Решение:
Записываем матрицу перехода А:
и находим ее определитель
0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f1 , f2 , f3 линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:
Обратная матрица А -1
Находим координаты вектора х относительно нового базиса.
Пример №1 . Даны векторы a, b, c и d . Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 — β*2 — γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b — 3/2c
Пример №2 . Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:
Пример №3 . Даны два линейных преобразования:
х’1 = a11x1 + a12x2 + a13x3, х»1 = b11x’1 + b12x’2 + b13x’3,
х’2 = a21x1 + a22x2 + a23x3, х»2 = b21x’1 + b22x’2 + b23x’3,
х’3 = a31x1 + a32x2 + a33x3, х»3 = b31x’1 + b32x’2 + b33x’3,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х»1, x»2, x»3 через х1, х2, х3.
х’1 = 4x1 + 3x2 + 5x3, х»1 = — x’1 + 3x’2 — 2x’3,
х’2 = 6x1 + 7x2 + x3, х»2 = — 4x’1 + x’2 + 2x’3,
х’3 = 9x1 + x2 + 8x3, х»3 = 3x’1 — 4x’2 + 5x’3,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:
A = |
|
B = |
|
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 — 1*1) — 6*(3*8 — 1*5) + 9*(3*1 — 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1 : A -1 ·A·X = A -1 ·B, тогда получим E·X = A -1 ·B, или X = A -1 ·B.
Найдем обратную матрицу A -1 .
A -1 = -1/182 |
|
Матрицу Х ищем по формуле:
X = A -1 ·B = -1/182 |
| * |
| = |
|
Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e 1= AB , e 2= AC , e 3= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e 1, e 2, e 3)
Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.
Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид
Решим полученную систему уравнений.
Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать
Координаты вектора в данном базисе.
Дата добавления: 2015-08-06 ; просмотров: 9211 ; Нарушение авторских прав
Базисом векторного пространства называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов этой системы.
В трехмерном векторном пространстве базис состоит из трех векторов, который обычно обозначается так: <е1, е2, е3 >.
Базис называется ортонормированным, если длины всех базисных векторов равны единицы, и базисные векторы попарно перпендикулярны. Ортонормированный базис обычно обозначается так: <i, j, k>.
Координатами вектора m в базисе <е1, е2, е3 >называются коэффициенты разложения вектора m по векторам базиса, т.е. если m = хе1 + уе2 + zе3, то числа х, у, z — координаты вектора m. В этом случае будем записывать m(х, у, z).
Имеет место теорема о координатах линейной комбинации:
1.24. Даны векторы а(2, 3, -1), b (0,1,4), с(1,0,-3). Найти координаты векторов: а) 2а — b —2с,б)а — b —3с,в)а +2b +3с),г) а — b – с,
д) ( а + b), е) (а — 2 b + с).
ОТВЕТ. а) (2,5,0), б) (-1,2,4), в) (5,5,-2), г) (1,2,-2), д) (1,1,3), е) (1, ,-4)
ПРИМЕР 1.7
Даны векторы а(1,1,2), b (-2, 3 5), с(-4,1,1), d (0, -1, 3) Можно ли вектор dпредставить в виде линейной комбинации векторов а, b, с? Если да, то найти коэффициенты этой линейной комбинации.
Выясним, существуют ли такие числи х, у, z, что
d =ха +уb +z с.(1)
По теореме о координатах линейной комбинации векторов из равенства (1) получаем выражение для первой координаты вектора dчерез первые координаты векторов а, b, с, и аналогичные выражения для вторых и третьих координат
0 = х — 2у — 4 z (2)
Выясним, имеет ли эта система решение. Из (2) следует, что
Затем, подставляя (5) в (3) и (4), получаем:
Система, состоящая из уравнений (2), (3), (4), равносильна системе, состоящей из уравнений (5), (6), (7) . Ясно, что последняя система не имеет решений, следовательно, и данная система не имеет решений,. Поэтому вектор dнельзяпредставить в виде линейной комбинации векторов а, b, с. ■
1.25. Определить, какие из данных троек векторов линейно зависимы:
а) а(-3,0, 2), b (2, 1, -4), с(11, -2, -2); б) а(1, 0, 7), b (-1, 2, 4), с(3, 2, 1);
в) а(5, -1,4),b (3,-5, 2), с(-1,-13, -2).
ОТВЕТ.. а), с) линейно зависимы.
1.26. Представить вектор d как линейную комбинацию векторов а, b, с:
1)а(2,3,1), b (5, 7, 0), с(3, -2, 4), d (4, 12, -3);
2) а(5, -2, 0), b (0, -3, 4), с(-6, 0, 1), d (25, -22, 16);
3)а(3, 5, 6), b (2, -7, 1), с(12, 0, 6), d (0, 20, 18).
ОТВЕТ. 1) d = а + b + с, 2) d = 5а + 4b, 3) d = 4а – с.
1.27. Можно ли вектор d (1,1,1) представить в виде линейной комбинации векторов а(1,-1,0), b (2,2,1), с(0,-4,-1)?
ОТВЕТ.. Нет.
1.28. Даны векторы а(х, 3, 4), b (-1, 5, у).Существуют ли такие числа х и у, для которых система векторов <а, b >линейно зависима ?
ОТВЕТ. Да, х = — , у = .
ПРИМЕР 1.8
В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 К – середина ребра АА1, точка М лежит на ребре ВС и ВМ = ВС, О = А1С1 В1D1. Найти координаты вектора в базисе < , , > .
Так как координаты вектора в данном базисе это коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса, то данную задачу можно сформулировать так: выразить вектор через векторы , , ,поэтому будем действовать так же, как при решении ПРИМЕРА 1.3.
1) = + = + = 2 + , т.е.
=2 + . (1).
2) Выразим вектор через базисные векторы.
= + = — + .(2)
3) Выразим вектор через базисные векторы.
= + = = — – (3)
4) Подставим (2) и (3) в (1), получим
= 2(— + ) + (- – ) = 2– – .
Следовательно, первая координата вектора равна 2, вторая координата равна — , третья координата равна — , т.е. (2, — , — ).
ОТВЕТ. (2, — , — ).
1.29. АВСD – тетраэдр. М и К – точки пересечения медиан граней ВСD и АDС, N – середина АВ, Р ВС и ВР : РС = 1 :2. Найти координаты векторов , в базисе < , , > .
ОТВЕТ. ( , , ), ( , , 0), ( ,0, — ), (- , , ).
1.30. АВСD – тетраэдр. N и К середины ребер ВС и АС. Найти координаты векторов и в базисе < > .
ОТВЕТ. (-1,2,-2), (2,-4,2).
1.31. В тетраэдре АВСD М- середина ВС, а N – точка пересечения медиан грани АDС. Найти координаты векторов и в базисе < , , >.
ОТВЕТ. (-1,-1,2), (- , , ).
1.32. В тетраэдре АВСD N — середина ВС, а М и К – точки пересечения медиан граней ВСD и АВD. Найти координаты векторов и в базисе < , , >.
ОТВЕТ. (- , 1, ), (-1, , ).
Видео:№402. Даны координаты четырех вершин куба ABCDA1B1C1D1: А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0)Скачать
Смешанное, векторное и скалярное произведение векторов
Задача:
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, построен на векторах AB(4,3,0), AD(2,1,2) и AA1(-3,-2,5).
Найти:
Решение:
- а) Объем параллелепипеда будем искать через смешанное произведение векторов (AB AD AA1). Мы знаем, что модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенному на этих векторах.
(AB AD AA1) | = |
| = | 20 — 18 + 0 — 0 — 30 + 16 | = | -12 | . |
---|
Мы нашли смешанное произведение, ещё надо его взять по модулю и найдём объем параллелепипеда:
VABCDA1B1C1D1=12.
б) Площадь, как мы уже знаем, можно искать через векторное произведение векторов. Грань ABCD построена на векторах AB и AD, найдём их векторное произведение. SABCD= |[AB AD]|.
[AB AD] | = |
| = | 6i — 8j — 2k | , |
---|
Теперь найдём модуль этого вектора:
SABCD= |[AB AD]|=√ | (36+64+4) | =2√(26). |
---|
[AD AA1] | = |
| = | 9i — 16j — k | , |
---|
SADD1A1= |[AD AA1]|=√(81+256+1)=13√2.
h | = |
| = |
| = |
| = |
| . |
---|
cos(λ1) | = |
| . |
---|
Координаты вектора AB мы имеем, от вектор B1D надо найти. Для этого используем следующую формулу:
B1D = B1A1 + A1A + AD = — AB — AA1 + AD1 = — (4, 3, 0) — (-3, -2, 5) + (2, 1, 2); (Не забывайте, что всё это векторы, надо сложить их соответствующие координаты. )
Сделав вычисления по этой формуле, мы найдём, что вектор B1D имеет координаты (1, 0, -3). Теперь надо найти длину векторов AB и B1D:
|AB|=√(16+9+0)=5, |B1D|=√(1+0+9)=√(10).
Найдём скалярное произведение векторов AB и B1D, (AB B1D)=4*1 + 3*0 + 0*(-3)=4.
Теперь, имея все данные мы можем подставить их в нашу формулу:
cos(λ1) | = |
| = |
| . |
---|
д) Что бы найти cos(λ2), мы используем то, что угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами до этих плоскостей. А как мы знаем, векторное произведение — это и есть перпендикуляр до плоскости перемножаемых векторов. Поэтому в роле перпендикуляра к плоскости ADD1A1 мы можем взять вектор [AD AA1], который мы нашли в пункте б), и знаем, что его координаты (9, -16, -1), точно также и для плоскости ABCD — вектор [AB AD] с координатами (6, -8, -2).
Теперь нам остаётся, как в предыдущем варианте найти только косинус угла между двумя векторами, координаты которых нам известны.
cos(λ2) | = |
| = |
| . |
---|
Вот таким не хитрым способом мы и нашли косинус угла между гранями ABCD и ADD1A1.
🔍 Видео
№359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.Скачать
Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать
Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать
№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинамиСкачать
Координаты вектора. 9 класс.Скачать
11 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать
№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).Скачать
9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать
Координаты в новом базисеСкачать
Правило параллелепипеда для векторовСкачать
№355. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трех векторов компланарныСкачать
Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать
Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать
§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать
координаты вектора AH, который перпендикуляр из точки A к основанию параллелепипедаСкачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
№338. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что OA + OC1=OC+OA1Скачать