Вектор магнитной индукции внутри соленоида (7 видео)

Вектор магнитной индукции внутри соленоида

Магнитное поле соленоида

Применим теорему о циркуляции вектора для вычисления простейшего магнитного поля – бесконечно длинного соленоида, представляющего собой тонкий провод, намотанный плотно виток к витку на цилиндрический каркас (рис. 2.11).

Соленоид можно представить в виде системы одинаковых круговых токов с общей прямой осью.

Бесконечно длинный соленоид симметричен любой, перпендикулярной к его оси плоскости. Взятые попарно (рис. 2.12), симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, в котором вектор перпендикулярен плоскости витка, т.е. линии магнитной индукции имеют направление параллельное оси соленоида внутри и вне его.

Из параллельности вектора оси соленоида вытекает, что поле как внутри, так и вне соленоида должно быть однородным.

Возьмём воображаемый прямоугольный контур 1–2–3–4–1 и разместим его в соленоиде, как показано на рисунке 2.13.

Второй и четвёртый интегралы равны нулю, т.к. вектор перпендикулярен направлению обхода, т.е .

Возьмём участок 3–4 – на большом расстоянии от соленоида, где поле стремится к нулю; и пренебрежём третьим интегралом, тогда

где – магнитная индукция на участке 1–2 – внутри соленоида, – магнитная проницаемость вещества.

Если отрезок 1–2 внутри соленоида, контур охватывает ток:

где n – число витков на единицу длины, I – ток в соленоиде (в проводнике).

Тогда магнитная индукция внутри соленоида:

(2.7.1)

и , т.е. .

Бесконечно длинный соленоид аналогичен плоскому конденсатору – и тут, и там поле однородно и сосредоточено внутри.

Произведение nI – называется число ампер витков на метр.

У конца полубесконечного соленоида, на его оси магнитная индукция равна:

(2.7.2)

Практически, если длина соленоида много больше, чем его диаметр, формула (2.7.1) справедлива для точек вблизи середины, формула (2.7.2) для точек около конца.

Если же катушка короткая, что обычно и бывает на практике, то магнитная индукция в любой точке А, лежащей на оси соленоида, направлена вдоль оси (по правилу буравчика) и численно равна алгебраической сумме индукций магнитных полей создаваемых в точке А всеми витками. В этом случае имеем:

· В точке, лежащей на середине оси соленоида магнитное поле будет максимальным:

(2.7.3)

где L – длина соленоида, R – радиус витков.

· В произвольной точке конечного соленоида (рис. 2.14) магнитную индукцию можно найти по формуле

(2.7.4)

На рисунке 2.15 изображены силовые линии магнитного поля : а) металлического стержня; б) соленоида; в) железные опилки, рассыпанные на листе бумаги, помещенной над магнитом, стремятся вытянуться вдоль силовых линий; г) магнитные полюсы соленоида.

Видео:магн поле внутри соленоидаСкачать

Магнитное поле бесконечно длинного соленоида

Соленоид — это проволочная катушка цилиндрической формы. Его можно представить себе как множество сложенных в стопку круговых витков с током. Силовые линии магнитного поля, создаваемого электрическим током в соленоиде, показаны на рис. 6.6. Как видно из этого рисунка, внутри соленоида силовые линии почти прямые. Чем длиннее соленоид, т.е. чем больше его длина по сравнению с его радиусом, тем меньше кривизна силовых линий внутри соленоида. В таком случае

вектор В магнитной индукции поля внутри соленоида будет направлен параллельно его оси. Причем так, что его направление будет связано с направлением тока в соленоиде правилом правого винта. Направим ось х вдоль оси соленоида. При этом проекция вектора магнитной индукции на ось х будет равна его модулю, а все другие его проекции будут равны нулю:

Подставим эти проекции вектора В в уравнение (6.12). Получим

Из этого равенства вытекает, что внутри соленоида вектор магнитной индукции не только сохраняет свое направление, но его модуль здесь всюду одинаков. Таким образом, приходим к выводу, что внутри длинного соленоида магнитное поле является однородным.

Рис. 6.6. Магнитное поле соленоида

Найдем модуль вектора магнитной индукции поля внутри соленоида при помощи теоремы (6.8) о циркуляции этого вектора. В качестве контура С, по которому будем вычислять циркуляцию вектора магнитной индукции, выберем ломанную линию, изображенную пунктиром на рис. 6.6. Отрезок этой линии длиной / находится внутри соленоида и совпадает с одной из силовых линий магнитного поля. Две перпендикулярные этому отрезку прямые начинаются на его концах и уходят в бесконечность. Во всех точках этих прямых вектор магнитной индукции или перпендикулярен им (внутри соленоида), или равен нулю (вне соленоида). Поэтому скалярное произведение В dl в этих точках равно нулю. Таким образом, циркуляция магнитной индукции по рассматриваемому контуру С будет равна интегралу по отрезку силовой линии длиной /. С учетом того, что модуль вектора магнитной индукции есть постоянная величина будем иметь

Пусть число витков соленоида, охватываемых контуром С, равно N. При этом сумма токов, охватываемых контуром, будет равна N /, где I — сила тока в одном витке соленоида. Теорема (6.8) приводит к равенству

из которого найдем магнитную индукцию поля в соленоиде:

— число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.

Видео:Магнитное поле соленоидаСкачать

Магнитное поле соленоида

Соленоид находит широкое применение в электрических, электронных и радиоэлектронных цепях. Он обладает рядом замечательных свойств: поле достаточно длинного соленоида сосредоточено практически внутри соленоида и является однородным. Соленоид способен концентрировать энергию магнитного поля.

Используем теорему о циркуляции вектора В (2.3.2) для вычисления простейшего магнитного поля — бесконечно длинного соленоида, представляющего собой тонкий провод, намотанный плотно (виток к витку) на цилиндрический каркас (рис. 2.3.4). Соленоид можно представить в виде системы одинаковых круговых токов с общей прямой осью.

Бесконечно длинный соленоид симметричен любой перпендикулярной к его оси плоскости. Взятые попарно (рис. 2.3.5), симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, в котором вектор В перпендикулярен плоскости витка, т.е. линии магнитной индукции имеют направление, параллельное оси соленоида внутри и вне его.

Из параллельности вектора В оси соленоида вытекает, что поле как внутри, так и вне соленоида должно быть однородным.

Возьмем воображаемый прямоугольный контур 1—2—3—4—1 и разместим его в соленоиде, как показано на рис. 2.3.6.

Из теоремы о циркуляции следует:

Второй и четвертый интегралы равны нулю, так как вектор В перпендикулярен направлению обхода, т.е. В, = 0.

Возьмем участок 3—4 на большом расстоянии от соленоида, где поле стремится к нулю, и, пренебрегая третьим интегралом, получим

где В, = В — магнитная индукция на участке 1—2 — внутри соленоида; |1 — магнитная проницаемость вещества.

Если отрезок 1—2 внутри соленоида, то контур охватывает ток nil = V/., где п — число витков на единицу длины; / — ток в соленоиде (в проводнике).

Тогда магнитная индукция:

внутри соленоида

вне соленоида

Бесконечно длинный соленоид аналогичен плоскому конденсатору: поле однородно и сосредоточено внутри.

Произведение nl — это число ампер-витков на метр.

Магнитная индукция на конце полубесконечного соленоида, на его оси,равна

Если длина соленоида много больше его диаметра, то формула (2.3.3) справедлива для точек вблизи середины, а (2.3.4) — для точек около конца.

Если же катушка короткая, что обычно и бывает, то магнитная индукция в любой точке А, лежащей на оси соленоида, направлена вдоль оси (правило буравчика) и численно равна алгебраической сумме индукций магнитных полей, создаваемых в точке А всеми витками.

В точке, лежащей на середине оси соленоида, магнитное поле будет максимальным:

где L — длина соленоида; R — радиус витков.

В произвольной точке конечного соленоида (рис. 2.3.7) магнитную индукцию вычисляют по формуле

На рис. 2.3.8, а показаны силовые линии магнитного поля В для намагниченного металлического стержня на рис. 2.3.8, б — соленоида, на рис. 2.3.8, в — железных опилок, рассыпанных на листе бумаги, над магнитом.