Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

Поскольку отрезок BD является медианой, то

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторонплощади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Видео:№786. Отрезки AA1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA1, BB1, СС1Скачать

№786. Отрезки AA1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA1, BB1, СС1

Применение векторов к решению задач

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

На данном уроке мы рассмотрим применение векторов для решения различных геометрических задач, вспомним и докажем некоторые геометрические факты.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:Задача о векторах, построенных на медиане, биссектрисе и высоте треугольникаСкачать

Задача о векторах, построенных на медиане, биссектрисе и высоте треугольника

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Видео:№769. Отрезок ВВ1 — медиана треугольника ABC. Выразите векторы B1C,Скачать

№769. Отрезок ВВ1 — медиана треугольника ABC. Выразите векторы B1C,

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

  • AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
  • AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

🎥 Видео

Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?Скачать

Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?

№787. Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор DO черезСкачать

№787. Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор DO через

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершин

8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Длина медианы треугольникаСкачать

Длина медианы треугольника

Все свойства медианы в одной задаче.Скачать

Все свойства медианы в одной задаче.

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shorts

9 класс, 18 урок, Скалярное произведение векторовСкачать

9 класс, 18 урок, Скалярное произведение векторов

Формулы для медианы треугольникаСкачать

Формулы для медианы треугольника

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник

Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся
Поделиться или сохранить к себе: