Четырехугольник изображен вершины которого имеют (8 видео)

Четырехугольник изображен вершины которого имеют

Найдите площадь прямоугольника, вершины которого имеют координаты (8; 0), (9; 2), (1; 6), (0; 4).

Площадь четырехугольника равна разности площади прямоугольника и четырех прямоугольных треугольников. Поэтому

Приведем другое решение.

Пусть А(8; 0), В(9; 2), С(1; 6), D(0; 4). Найдем стороны четырехугольника:

Тогда площадь прямоугольника

Содержание

Площадь 5-6 кл Наглядная геометрия
Просмотр содержимого документа «Площадь 5-6 кл Наглядная геометрия»
Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике
🔥 Видео

Видео:Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 39Скачать

Площадь 5-6 кл Наглядная геометрия

Просмотр содержимого документа
«Площадь 5-6 кл Наглядная геометрия»

Измерение площади фигуры, как и измерения длины отрезка, основано на сравнении этой фигуры с фигурой, площадь которой принимается за единицу.

За единицу измерения площади принимается квадрат со стороной, равной единице измерения длины. Он называется единичным квадратом.

Площадь фигуры – это число, показывающее сколько раз единичный квадрат и его части укладываются в данной фигуре.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Две фигуры называются равновеликими , если они имеют одинаковую площадь.

Для площадей плоских фигур справедливы свойства, аналогичные свойствам длин отрезков.

Свойство 1 . Площадь фигуры является неотрицательным числом.

Свойство 2 . Равные фигуры имеют равные площади.

Свойство 3 . Если фигура Ф составлена из двух неперекрывающихся фигур Ф 1 и Ф 2 , то площадь фигуры Ф равна сумме площадей фигур Ф 1 и Ф 2 , т.е. S ( Ф ) = S ( Ф 1 ) + S ( Ф 2 ).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Свойство 4. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Найдите площадь фигуры , изображенной на рисунке (строны квадратных клеток равны 1) .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь фигуры , изображенной на рисунке (строны квадратных клеток равны 1) .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Укажите равновеликие фигуры.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) и д); в) и г) .

Найдите площадь четырехугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь четырехугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь фигуры.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь многоугольника, изображенного на рисунке, все углы которого прямые.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь многоугольника, изображенного на рисунке, все углы которого прямые.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь фигуры, составленной из двух единичных квадратов, вершина одного из которых расположена в центре другого, как показано на рисунке.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Как изменится площадь прямоугольника, если его стороны: а) увеличатся в 2 раза; б) уменьшатся в 3 раза; в) изменятся в k раз?

Ответ: а) Увеличится в 4 раза;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) уменьшится в 9 раз;

в) изменится в k 2 раз.

Найдите площадь квадрата, если его периметр равен 80 см.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Прямоугольник со сторонами 2 и 4 повернут вокруг точки O пересечения его диагоналей на угол 90 о . Найдите площадь общей части исходного прямоугольника и повернутого.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь четырехугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Укажите равновеликие фигуры.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а), д), в) и е); г), и) и з).

Найдите площадь четырехугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь четырехугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь четырехугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Укажите равновеликие треугольники.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а), г), е) ж) и з); б) и д).

Найдите площадь четырехугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь четырехугольника

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь четырехугольника

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь пятиугольника

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь шестиугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите площадь восьм иугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вершина одного единичного квадрата находится в центре другого единичного квадрата. Найдите площадь их общей части.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Изобразите четырехугольник, вершины которого имеют координаты (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2). Найдите его площадь.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Изобразите четырехугольник, вершины которого имеют координаты (1, 1), (4, 1), (4, 3), (1, 3). Найдите его площадь.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Изобразите четырехугольник, вершины которого имеют координаты (0, 0), (2, 0), (3, 3), (1, 3). Найдите его площадь.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Изобразите четырехугольник, вершины которого имеют координаты (0, 0), (3, 1), (4, 4), (1, 3). Найдите его площадь.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Изобразите треугольник, вершины которого имеют координаты (-1, 0), (3, 0), (3, 3). Найдите его площадь.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Изобразите треугольник, вершины которого имеют координаты (0, -2), (4, 0), (0, 3). Найдите его площадь.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Изобразите треугольник, вершины которого имеют координаты (3, 3), (1, 4), (-1, 1). Найдите его площадь.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Изобразите четырехугольник, вершины которого имеют координаты (0, 0), (4, 0), (3, 3), (0, 3). Найдите его площадь.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Изобразите четырехугольник, вершины которого имеют координаты (1, -1), (1, 0), (-2, 2), (-2, -2). Найдите его площадь.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Изобразите четырехугольник, вершины которого имеют координаты (0, 1), (0, 3), (-3, 0), (-1, 0). Найдите его площадь.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Видео:Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 29Скачать

Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

В этой статье — основные типы заданий №5 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Осталось умножить найденное значение синуса на

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

, где и — диагонали.

Получим:

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.