Свойства медианы треугольника и описанной окружности

math4school.ru

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Содержание
  1. Треугольники
  2. Основные свойства
  3. Равенство треугольников
  4. Подобие треугольников
  5. Медианы треугольника
  6. Биссектрисы треугольника
  7. Высоты треугольника
  8. Серединные перпендикуляры
  9. Окружность, вписанная в треугольник
  10. Окружность, описанная около треугольника
  11. Расположение центра описанной окружности
  12. Равнобедренный треугольник
  13. Равносторонний треугольник
  14. Прямоугольный треугольник
  15. Вневписанные окружности
  16. Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде
  17. Треугольники общего вида
  18. Треугольники общего вида.
  19. Свойства медиан:
  20. Свойства высот:
  21. Прямоугольный треугольник и его свойства:
  22. Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
  23. Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
  24. Значения тригонометрических функций некоторых углов:
  25. Тригонометрические тождества:
  26. Подобие треугольников
  27. Признаки подобия треугольников:
  28. Теорема синусов
  29. Теорема косинусов
  30. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  31. Типы треугольников
  32. По величине углов
  33. По числу равных сторон
  34. Вершины углы и стороны треугольника
  35. Свойства углов и сторон треугольника
  36. Теорема синусов
  37. Теорема косинусов
  38. Теорема о проекциях
  39. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  40. Медианы треугольника
  41. Свойства медиан треугольника:
  42. Формулы медиан треугольника
  43. Биссектрисы треугольника
  44. Свойства биссектрис треугольника:
  45. Формулы биссектрис треугольника
  46. Высоты треугольника
  47. Свойства высот треугольника
  48. Формулы высот треугольника
  49. Окружность вписанная в треугольник
  50. Свойства окружности вписанной в треугольник
  51. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  52. Окружность описанная вокруг треугольника
  53. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  54. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  55. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  56. Средняя линия треугольника
  57. Свойства средней линии треугольника
  58. Периметр треугольника
  59. Формулы площади треугольника
  60. Формула Герона
  61. Равенство треугольников
  62. Признаки равенства треугольников
  63. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  64. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  65. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  66. Подобие треугольников
  67. Признаки подобия треугольников
  68. Первый признак подобия треугольников
  69. Второй признак подобия треугольников
  70. Третий признак подобия треугольников

Видео:🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shorts

Треугольники

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 8 класс. Свойство медиан треугольникаСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс. Свойство медиан треугольника

Основные свойства

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Видео:Все свойства медианы в одной задаче.Скачать

Все свойства медианы в одной задаче.

Равенство треугольников

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Подобие треугольников

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Два треугольника подобны, если:

  • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  • Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
  • Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

Медианы треугольника

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

  • Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
  • Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Видео:СВОЙСТВА ВЫСОТ И ОРТОЦЕНТРАСкачать

СВОЙСТВА ВЫСОТ И ОРТОЦЕНТРА

Биссектрисы треугольника

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Длина биссектрисы угла А :

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.

Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

BL – биссектриса угла В ;

ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Видео:Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.Скачать

Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.

Высоты треугольника

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Длина высоты, проведённой к стороне а :

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Серединные перпендикуляры

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.

Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.

Видео:Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Окружность, вписанная в треугольник

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, описанная около треугольника

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Радиус описанной окружности:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Видео:Медиана треугольника. Построение. Свойства.Скачать

Медиана треугольника. Построение. Свойства.

Расположение центра описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружностиСвойства медианы треугольника и описанной окружностиСвойства медианы треугольника и описанной окружностиЦентр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.

Видео:Геометрия. 9 класс. Свойства медиан треугольника /06.05.2021/Скачать

Геометрия. 9 класс. Свойства медиан треугольника /06.05.2021/

Равнобедренный треугольник

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Основные формулы для равнобедренного треугольника:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Видео:Свойство медианы прямоугольного треугольникаСкачать

Свойство медианы прямоугольного треугольника

Равносторонний треугольник

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.

Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Прямоугольный треугольник

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

  • два катета;
  • катет и гипотенуза;
  • катет и прилежащий острый угол;
  • катет и противолежащий острый угол;
  • гипотенуза и острый угол.
  • одному острому углу;
  • из пропорциональности двух катетов;
  • из пропорциональности катета и гипотенузы.

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Площадь прямоугольного треугольника можно определить

через катеты: Свойства медианы треугольника и описанной окружности

через катет и острый угол: Свойства медианы треугольника и описанной окружности

через гипотенузу и острый угол: Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Радиус вписанной окружности:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Видео:Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.

Вневписанные окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.

Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Так точка О1 , центр одной из вневписанных окружностей Δ ABC , лежит на пересечении биссектрисы ∠ A треугольника ABC и биссектрис BО1 и C О1 внешних углов Δ ABC при вершинах B и C .

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.

Δ ABC является ортоцентричным в Δ О1О2О3 (точки A , B и C – основания высот в Δ О1О2О3 ).

В Δ ABC углы равны 180°–2 О1 , 180°–2 О2 , 180°–2 О3 .

Радиус окружности, описанной около Δ О1О2О3 , равен 2 R , где R – радиус окружности, описанной около Δ ABC .

Δ ABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в Δ О1О2О3 .

Если ra , rb , rс – радиусы вневписанных окружностей в Δ ABC , то в Δ ABC верно:

для rСвойства медианы треугольника и описанной окружности

для R – Свойства медианы треугольника и описанной окружности

для S – Свойства медианы треугольника и описанной окружности

для самих ra , rb , rсСвойства медианы треугольника и описанной окружности

Видео:✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис Трушин

Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

  • если c 2 > a 2 +b 2 , то угол γ – тупой ( cos γ
  • если c 2 2 +b 2 , то угол γ – острый ( cos γ > 0 );
  • если c 2 = a 2 +b 2 , то угол γ – прямой ( cos γ = 0 ).

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Теорема тангенсов (формула Региомонтана):

Видео:ВСЕ свойства ортоцентра для №16 на ЕГЭ 2023 по математикеСкачать

ВСЕ свойства ортоцентра для №16 на ЕГЭ 2023 по математике

Треугольники общего вида

Видео:Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать

Все факты о медиане треугольника для ЕГЭ

Треугольники общего вида.

Основные свойства треугольников:

  1. Сумма всех углов в треугольнике равна $180°$.
  2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  3. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой.
  4. В равностороннем треугольнике все углы по $60°$.
  5. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
  6. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

Биссектриса — это линия, которая делит угол пополам.

  1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.
  2. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.
  3. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
  4. В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.

Медиана — это линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Свойства медиан:

1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.

2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.

3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.

Высота в треугольнике — это линия, проведенная из вершины треугольника к противоположной стороне под углом в 90 градусов.

Свойства высот:

1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

2. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

3. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности (R)

4. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника.

5. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен: $r=/$ , где $а$ и $b$ – это катеты, $с$ – гипотенуза.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

  1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
  5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
  6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
  7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$$30$$45$$60$
$sinα$$/$$/$$/$
$cosα$$/$$/$$/$
$tgα$$/$$1$$√3$
$ctgα$$√3$$1$$/$

Тригонометрические тождества:

1. Основное тригонометрическое тождество:

2. Связь между тангенсом и косинусом одного и того же угла:

3. Связь между котангенсом и синусом одного и того же угла:

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

  1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
  2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников:

  1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
  2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
  3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

В треугольнике $АВС ВС=16, sin∠A=/$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.

Воспользуемся теоремой синусов:

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности

Далее подставим числовые данные и найдем $R$

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Типы треугольников

По величине углов

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

По числу равных сторон

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Свойства медианы треугольника и описанной окружности

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Поделиться или сохранить к себе: