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника.
Свойство 2
Если AD, BE, CF — высоты треугольника ABC, O — точка пересечения этих высот или их продолжений, то:
Свойство 3
Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, подобных между собой и подобных исходному треугольнику:
Высота на сторону c вычисляется по формулам:
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№31 - Теорема о пересечении высот треугольника.)Скачать
Точка пересечения высот треугольника — свойства, координаты и расположение ортоцентра
Видео:Высоты треугольника пересекаются в одной точкеСкачать
Что такое высота
Если из вершины опустить перпендикуляр на противоположную сторону, получится отрезок, который именуется высотой. В равнобедренном треугольнике 2 отрезка равны, а в равностороннем равны все 3.
У фигур с углами 90 и более градусов высота попадает на противоположную сторону. В случае острого угла дело обстоит иначе. Прямая попадет только на продолжение противоположной стороны и будет находиться вне самой фигуры. Таким образом, если все углы острые, отрезки будут находиться внутри, как и ортоцентр. В тупоугольной фигуре два из трех отрезков будут проходить за его пределами — ортоцентр окажется вне фигуры.
Видео:Геометрия 7.Треугольники урок 6. Высота треугольника. Определение, свойства, точки пересечения высотСкачать
Свойства ортоцентра
Свойства высот треугольника, пересекающихся в одной точке, давно изучены и описаны. Согласно основному из них, все 3 высоты всегда пересекаются в одном месте. Иногда, чтобы найти это место, отрезки нужно продлить, превратив в ортогональные прямые.
Ортоцентр по отношению к фигуре может быть расположен:
- внутри;
- снаружи;
- в вершине (у прямоугольных треугольников)
Ортоцентр — важная в геометрии характеристика, влияющая на нахождение золотого сечения.
Так называется маленький треугольник, расположенный внутри основного, находящийся на пересечении его трех параметров:
Золотое сечение может представлять собой не только треугольную фигуру, но и отрезок. В правильном треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, значит, золотое сечение превращается в точку.
Полезные факты
Местонахождение ортоцентра имеет некоторые закономерности. Их знание принесет пользу при решении задач.
Пусть:
- H — ортоцентр в ABC;
- О — центр описанной окружности.
Тогда:
- окружности, описанные вокруг АБС, АНВ, CHB, HCA, равны:
- отрезок BH вдвое длиннее отрезка АС;
- середины отрезков AC и BH разделены расстоянием, равным радиусу описанной окружности.
Задача Фаньяно
Это классическая теорема. Она возникла в процессе поиска фигур с наименьшим периметром. Теорему доказал Фаньяно — итальянский математик и инженер. Это произошло еще в начале XVIII века.
Формулировка: ортотреугольник, то есть фигура, полученная соединением трех оснований треугольника, проведенный внутри остроугольного треугольника, имеет самый маленький периметр изо всех возможных, вписанных в данную фигуру.
Площадь ортотреугольника рассчитывается по формуле:
Здесь S — площадь, а, b, c — стороны.
Существует понятие ортоцентрической системы. Оно включает в себя 3 вершины и место пересечения их высот. Любая из данных четырех точек будет являться ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными.
Видео:ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ВЫСОТ треугольника ТЕОРЕМА 8 класс АтанасянСкачать
История изучения
Важное значение имеет место пересечения медиан или центр тяжести. Вместе с ортоцентром это еще одна «замечательная точка», которая была известна еще древним грекам. Так их стали называть начиная с 18 века, другое название «особенные».
Исследование этих точек стало началом для создания геометрии треугольника, основателем которой считается Леонард Эйлер. Ученый показал, что в любом треугольнике точки соединения высот, медиан и центр описанного круга находятся на одной линии, которую позже назвали прямой Эйлера.
В позапрошлом веке была обнаружена окружность 9 точек или Фейербаха. Она состоит из оснований медиан, высот и центров высот. Оказалось, что все эти точки лежат на общей окружности, центр которой находится на линии Эйлера.
Каждый отрезок, прочерченный из ортоцентра до соединения с описанной окружностью, всегда будет делиться линией Эйлера на 2 равные части.
Треугольник — удивительная фигура, изучением которой занимается целый раздел геометрии. Ортоцентр и его свойства имеют широкое применение в практической жизни, например, в строительстве. Этот показатель настолько важен и распространен, что существуют калькуляторы, позволяющие определить местонахождение точки по координатам вершин.
Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать
Теорема о пересечении высот треугольника
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На данном уроке мы рассмотрим важную теорему о том, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»
📺 Видео
Почему высоты треугольника пересекаются в одной точке?Скачать
Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
Высоты треугольника.Скачать
№264. Высоты АА1 и ВВ1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, еслиСкачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Точка пересечения высот | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать
Почему высоты треугольника пересекаются в одной точке? | Vasily mathsСкачать
Точка пересечения высот треугольника.Скачать
№212. Прямые, содержащие высоты АА1 и ВВ1 треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В - тупой,Скачать
Точка пересечения высот треугольникаСкачать
Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Как доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке?Скачать
Построение высоты в треугольникеСкачать
