Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).
Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.
На рисунке 1 медианой является отрезок BD .
Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).
Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),
и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)
Поскольку отрезок BD является медианой, то
что и требовалось доказать.
Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).
Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).
Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).
Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,
Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,
Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).
Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.
Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.
Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).
Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).
Видео:№786. Отрезки AA1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA1, BB1, СС1Скачать
Применение векторов к решению задач
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На данном уроке мы рассмотрим применение векторов для решения различных геометрических задач, вспомним и докажем некоторые геометрические факты.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»
Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
Определение и свойства медианы треугольника
В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.
Видео:Задача о векторах, построенных на медиане, биссектрисе и высоте треугольникаСкачать
Определение медианы треугольника
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.
Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).
Видео:№769. Отрезок ВВ1 — медиана треугольника ABC. Выразите векторы B1C,Скачать
Свойства медианы
Свойство 1 (основное)
Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.
В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:
Свойство 2
Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.
Свойство 3
Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
Свойство 4
Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.
- AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
- AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.
Свойство 5
Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).
Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:
Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Примеры задач
Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.
Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S△ = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .
Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.
Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:
🎥 Видео
Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?Скачать
№787. Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор DO черезСкачать
Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать
Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать
8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать
Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать
Длина медианы треугольникаСкачать
Все свойства медианы в одной задаче.Скачать
🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать
9 класс, 18 урок, Скалярное произведение векторовСкачать
Формулы для медианы треугольникаСкачать
Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать
№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать
Задача, которую боятсяСкачать