Окружность построенная на медиане вм

Окружность построенная на медиане вм

Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.

а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.

б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 18 и BN = 17.

а) Проведём медиану AE к основанию BC, поскольку треугольник ABC — равнобедренный, медиана AE является биссектрисой и высотой. Проведём MK, заметим, что ∠BKM = 90°, так как он вписанный и опирается на диаметр окружности. Поэтому MK перпендикуляр к ВС. Тогда MK — средняя линия AEС, и тогда КС = EК. Поскольку CE = 2CK, имеем: BK = 3CK, что и требовалось доказать.

б) Заметим, что ∠BKM = ∠BNM = 90°, так как эти углы вписанные и опираются на диаметр. Тогда (*), причём:

Подставляя полученные соотношения в (*), получаем:

Тогда

Приведём другое решение пункта б).

Пусть Тогда и пусть тогда По свойству секущих имеем:

Приведём третье решение пункта б).

Пусть угол при вершине A треугольника ABC равен 2α, AB = x. Тогда из прямоугольного треугольника ANM находим: Из треугольника MKC: таким образом, получаем уравнение:

Из последнего уравнения получаем те же ответы, что и в предыдущем решении x = 16 (постороннее решение) или x = 18.

Приведём еще одно решение пункта б).

Рассмотрим прямоугольный треугольник Если AB = x, то С другой стороны из треугольника ABC по теореме косинусов имеем Составим уравнение:

Последнее уравнение уже дважды решено выше.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Содержание Окружность построенная на медиане вм Осваиваем простые приемы решения геометрических задач Идея I Идея II Идея III Идея IV Идея V Окружность построенная на медиане вм Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K. а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK. б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 24 и BN = 23. а) Проведём медиану AE к основанию BC, поскольку треугольник ABC — равнобедренный, медиана AE является биссектрисой и высотой. Проведём MK, заметим, что ∠BKM = 90°, так как он вписанный и опирается на диаметр окружности. Поэтому MK перпендикуляр к ВС. Тогда MK — средняя линия AEС, и тогда КС = EК. Поскольку CE = 2CK, имеем: BK = 3CK, что и требовалось доказать. б) Заметим, что ∠BKM = ∠BNM = 90°, так как эти углы вписанные и опираются на диаметр. Тогда (), причём: Подставляя полученные соотношения в (), получаем: Тогда Ответ: б) Осваиваем простые приемы решения геометрических задач Идея I Если в четырехугольнике суммы противоположных углов равны 180°, то вокруг этого четырехугольника можно описать окружность. Задача. Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете АС выбрана произвольная точка М. Из точки М опущен перпендикуляр MN на гипотенузу. Докажите, что углы MCN и MBN равны. Решение. Угол MNB — прямой. По условию, треугольник ABC прямоугольный, значит, есть еще один прямой угол. Обратим внимание на четырехугольник MNBC: в нем есть два противолежащих прямых угла, их сумма равна 180°. Следовательно, вокруг четырехугольника MNBC можно описать окружность. Углы, равенство которых нужно доказать, опираются на одну дугу MN и являются вписанными. Два вписанных угла опираются на одну и ту же дугу, значит, они равны. Идея II Если известен угол треугольника, можно найти угол между биссектрисами, обращенными в сторону этого угла. Задача. Дан треугольник ABC. Проведены биссектрисы углов A и С, они пересекаются в точке O. Найдите угол AOC (т.е. есть угол между биссектрисами). Решение. Известно, что ∠ABC = ∠В. Эту задачу легко решить с помощью теоремы суммы углов треугольников. ∠A + ∠C = 180° – ∠B. Суммы половинок углов А и С равны 90° – ½ ∠B. Тогда ∠AOC = 90° + ½ ∠B. Совмещение идей I и II Некоторые задачи находятся как бы на пересечении нескольких идей решения. Задача. Дан треугольник ABC. Известно, что угол В равен 60°. Проведены биссектрисы углов: АК и СМ, они пересекаются в точке О. Докажите, что отрезок ОМ равен отрезку ОК. Решение. Найдем угол АОС по формуле 90° + ½ ∠B. ∠В = 120°. Обращаем внимание на четырехугольник МВКО. В нем сумма противоположных углов равна 180°, значит, вокруг него можно описать окружность. О — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Следовательно, луч ВО делит угол АВС пополам. ∠МВО = ∠ОВК. Данные углы являются вписанными, значит, равны и дуги, на которые они опираются. Дуга МО равна дуге ОК. Известно, что равные дуги стягивают равные хорды. Хорда ОМ равна хорде ОК. Идея III Если из двух точек, лежащих в одной полуплоскости, отрезок между двумя другими точками виден под одним и тем же углом, то эти 4 точки лежат на одной окружности. Задача. Дан остроугольный треугольник АВС. Проведены две высоты: АК и СN. Докажите, что серединный перпендикуляр отрезка NK пересекает отрезок АС в середине (точка О является серединой отрезка АС). Решение. ∠ANC = ∠AKC. Мы можем нарисовать окружность вокруг четырехугольника ANKC. Отрезок NK является в этой окружности хордой, а АС — диаметром, поскольку он виден из точек N и K под прямым углом. Серединный перпендикуляр проведен к хорде, он содержит диаметр окружности. Два диаметра пересекаются в центре окружности. О — это центр окружности. АО и ОС — это диаметры. Следовательно, АО = ОС. Идея IV Если в треугольнике продлить медиану и построить параллелограмм, можно извлечь много дополнительных данных для решения задачи. Задача. Дан треугольник АВС и его медиана ВМ. Известно, что ВМ в два раза меньше стороны АВ. Докажите, что угол МВС равен сумме ∠А + ∠С. Решение. Воспользуемся построением параллелограмма. Проведем МК. BM = ½ ВК. Следовательно, АВ = ВК. В этом случае треугольник АВК является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, ∠ВАК = ∠ВКА. ∠КАМ = ∠С. ∠АКВ = ∠СВК. Из этого мы получаем необходимое равенство. Совмещение идей III и IV Задача. Дан треугольник АВС, в котором проведена медиана ВМ. На медиане ВМ выбрана точка К так, что ∠ВАС = ∠АКМ. Докажите, что ∠ АСВ = ∠МКС. Решение. Продлим медиану на ее длину и получим точку N. BM = MN. ABCN — параллелограмм. ∠BAC = ∠ACN. Из точек К и С, лежащих по одну сторону от прямой, видим отрезок AN под одним и тем же углом. Вокруг четырехугольника AKCN описываем окружность. Поскольку ABCN — параллелограмм, ∠NAC = ∠BCA. Но углы NAC и NKC являются вписанными, опирающимися на одну дугу. Следовательно, ∠NAC = ∠NKC. Так мы доказали, что ∠МКС = ∠МСВ. Идея V Если в прямоугольном треугольнике АВС проведена медиана из вершины прямого угла, то медиана СМ будет равняться половине гипотенузы АВ. То есть СМ = АМ = МВ. Задача. Дан треугольник АВС. На внешние стороны построены два прямоугольных треугольника: ADB и BEC. Докажите что отрезок DE, соединяющий вершины прямых улов, не больше полпериметра треугольника АВС. Решение. Проведем медианы через точки M и N (середины сторон АВ и ВС). Соединим точки, образовав четырехугольник DENM. Звено ломаной DE не превосходит сумму длин отрезков DM + MN + NE. DE ≤ DM + MN + NE = ½ АВ + ½ АС + ½ ВС. Следовательно, DE ≤ ½ Р_авс Факт, обратный данному. Если в треугольнике АВС медиана СМ равна половине стороны АВ, значит, АСВ = 90°. Т.е. если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник является прямоугольным. Рассмотрим эту идею, продемонстрировав также, как только с помощью линейки можно решить задачу на построение перпендикуляра к данной прямой. Возьмем линейку с ценой деления 1 см. Отложим отрезки: точки А, М и В, так, что АМ = МВ = 1 см. Развернув линейку, поставим точку F (MF = 1 см) и точку К (МК = 1 см). С помощью линейки соединим A и F, B и K и продлим прямые до пересечения в точке С. На рисунке виден треугольник АFВ. FM в нем медиана, равняющаяся половинке стороны. Следовательно, угол F — прямой. Таким же свойством обладает треугольник АКВ. В треугольнике АСВ отрезки АК и ВF являются высотами. Значит, точка H в пересечении высот является центром треугольника. Если соединить СН и продлить в СЕ, это тоже будет высота треугольника АВС. Следовательно, СЕ перпендикулярно АВ. Так, только с помощью линейки мы провели прямую, перпендикулярную данной. В учебниках авторства Мерзляка А.Г., Полонского В.Б. и Якира М.С. образцовые задачи, демонстрирующие ту или иную идею решения, выделены и обозначены изображением ключа. Поделиться или сохранить к себе: Search for: Вектор Найти вектор магнитной индукции в точке а расположенной на расстоянии 832 Вектор Вектор значений функции по ее скнф 829 Окружность Длина окружности колеса мотоцикла 21 дюйм 831 Треугольник Арт объект треугольники воронеж 829 Четырехугольники Как построить правильный четырехугольник с помощью циркуля 832 Смотрите также Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 60 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 40 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности диаметром 20 Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности длиной Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности диаметром Электрон равномерно движется по окружности в однородном магнитном поле Электрон и протон ускоренные разностью потенциалов движутся по окружности Шарик скатывается по желобу изогнутому в виде дуги окружности О сайте \| \| © 2026 Курс школьной геометрии.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Содержание

Окружность построенная на медиане вм
Осваиваем простые приемы решения геометрических задач
Идея I
Идея II
Идея III
Идея IV
Идея V

а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.

б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 24 и BN = 23.

б) Заметим, что ∠BKM = ∠BNM = 90°, так как эти углы вписанные и опираются на диаметр. Тогда

(*), причём:

Подставляя полученные соотношения в (*), получаем:

Тогда

Ответ: б)

Осваиваем простые приемы решения геометрических задач

Идея I

Если в четырехугольнике суммы противоположных углов равны 180°, то вокруг этого четырехугольника можно описать окружность.

Задача. Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете АС выбрана произвольная точка М. Из точки М опущен перпендикуляр MN на гипотенузу. Докажите, что углы MCN и MBN равны.

Решение. Угол MNB — прямой. По условию, треугольник ABC прямоугольный, значит, есть еще один прямой угол. Обратим внимание на четырехугольник MNBC: в нем есть два противолежащих прямых угла, их сумма равна 180°. Следовательно, вокруг четырехугольника MNBC можно описать окружность. Углы, равенство которых нужно доказать, опираются на одну дугу MN и являются вписанными. Два вписанных угла опираются на одну и ту же дугу, значит, они равны.

Идея II

Если известен угол треугольника, можно найти угол между биссектрисами, обращенными в сторону этого угла.

Задача. Дан треугольник ABC. Проведены биссектрисы углов A и С, они пересекаются в точке O. Найдите угол AOC (т.е. есть угол между биссектрисами).

Решение. Известно, что ∠ABC = ∠В. Эту задачу легко решить с помощью теоремы суммы углов треугольников. ∠A + ∠C = 180° – ∠B. Суммы половинок углов А и С равны 90° – ½ ∠B. Тогда ∠AOC = 90° + ½ ∠B.

Совмещение идей I и II

Некоторые задачи находятся как бы на пересечении нескольких идей решения.

Задача. Дан треугольник ABC. Известно, что угол В равен 60°. Проведены биссектрисы углов: АК и СМ, они пересекаются в точке О. Докажите, что отрезок ОМ равен отрезку ОК.

Решение. Найдем угол АОС по формуле 90° + ½ ∠B. ∠В = 120°. Обращаем внимание на четырехугольник МВКО. В нем сумма противоположных углов равна 180°, значит, вокруг него можно описать окружность. О — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Следовательно, луч ВО делит угол АВС пополам. ∠МВО = ∠ОВК. Данные углы являются вписанными, значит, равны и дуги, на которые они опираются. Дуга МО равна дуге ОК. Известно, что равные дуги стягивают равные хорды. Хорда ОМ равна хорде ОК.

Идея III

Если из двух точек, лежащих в одной полуплоскости, отрезок между двумя другими точками виден под одним и тем же углом, то эти 4 точки лежат на одной окружности.

Задача. Дан остроугольный треугольник АВС. Проведены две высоты: АК и СN. Докажите, что серединный перпендикуляр отрезка NK пересекает отрезок АС в середине (точка О является серединой отрезка АС).

Решение. ∠ANC = ∠AKC. Мы можем нарисовать окружность вокруг четырехугольника ANKC. Отрезок NK является в этой окружности хордой, а АС — диаметром, поскольку он виден из точек N и K под прямым углом. Серединный перпендикуляр проведен к хорде, он содержит диаметр окружности. Два диаметра пересекаются в центре окружности. О — это центр окружности. АО и ОС — это диаметры. Следовательно, АО = ОС.

Идея IV

Если в треугольнике продлить медиану и построить параллелограмм, можно извлечь много дополнительных данных для решения задачи.

Задача. Дан треугольник АВС и его медиана ВМ. Известно, что ВМ в два раза меньше стороны АВ. Докажите, что угол МВС равен сумме ∠А + ∠С.

Решение. Воспользуемся построением параллелограмма. Проведем МК. BM = ½ ВК. Следовательно, АВ = ВК. В этом случае треугольник АВК является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, ∠ВАК = ∠ВКА. ∠КАМ = ∠С. ∠АКВ = ∠СВК. Из этого мы получаем необходимое равенство.

Совмещение идей III и IV

Задача. Дан треугольник АВС, в котором проведена медиана ВМ. На медиане ВМ выбрана точка К так, что ∠ВАС = ∠АКМ. Докажите, что ∠ АСВ = ∠МКС.

Решение. Продлим медиану на ее длину и получим точку N. BM = MN. ABCN — параллелограмм. ∠BAC = ∠ACN. Из точек К и С, лежащих по одну сторону от прямой, видим отрезок AN под одним и тем же углом. Вокруг четырехугольника AKCN описываем окружность. Поскольку ABCN — параллелограмм, ∠NAC = ∠BCA. Но углы NAC и NKC являются вписанными, опирающимися на одну дугу. Следовательно, ∠NAC = ∠NKC. Так мы доказали, что ∠МКС = ∠МСВ.

Идея V

Если в прямоугольном треугольнике АВС проведена медиана из вершины прямого угла, то медиана СМ будет равняться половине гипотенузы АВ. То есть СМ = АМ = МВ.

Задача. Дан треугольник АВС. На внешние стороны построены два прямоугольных треугольника: ADB и BEC. Докажите что отрезок DE, соединяющий вершины прямых улов, не больше полпериметра треугольника АВС.

Решение. Проведем медианы через точки M и N (середины сторон АВ и ВС). Соединим точки, образовав четырехугольник DENM. Звено ломаной DE не превосходит сумму длин отрезков DM + MN + NE. DE ≤ DM + MN + NE = ½ АВ + ½ АС + ½ ВС. Следовательно, DE ≤ ½ Р_авс

Факт, обратный данному. Если в треугольнике АВС медиана СМ равна половине стороны АВ, значит, АСВ = 90°. Т.е. если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник является прямоугольным. Рассмотрим эту идею, продемонстрировав также, как только с помощью линейки можно решить задачу на построение перпендикуляра к данной прямой.

Возьмем линейку с ценой деления 1 см. Отложим отрезки: точки А, М и В, так, что АМ = МВ = 1 см. Развернув линейку, поставим точку F (MF = 1 см) и точку К (МК = 1 см). С помощью линейки соединим A и F, B и K и продлим прямые до пересечения в точке С. На рисунке виден треугольник АFВ. FM в нем медиана, равняющаяся половинке стороны. Следовательно, угол F — прямой. Таким же свойством обладает треугольник АКВ. В треугольнике АСВ отрезки АК и ВF являются высотами. Значит, точка H в пересечении высот является центром треугольника. Если соединить СН и продлить в СЕ, это тоже будет высота треугольника АВС. Следовательно, СЕ перпендикулярно АВ. Так, только с помощью линейки мы провели прямую, перпендикулярную данной.

В учебниках авторства Мерзляка А.Г., Полонского В.Б. и Якира М.С. образцовые задачи, демонстрирующие ту или иную идею решения, выделены и обозначены изображением ключа.