В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 6 и 10 а длина отрезка соединяющего середины двух

Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

Пусть ABCD — данный четырёхугольник, O — середина стороны AB, K — середина стороны BC, P — середина стороны CD, H — середина стороны DA. Проведём диагонали AC и BD и отрезки OK, KP, PH и HO, последовательно соединяющие середины сторон четырёхугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, отрезки OK и PH параллельны диагонали AC и равны её половине, а отрезки KP и HO параллельны диагонали BD и равны её половине. Поэтому OKPH — параллелограмм. А так как, по условию задачи, его диагонали KH и OP равны, то OKPH — прямоугольник, и угол OKP — прямой. Отсюда следует, что и угол между диагоналями AC и BD тоже прямой, и, следовательно, площадь четырёхугольника ABCD будет равна половине произведения его диагоналей, то есть

.

Видео:ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналямиСкачать

Г. И. Ковалева Итоговое повторение курса планиметрии с привлечением метода ключевой задачи

Главная > Документ

Треугольник, образованный основаниями высот

данного остроугольного треугольника

Ключевая задача. АА 1 , ВВ 1 , СС 1 – высоты остроугольного треугольника АВС . Докажите, что а) треугольники АА 1 С и ВВ 1 С подобны; б) треугольники АВС и А 1 В 1 С подобны и .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Треугольники АА 1 С и ВВ 1 С подобны по двум углам.

Из этого следует, что или . Треугольники АВС и А 1 В 1 С подобны, так как и – общий и .

Задача 1. АА 1 , ВВ 1 , СС 1 – высоты остроугольного треугольника АВС . Докажите, что АА 1 , ВВ 1 , СС 1 – биссектрисы углов треугольника А 1 В 1 С 1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Треугольники АВС и А 1 В 1 С подобны, следовательно, .

Треугольники АВС и А 1 ВС 1 подобны, следовательно, .

. Следовательно, АА 1 – биссектриса .

Задача 2. АА 1 , ВВ 1 , СС 1 – высоты остроугольного треугольника АВС . Докажите, что .

Д о к а з а т е л ь с т в о. .

, , .

Имеем или . . Откуда .

Задача 3. АА 1 , ВВ 1 , СС 1 – высоты остроугольного треугольника АВС . Докажите, что отношение периметров треугольников А 1 В 1 С 1 и АВС равно , где r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей около треугольника АВС .

Р е ш е н и е. Так как , и , то .

. С другой стороны

, где О – центр описанной около треугольника АВС окружности.

Найдем площади треугольников АОВ , ВОС и АОС .

.

Анологично, , .

.

Приравнивая площади, получим .

Задача 4. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите стороны треугольника.

Р е ш е н и е. Так как , то треугольник А 1 В 1 С 1 – прямоугольный. Следовательно, , .

, .

, .

Используя формулу понижения степени , найдем . , .

Рассуждая аналогично, можно найти сторону ВС . , , .

О т в е т: ; ; .

Задачи для самостоятельного решения

1. Высота АН и СК остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке D , причем , , . Найдите сторону ВС .

2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА 1 , ВВ 1 , и СС 1 . Докажите, что .

3. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12, а боковой стороны – 18. К боковым сторонам треугольника проведены высоты. Найдите длину отрезка с концами в основаниях высот.

О т в е т: .

4. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты СС 1 и АА 1 . Известно, что и . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника С 1 ВА 1 .

О т в е т: .

5. В остроугольном треугольнике АВС . На стороне ВС как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АВ и ВС соответственно в точках P и Q . Найдите отношение площадей треугольников ABC и APQ .

О т в е т: .

Четырехугольник, вершины которого

являются серединами сторон данного четырехугольника

Ключевая задача. Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник.

M , N , P , K – середины сторон АВ, ВС, CD и А D соответственно.

Отрезок MN параллелен диагонали АС и равен ее половине по свойству средней линии.

Аналогично, отрезок PK параллелен АС и равен ее половине. Следовательно, отрезки MN и PK равны и параллельны. По признаку MNPK – параллелограмм.

Для невыпуклого и пространственного четырехугольников доказательство аналогичное.

1. Если ABCD – выпуклый четырехугольник и M , N , P , K – середины его сторон АВ, ВС, CD и AD соответственно, то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Треугольники MBN и АВС подобны, следовательно, . Аналогично, . .

Аналогично, , , .

Имеем, .

2. Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

3. Середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.

4. Середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Осмыслению ключевой задачи будут способствовать вопросы: Каким условиям должны удовлетворять диагонали данного четырехугольника, чтобы середины его сторон были вершинами прямоугольника, ромба, квадрата? Докажите, что середины сторон трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями являются вершинами прямоугольника.

Составьте обратную задачу. Верна ли она?

Задача 1. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть медианы АА 1 и СС 1 пересекаются в точке О . Отметим точки К и Р – середины отрезков АО и СО . Тогда точки К, Р, С 1 и А 1 середины сторон невыпуклого четырехугольника

АВСО . Следовательно, по ключевой задаче КРС 1 А 1 – параллелограмм. Его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Тогда .

Рассуждая аналогично, докажем, что медианы АА 1 и ВВ 1 пересекаются в точке Q и . Так как отрезок АА 1 делится в отношении 2:1, считая от точки А, однозначно, то точки О и Q совпадают. Следовательно, медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Задача 2. Докажите, что отрезки, соединяющие середины сторон скрещивающихся ребер тетраэдра пересекаются в одной точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По ключевой задаче MKPN и MLPR – параллелограммы. Их диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Задача 3. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, длина одной из них равна 6. Длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 5. Найдите площадь трапеции.

Р е ш е н и е. Пусть M и P – середины боковых сторон трапеции. Тогда по ключевой задаче MNPK – прямоугольник. Так как , то . По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MNK . Тогда , а .

Задача 4. В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей 2 и 4. Найдите площадь четырехугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон равны.

Р е ш е н и е. По ключевой задаче MNPK – параллелограмм. Так как его диагонали равны, то MNPK – прямоугольник. Диагонали данного выпуклого четырехугольника параллельны сторонам прямоугольника и, следовательно, перпендикулярны. Найдем площадь выпуклого четырехугольника как половину произведения диагоналей на синус угла между ними. .

Задача 5. В выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD , равна одному метру. Прямые BC и А D перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и В D .

Р е ш е н и е. Обозначим через M , N , P , K – середины сторон АВ, В D , CD и АС соответственно. Тогда MK ║ NP ║ BC как средние линии треугольников BAC и BDC . Аналогично, MN ║ KP ║ AD . Так как прямые BC и А D перпендикулярны, то параллельные им прямые МК и MN также перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм MNPK является прямоугольником и .

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что отрезки, соединяющие середины его смежных сторон, равны 2 и 3, а угол между ними 30 0 .

2. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны 3 и 4, а длина одной из диагоналей четырехугольника равна 5.

3. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что отрезки, соединяющие середины его смежных сторон, равны 3 и 4, а длина одного из отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, равна 5.

4. В равнобедренной трапеции длина средней линии равна 5см, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

5. В выпуклом пятиугольнике ABCDE с единичными сторонами середины P , Q сторон AB , CD и S , T сторон BC , DE соединены отрезками PQ и ST . Пусть M и N – середины отрезков PQ и ST . Найдите длину MN .

Видео:№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадьСкачать

Репетитор по математике

Меня зовут Виктор Андреевич, — я репетитор по математике . Последние десять лет я занимаюсь только преподаванием. Я не «натаскиваю» своих учеников. Моя цель — помочь ребенку понять предмет, научить его мыслить, а не применять шаблоны, передать свои знания, а не просто «добиться результата».

Предусмотрен дистанционный формат занятий (через Skype или Zoom). На первом же уроке оцениваем уровень подготовки ребенка. Если ребенка устраивает моя подача материала, то принимаем решение о дальнейшем сотрудничестве — составляем расписание и индивидуальный план работы. После каждого занятия дается домашнее задание — оно всегда обязательно для выполнения. [в личном кабинете родители могут контролировать успеваемость ребенка]

Стоимость занятий

Набор на 2020/2021 учебный год открыт. Предусмотрен дистанционный формат.

Видеокурсы подготовки к ЕГЭ-2021

Решения авторские, то есть мои (автор ютуб-канала mrMathlesson — Виктор Осипов). На видео подробно разобраны все задания.

Теория представлена в виде лекционного курса, для понимания методик, которые используются при решении заданий.

Видео:Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапецииСкачать

Группа Вконтакте

В группу выкладываются самые свежие решения и разборы задач. Подпишитесь, чтобы быть в курсе и получать помощь от других участников.

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

Преимущества

Педагогический стаж

Сейчас существует много сайтов, где вам подберут репетитора по цене/опыту/возрасту, в зависимости от желаний. Но большинство анкет там принадлежат либо студентам, либо школьным учителям. Для них репетиторство — дополнительный временный заработок, из этого формируется отношение к деятельности. У студентов нет опыта и желания совершенствоваться, у школьных учителей — нет времени и сил после основной деятельности. Я занимаюсь только репетиторством с 2010 года. Все свои силы и знания трачу на совершенствование только в этой области.

Собственная методика

За время работы я накопил огромное количество материала для подготовки к итоговым экзаменам. Ребенку не будет даваться неадаптированная школьная программа. С каждым я разберу поэтапно специфичные примеры, темы, способы решений, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ и ОГЭ. При этом это не будет «натаскиванием» на решение конкретных задач, но полноценная структурированная подготовка. Естественно, если таковые найдутся, устраню «пробелы» и в школьной программе.

Гарантированный результат

За время моей работы не было ни одного случая, где не прослеживалась бы четкая тенденция к улучшению знаний у ученика. Ни один откровенно не «завалил» экзамен. Каждый вырос в «понимании» математики в сравнении со своим первоначальным уровнем. Естественно, я не могу гарантировать, что двоечник за полгода подготовится на твердую «пять». Но могу с уверенностью сказать, что я подготовлю ребенка на его максимально возможный уровень за то время, что осталось до экзамена.

Индивидуальная работа

Все дети разные, поэтому способ и форма объяснения корректируются в зависимости от уровня понимания ребенком предмета. Индивидуальная работа с каждым учеником — каждому даются отдельные задания, теоретический материал.

🔥 Видео

Основания трапеции равны 4 и 10 Найдите больший из отрезков на которые делит среднюю линию диагональСкачать

СЕРЬЁЗНО готовимся к ОГЭ 2024! / Полный прогон задания 17 на ОГЭ по математикеСкачать

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 10 "Площадь четырехугольника"Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Свойства диагоналей прямоугольника. Свойства диагоналей квадрата | Математика 4 класс #9 | ИнфоурокСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Найти периметр четырехугольника, вершины которого лежат на серединах сторон другого четырехугольникаСкачать

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ. ТРАПЕЦИЯ. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. Контрольная № 2 Геометрия 8 классСкачать

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

Геометрия Сумма диагоналей четырехугольника равна 28 см. Найдите периметр четырехугольника, вершиныСкачать

8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольникаСкачать

Задание №26 ОГЭ по математикеСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать