Дан параллелепипед найти координаты вектора

Как найти координаты вектора в базисе

Решение:
Записываем матрицу перехода А:

и находим ее определитель
0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f1 , f2 , f3 линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:

Обратная матрица А -1

Находим координаты вектора х относительно нового базиса.

Пример №1 . Даны векторы a, b, c и d . Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 — β*2 — γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b — 3/2c

Пример №2 . Даны векторы Дан параллелепипед найти координаты вектора. Показать, что векторы Дан параллелепипед найти координаты вектораобразуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора Дан параллелепипед найти координаты векторав этом базисе:

Дан параллелепипед найти координаты вектора

Дан параллелепипед найти координаты вектора

Дан параллелепипед найти координаты вектора

Пример №3 . Даны два линейных преобразования:
х’1 = a11x1 + a12x2 + a13x3, х»1 = b11x’1 + b12x’2 + b13x’3,
х’2 = a21x1 + a22x2 + a23x3, х»2 = b21x’1 + b22x’2 + b23x’3,
х’3 = a31x1 + a32x2 + a33x3, х»3 = b31x’1 + b32x’2 + b33x’3,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х»1, x»2, x»3 через х1, х2, х3.
х’1 = 4x1 + 3x2 + 5x3, х»1 = — x’1 + 3x’2 — 2x’3,
х’2 = 6x1 + 7x2 + x3, х»2 = — 4x’1 + x’2 + 2x’3,
х’3 = 9x1 + x2 + 8x3, х»3 = 3x’1 — 4x’2 + 5x’3,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:

A =
435
671
918

B =
-13-2
-412
3-45

Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 — 1*1) — 6*(3*8 — 1*5) + 9*(3*1 — 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1 : A -1 ·A·X = A -1 ·B, тогда получим E·X = A -1 ·B, или X = A -1 ·B.
Найдем обратную матрицу A -1 .

A -1 = -1/182
55-19-32
-39-1326
-572310

Матрицу Х ищем по формуле:

X = A -1 ·B = -1/182
55-19-32
-39-1326
-572310
*
-13-2
-412
3-45
=
75 /182-1 46 /911 9 /13
-13 /141 2 /7-1
5 /1821 3 /91-1 2 /13

Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e 1= AB , e 2= AC , e 3= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e 1, e 2, e 3)

Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.

Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (Дан параллелепипед найти координаты вектора, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид Дан параллелепипед найти координаты вектора Дан параллелепипед найти координаты вектора
Решим полученную систему уравнений.

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Координаты вектора в данном базисе.

Дата добавления: 2015-08-06 ; просмотров: 9211 ; Нарушение авторских прав

Базисом векторного пространства называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов этой системы.

В трехмерном векторном пространстве базис состоит из трех векторов, который обычно обозначается так: <е1, е2, е3 >.

Базис называется ортонормированным, если длины всех базисных векторов равны единицы, и базисные векторы попарно перпендикулярны. Ортонормированный базис обычно обозначается так: <i, j, k>.

Координатами вектора m в базисе <е1, е2, е3 >называются коэффициенты разложения вектора m по векторам базиса, т.е. если m = хе1 + уе2 + zе3, то числа х, у, z — координаты вектора m. В этом случае будем записывать m(х, у, z).

Имеет место теорема о координатах линейной комбинации:

1.24. Даны векторы а(2, 3, -1), b (0,1,4), с(1,0,-3). Найти координаты векторов: а) 2аb —2с,б)а — b —3с,в)а +2b +3с),г) а — b – с,

д) Дан параллелепипед найти координаты вектора( а + b), е) Дан параллелепипед найти координаты вектора(а — 2 b + с).

ОТВЕТ. а) (2,5,0), б) (-1,2,4), в) (5,5,-2), г) (1,2,-2), д) (1,1,3), е) (1, Дан параллелепипед найти координаты вектора,-4)

ПРИМЕР 1.7

Даны векторы а(1,1,2), b (-2, 3 5), с(-4,1,1), d (0, -1, 3) Можно ли вектор dпредставить в виде линейной комбинации векторов а, b, с? Если да, то найти коэффициенты этой линейной комбинации.

Выясним, существуют ли такие числи х, у, z, что

d =ха +уb +z с.(1)

По теореме о координатах линейной комбинации векторов из равенства (1) получаем выражение для первой координаты вектора dчерез первые координаты векторов а, b, с, и аналогичные выражения для вторых и третьих координат

0 = х — 2у — 4 z (2)

Выясним, имеет ли эта система решение. Из (2) следует, что

Затем, подставляя (5) в (3) и (4), получаем:

Система, состоящая из уравнений (2), (3), (4), равносильна системе, состоящей из уравнений (5), (6), (7) . Ясно, что последняя система не имеет решений, следовательно, и данная система не имеет решений,. Поэтому вектор dнельзяпредставить в виде линейной комбинации векторов а, b, с.

1.25. Определить, какие из данных троек векторов линейно зависимы:

а) а(-3,0, 2), b (2, 1, -4), с(11, -2, -2); б) а(1, 0, 7), b (-1, 2, 4), с(3, 2, 1);

в) а(5, -1,4),b (3,-5, 2), с(-1,-13, -2).

ОТВЕТ.. а), с) линейно зависимы.

1.26. Представить вектор d как линейную комбинацию векторов а, b, с:

1)а(2,3,1), b (5, 7, 0), с(3, -2, 4), d (4, 12, -3);

2) а(5, -2, 0), b (0, -3, 4), с(-6, 0, 1), d (25, -22, 16);

3)а(3, 5, 6), b (2, -7, 1), с(12, 0, 6), d (0, 20, 18).

ОТВЕТ. 1) d = а + b + с, 2) d = 5а + 4b, 3) d = 4ас.

1.27. Можно ли вектор d (1,1,1) представить в виде линейной комбинации векторов а(1,-1,0), b (2,2,1), с(0,-4,-1)?

ОТВЕТ.. Нет.

1.28. Даны векторы а(х, 3, 4), b (-1, 5, у).Существуют ли такие числа х и у, для которых система векторов <а, b >линейно зависима ?

ОТВЕТ. Да, х = — Дан параллелепипед найти координаты вектора, у = Дан параллелепипед найти координаты вектора.

ПРИМЕР 1.8

В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 К – середина ребра АА1, точка М лежит на ребре ВС и ВМ = Дан параллелепипед найти координаты вектораВС, О = А1С1 Дан параллелепипед найти координаты вектораВ1D1. Найти координаты вектора Дан параллелепипед найти координаты векторав базисе < Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты вектора> .

Так как координаты вектора в данном базисе это коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса, то данную задачу можно сформулировать так: выразить вектор Дан параллелепипед найти координаты векторачерез векторы Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты вектора,поэтому будем действовать так же, как при решении ПРИМЕРА 1.3.

Дан параллелепипед найти координаты вектора

1) Дан параллелепипед найти координаты вектора= Дан параллелепипед найти координаты вектора+ Дан параллелепипед найти координаты вектора= Дан параллелепипед найти координаты вектора+ Дан параллелепипед найти координаты вектора Дан параллелепипед найти координаты вектора= 2 Дан параллелепипед найти координаты вектора+ Дан параллелепипед найти координаты вектора Дан параллелепипед найти координаты вектора, т.е.

Дан параллелепипед найти координаты вектора=2 Дан параллелепипед найти координаты вектора+ Дан параллелепипед найти координаты вектора Дан параллелепипед найти координаты вектора. (1).

2) Выразим вектор Дан параллелепипед найти координаты векторачерез базисные векторы.

Дан параллелепипед найти координаты вектора= Дан параллелепипед найти координаты вектора+ Дан параллелепипед найти координаты вектора= — Дан параллелепипед найти координаты вектора+ Дан параллелепипед найти координаты вектора.(2)

3) Выразим вектор Дан параллелепипед найти координаты векторачерез базисные векторы.

Дан параллелепипед найти координаты вектора= Дан параллелепипед найти координаты вектора+ Дан параллелепипед найти координаты вектора= Дан параллелепипед найти координаты вектора= — Дан параллелепипед найти координаты вектора Дан параллелепипед найти координаты вектораДан параллелепипед найти координаты вектора(3)

4) Подставим (2) и (3) в (1), получим

Дан параллелепипед найти координаты вектора= 2(Дан параллелепипед найти координаты вектора+ Дан параллелепипед найти координаты вектора) + Дан параллелепипед найти координаты вектора(- Дан параллелепипед найти координаты вектора Дан параллелепипед найти координаты вектораДан параллелепипед найти координаты вектора) = 2Дан параллелепипед найти координаты вектораДан параллелепипед найти координаты вектораДан параллелепипед найти координаты вектораДан параллелепипед найти координаты вектора Дан параллелепипед найти координаты вектора.

Следовательно, первая координата вектора Дан параллелепипед найти координаты вектораравна 2, вторая координата равна — Дан параллелепипед найти координаты вектора, третья координата равна — Дан параллелепипед найти координаты вектора, т.е. Дан параллелепипед найти координаты вектора(2, — Дан параллелепипед найти координаты вектора, — Дан параллелепипед найти координаты вектора).

ОТВЕТ. Дан параллелепипед найти координаты вектора(2, — Дан параллелепипед найти координаты вектора, — Дан параллелепипед найти координаты вектора).

1.29. АВСD – тетраэдр. М и К – точки пересечения медиан граней ВСD и АDС, N – середина АВ, Р Дан параллелепипед найти координаты вектораВС и ВР : РС = 1 :2. Найти координаты векторов Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты векторав базисе < Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты вектора> .

ОТВЕТ. Дан параллелепипед найти координаты вектора( Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты вектора), Дан параллелепипед найти координаты вектора( Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты вектора, 0), Дан параллелепипед найти координаты вектора( Дан параллелепипед найти координаты вектора,0, — Дан параллелепипед найти координаты вектора), Дан параллелепипед найти координаты вектора(- Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты вектора).

1.30. АВСD – тетраэдр. N и К середины ребер ВС и АС. Найти координаты векторов Дан параллелепипед найти координаты вектораи Дан параллелепипед найти координаты векторав базисе < Дан параллелепипед найти координаты вектора> .

ОТВЕТ. Дан параллелепипед найти координаты вектора(-1,2,-2), Дан параллелепипед найти координаты вектора(2,-4,2).

1.31. В тетраэдре АВСD М- середина ВС, а N – точка пересечения медиан грани АDС. Найти координаты векторов Дан параллелепипед найти координаты вектораи Дан параллелепипед найти координаты векторав базисе < Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты вектора>.

ОТВЕТ. Дан параллелепипед найти координаты вектора(-1,-1,2), Дан параллелепипед найти координаты вектора(- Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты вектора).

1.32. В тетраэдре АВСD N — середина ВС, а М и К – точки пересечения медиан граней ВСD и АВD. Найти координаты векторов Дан параллелепипед найти координаты вектораи Дан параллелепипед найти координаты векторав базисе < Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты вектора>.

ОТВЕТ. Дан параллелепипед найти координаты вектора(- Дан параллелепипед найти координаты вектора, 1, Дан параллелепипед найти координаты вектора), Дан параллелепипед найти координаты вектора(-1, Дан параллелепипед найти координаты вектора, Дан параллелепипед найти координаты вектора).

Видео:№402. Даны координаты четырех вершин куба ABCDA1B1C1D1: А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0)Скачать

№402. Даны координаты четырех вершин куба ABCDA1B1C1D1: А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0)

Смешанное, векторное и скалярное произведение векторов

Задача:

Дан параллелепипед найти координаты вектораДан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, построен на векторах AB(4,3,0), AD(2,1,2) и AA1(-3,-2,5).
Найти:

Решение:

  • а) Объем параллелепипеда будем искать через смешанное произведение векторов (AB AD AA1). Мы знаем, что модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенному на этих векторах.
(AB AD AA1)=
430
212
-3-25
=20 — 18 + 0 — 0 — 30 + 16=-12.

Мы нашли смешанное произведение, ещё надо его взять по модулю и найдём объем параллелепипеда:
VABCDA1B1C1D1=12.
б) Площадь, как мы уже знаем, можно искать через векторное произведение векторов. Грань ABCD построена на векторах AB и AD, найдём их векторное произведение. SABCD= |[AB AD]|.

[AB AD]=
ijk
430
212
=6i — 8j — 2k,

Теперь найдём модуль этого вектора:

SABCD= |[AB AD]|=√(36+64+4)=2√(26).
[AD AA1]=
ijk
212
-3-25
=9i — 16jk,

SADD1A1= |[AD AA1]|=√(81+256+1)=13√2.

  • в) Что бы найти длину высоты, проведенной из вершины A1 на грань ABCD, используем формулу для нахождения объема параллелепипеда V=h SABCD. С этой формулы видим:
    h=
    V
    SABCD
    =
    12
    2√(26)
    =
    6
    √(26)
    =
    3√(26)
    13
    .
  • г) Косинус угла λ1, между ребром AB и диагональю B1D будем высчитывать с помощью скалярного произведения векторов
    cos(λ1)=
    (AB B1D)
    |AB| * |B1D|
    .

    Координаты вектора AB мы имеем, от вектор B1D надо найти. Для этого используем следующую формулу:
    B1D = B1A1 + A1A + AD = — AB — AA1 + AD1 = — (4, 3, 0) — (-3, -2, 5) + (2, 1, 2); (Не забывайте, что всё это векторы, надо сложить их соответствующие координаты. )
    Сделав вычисления по этой формуле, мы найдём, что вектор B1D имеет координаты (1, 0, -3). Теперь надо найти длину векторов AB и B1D:
    |AB|=√(16+9+0)=5, |B1D|=√(1+0+9)=√(10).
    Найдём скалярное произведение векторов AB и B1D, (AB B1D)=4*1 + 3*0 + 0*(-3)=4.
    Теперь, имея все данные мы можем подставить их в нашу формулу:

    cos(λ1)=
    4
    5√(10)
    =
    2√(10)
    25
    .

    д) Что бы найти cos(λ2), мы используем то, что угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами до этих плоскостей. А как мы знаем, векторное произведение — это и есть перпендикуляр до плоскости перемножаемых векторов. Поэтому в роле перпендикуляра к плоскости ADD1A1 мы можем взять вектор [AD AA1], который мы нашли в пункте б), и знаем, что его координаты (9, -16, -1), точно также и для плоскости ABCD — вектор [AB AD] с координатами (6, -8, -2).
    Теперь нам остаётся, как в предыдущем варианте найти только косинус угла между двумя векторами, координаты которых нам известны.

    cos(λ2)=
    6*9 + (-8)*(-16) + (-2)*(-1)
    2√(26) * 13√(2)
    =
    46√(13)
    169
    .

    Вот таким не хитрым способом мы и нашли косинус угла между гранями ABCD и ADD1A1.

    🔍 Видео

    №359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.Скачать

    №359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.

    Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

    Координаты точки и координаты вектора 1.

    Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

    Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

    №358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинамиСкачать

    №358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами

    Координаты вектора. 9 класс.Скачать

    Координаты вектора. 9 класс.

    11 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

    11 класс, 2 урок, Координаты вектора

    №933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).Скачать

    №933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).

    9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

    9 класс, 2 урок, Координаты вектора

    Координаты в новом базисеСкачать

    Координаты в новом базисе

    Правило параллелепипеда для векторовСкачать

    Правило параллелепипеда для векторов

    №355. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трех векторов компланарныСкачать

    №355. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трех векторов компланарны

    Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

    Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

    Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

    Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

    §20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать

    §20 Нахождение объёма параллелипипеда

    координаты вектора AH, который перпендикуляр из точки A к основанию параллелепипедаСкачать

    координаты вектора AH, который перпендикуляр из точки A к основанию параллелепипеда

    Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

    Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

    №338. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что OA + OC1=OC+OA1Скачать

    №338. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что OA + OC1=OC+OA1
  • Поделиться или сохранить к себе: