Вектор grad в точке

Как найти градиент

Решение находим с помощью калькулятора.
Градиент grad u

grad u в точке А

Вектор а(2;-1;0)
Направляющие углы

Модуль вектора |a| .

Производная в точке А по направлению вектора а .

Пример №2 . Найти grad u в точке М(0,0,0), если u=х*sin(z)-y*cos(z) .
Найти производную функции u=х*y 2 +z 3 -x*y*z в точке М(1,1,2) в направлении, образующем с осями координат углы соответственно в 60 о , 45 о , 60 о .

Пример №3 . Даны функция z = f(x,y) , точка A и вектор a . Найти: 1) наибольшую скорость возрастания функции в точке A ; 2) скорость изменения функции в точке A по направлению вектора a.
z = ln(x 2 + 3y 2 ), A(1,1), a(3,2).
Примечание: наибольшая скорость возрастания функции в указанной точке равна модулю градиента функции в этой точке.
Скачать решение

Задача 1. Найти проекции grad z в точке М(1,2) , где z=ln(4x 2 -y).

Задача 2. Найти производную функции z=х 3 -3x 2 y +3xy 2 +1 в точке М(3,1) в направлении, идущем от этой точки к точке N(6,5) .

Задача 3. Даны функция z = f(x,y) , точка A(x0,y0) и вектор a(a1,a2). Найти:
1) grad z в точке A ;
2) производную в точке A по направлению вектора a .
Решение.
z = ln(5x 2 +3y 2 ), A(1;1), a(3;2)
Скачать решение

Видео:10. ФНП. Градиент и производная по направлению функции двух переменных.Скачать

10. ФНП. Градиент и производная по направлению функции двух переменных.

Градиент функции онлайн

Градиент функции — это вектор координатами которого являются частные производные этой функции по всем её переменным.

Градиент обозначается символом набла . Выражение градиента некоторой функции записывается следующим образом:

где , , — частные производные функции по переменным , , соответственно.

Вектор градиента указывает направление наискорейшего роста функции. Рассмотрим график функции .

Вектор grad в точке

Эта функция достигает своего единственного максимума в точке . График градиентного поля данной функции имеет вид:

Вектор grad в точке

Из данного градика видно, что в каждой точке вектор градиента направлен в сторону наискорейшего роста функции, т.е. в точку . При этом модуль вектора отражает скорость роста (крутизну подъёма) функции в этом направлении.

Задача вычисления градиента функции очень часто возникает при поиске эстремумов функции с использованием различных численных методов.

Наш онлайн калькулятор позволяет вычислить градиент практически любой функции как общем виде, так и в конкретной точке с описанием подробного хода решения на русском языке.

Видео:Градиент в точке.Скачать

Градиент в точке.

ЗАДАНИЕ №22

Следующая задача посвящена нахождению вектора – градиента для функции нескольких переменных.

Подробнее об этом можно прочесть в [4] гл.8 и [1]гл.XXVIII

вектор-градиент обозначается grad u или Ñu.

Пример 1.Даны функция трех переменных Вектор grad в точке, вектор Вектор grad в точкеи точка Вектор grad в точке.

Найти: 1) Grad u в точке M0;

2) производную в точке M0 по направлению вектора Вектор grad в точке;

3) наибольшую крутизну поверхности u в точке M0.

Решение:

1) Вектором градиентом функции трех переменных u(x,y,z) является вектор
grad Вектор grad в точке(или Вектор grad в точкев случае двух переменных)

Найдем частные произведения функции u:

Вектор grad в точке

Вектор grad в точке

Вектор grad в точке

Из определения градиента следует, что эти частные производные являются проекциями вектора-градиента на оси координат. Вычислим значения частных производных в точке Mo.

Вектор grad в точке

Следовательно вектор-градиент в точке M0 имеет вид:

Вектор grad в точке

2) Производная по направлению вектора Вектор grad в точкевычисляется по формуле Вектор grad в точке, то есть равна скалярному произведению вектора градиента на единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором Вектор grad в точке.

Так как Вектор grad в точке, то его длина Вектор grad в точкеи, следовательно, единичный вектор, совпадающий по направлению с Вектор grad в точке, Вектор grad в точке, используя формулу скалярного произведения в координатной форме Вектор grad в точке, получим

Вектор grad в точке

Итак производная функции u по направлению вектора Вектор grad в точкеравна Вектор grad в точке.

3) Поскольку |grad u| есть наибольшее значение производной Вектор grad в точкев данной точке P, а направление grad u совпадает с направлением луча, выходящего из точки P, вдоль которого функция меняется быстрее всего, то направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции u(x,y,z)

|grad u| = Вектор grad в точке.

Решите самостоятельно следующие задачи:

22.1 Найти вектор-градиент функции Вектор grad в точкев точке (1,1)

22.2 Найти производную функции Вектор grad в точкев направлении вектора-градиента

Аналогичные задачи можно найти в [3] гл.8

🎦 Видео

ВМ. 9.5 Производная в точке по направлению вектора.Скачать

ВМ. 9.5  Производная  в точке по направлению вектора.

ГрадиентСкачать

Градиент

ГрадиентСкачать

Градиент

Производная по направлениюСкачать

Производная по направлению

Нахождение градиента функции в точкеСкачать

Нахождение градиента функции в точке

Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.Скачать

Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.

Дивергенция векторного поляСкачать

Дивергенция векторного поля

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия

Вектор-градиент (теория)Скачать

Вектор-градиент  (теория)

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Вектор нормали к поверхности поля в точкеСкачать

Вектор нормали к поверхности поля в точке

Демидович №4405: угол между градиентамиСкачать

Демидович №4405: угол между градиентами

Производная в точке А по направлению вектора aСкачать

Производная в точке А по направлению вектора a

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Производная по направлениюСкачать

Производная по направлению

Производная по вектору и по направлению. Градиент. Примеры.Скачать

Производная по вектору и по направлению. Градиент. Примеры.

Ротор векторного поляСкачать

Ротор векторного поля
Поделиться или сохранить к себе: