В треугольнике abc через точку к принадлежащую стороне ab проведена прямая параллельная стороне bc

Видео:№473. Через вершину С треугольника ABC проведена прямая m, параллельная стороне АВ. Докажите,Скачать

В треугольнике ABC через точку М лежащую на стороне АВ, параллельно стороне ВС проведена прямая, которая пересекает сторону АС в

Видео:№199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВССкачать

Ваш ответ

Видео:В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK = 1/3 AB. РЕШЕНИЕ!Скачать

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,277
• гуманитарные 33,618
• юридические 17,900
• школьный раздел 606,701
• разное 16,822

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:№196. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провестиСкачать

через вершину B треугольника ABC проведена прямая BD, параллельная стороне AC. через точку N, лежащую на стороне BC,про

через вершину B треугольника ABC проведена прямая BD, параллельная стороне AC. через точку N, лежащую на стороне BC,проведен луч AN, пересекающий прямую BD в точке D, а медиану BH в точке K. в каком отношении точка K делит отрезок BH, если BN:NC=1:2?

поровну делит. обрати внимание на треугольники BDN и CAN и треугольники AKH и DKB

из первых можешь узнать что меньший вполовину меньше, из вторых потом, что они равны.

Видео:В треугольнике ABC на продолжении стороны AC за вершину A отложен отрезок AD , равный стороне AB.Скачать

теорема Менелая
презентация к уроку по геометрии (11 класс) на тему

теорема Менелая в задачах

Видео:Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 41Скачать

Скачать:

Бесплатный марафон подготовки к ЕГЭ на зимних каникулах

Учи.Дома запускает бесплатный марафон в котором каждый день. В течении 5 дней утром ты будешь получать одно задание по выбранному предмету, а вечером его решение. Твоя задача, успеть выполнение задание до того как получишь ответ.

Бесплатно, онлайн, подготовка к ЕГЭ

Предварительный просмотр:

Видео:Геометрия Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точкахСкачать

Подписи к слайдам:

Изучить теорему. Знать её применение. Уметь решать задачи на изученную теорему. Задачи:

В курсе геометрии 7-х –9-х классов были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс. Из школьного курса нам известны теоремы о замечательных точках в треугольнике: три биссектрисы (медианы, высоты) пересекаются в одной точке. Эти свойства являются следствиями теоремы Менелая . Введение

Биография ученого Менела́й Александри́йский — древнегреческий математик и астроном, создатель системы геометрии и тригонометрии на сфере – первой неевклидовой геометрии. Время его жизни и деятельности определяется приведёнными в « Алмагесте » Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвёл в Риме в первом году царствования Траяна, то есть в 98 году н. э. Его работы: главным сочинением Меналая является « Сферика » в трёх книгах, сочинения «О вычислении хорд» в 6 книгах, «Начала геометрии» в 3 книгах, «Книга о треугольнике», «Книга о заходах знаков зодиака», «Книга о подразделении составных тел», посвящённая определению удельных весов тел, книга по гидростатике .

Труд « Сферика » стал вершиной достижений греков в сферической геометрии. Менелай первым ввел в геометрический обиход и исследовал простейший сферический многоугольник – треугольник. Он перенес на сферу евклидову теорию плоских треугольников и в числе прочего получил условие, при котором три точки на сторонах сферического треугольника или их продолжениях лежат на одной прямой. Интересно, что соответствующая теорема для плоскости в то время была уже широко известна, однако в историю геометрии она вошла именно как теорема Менелая . Биография ученого

Самым замечательным считается обыкновенная теорема Менелая Александрийского, которая прежде называлась правилом шести количеств. Содержание ее состоит в следующем. Если все стороны треугольника пересечь прямой, то произведение их трех отрезков, из числа не имеющих общих концов, равно произведению таких же трех остальных отрезков. Менелай выражал свою теорему в виде пропорции a 1 : b 1 = b 2 b 3 : a 2 a 3 , в которой буквы a 1 , a 2 и а 3 и, соответственно, буквы b 1 , b 2 и b 3 обозначают не имеющие общих концов отрезки трех сторон треугольника. Словесным выражением этой пропорции было предложение: а 1 находится к b 1 в таком же сложном отношении , в каком находятся b 2 к а 2 и b 3 к a 3 . Биография ученого

Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , A 1 , B 1 . Точки A 1 , B 1 , C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство: Теорема Менелая

Доказательство. Предположим, что точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой a . Через вершину C треугольника ABC проведем прямую, параллельную a и обозначим через D точку её пересечения с AB . Из подобия треугольников ADC и AC 1 B 1 следует выполнимость равенства: Аналогично, из подобия треугольников BDC и BC 1 A 1 следует выполнимость равенства: Теорема Менелая Перемножая эти равенства, получим равенство: из которого следует требуемое равенство.

Докажем обратное . Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки С 1 , А 1 , В 1 , для которых выполняется равенство . Предположим, что прямая A 1 B 1 пересекает прямую AB в некоторой точке С` . По доказанному, выполняется равенство: Учитывая первое равенство, получаем равенство : , из которого следует совпадение точек C` и C 1 и, значит, точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой . Теорема Менелая

Теорема Менелая Если некоторая прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках X и Y соответственно, а продолжение стороны АС – в точке Z , то

Задача 1 . В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3 BN ;на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС . Прямая MN пересекает сторо­ну АВ в точке F . Найдите отношение . Задачи на теорему Менелая

Решение. По условию задачи МА = AC , NC =3 BN . Пусть МА = АС = b , BN = k , NC = 3 k . Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая : Ответ: 2 : 3 .

В треугольнике АВС точка М – середина стороны АС, точка Р лежит на стороне ВС. Отрезок АР пересекает ВМ в точке О. Оказалось, что ВО=ВР. Найти отношение ОМ:РС.

1 способ . Сделаем дополнительное построение: проведем через точку С прямую, параллельную ВМ; точку пересечения этой прямой с прямой АР обозначим через К. Рассмотрим треугольники ОВР и КСР. Углы ОРВ и КРС равны как вертикальные, углы ВОР и СКР равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВМ и СК секущей АК. Поскольку по условию треугольник ОВР равнобедренный, угол ВОР = углу ОРВ, значит, и угол СРК= углу СКР. Значит, треугольник СКР – равнобедренный, т.е. СР=КС. Но, (например, по т. Фалеса) ОМ – средняя линия треугольника САК, она в 2 раза меньше, чем СК. Получаем, что ОМ:РС = ОМ:СК = 1:2 2 способ. По т. Менелая для треугольника МВС и прямой АР выполняется равенство: Тогда, используя условия АМ=МС и ВО=ВР получим, что МО:РС=1:2. Ответ: 1:2.

Задача 2 . Пусть AD — медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка К так, что АК : KD = 3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Решение . Пусть AD = DC = a , KD = т; тогда АК = 3 т. Пусть Р — точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем: Итак, Ответ : 3:2.

Задача 3. Дан параллелограмм ABCD . Точка M делит отрезок AD в отношении р , а точка N делит отрезок DC в отношении q . Прямые ВМ и AN пересекаются в точке S . Вычислите отношение AS : SN .

Решение. если MD = b , то AM = pb ; если NC = a , то ND = aq . Пусть В 1 – точка пересечения прямых ВМ и CD .

, тогда Прямая ВВ 1 пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND . По теореме Менелая : Откуда Ответ :

Задача 4 . В треугольнике АВС точки К и L принадлежат соответственно сторонам АВ и ВС. АК : ВК = 1 : 2, CL : BL = 2 : 1. Q — точка пересечения отрезков AL и СК . S = 1. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение . 1) В треугольнике МВС прямая AL пересекает две стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : (1) В треугольнике АВМ прямая КС пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : (2) то есть MC = 4. p , AM = p . 2) Еще раз перепишем равенство (1): то есть 3) Треугольники BQC и МВС имеют общий угол, значит, Тогда = .

4) Треугольники АВС и МВС имеют равные высо­ты, проведенные из вершины В, значит, = = Ответ : 1,75.

Задача 5. Дано: окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках А1 и А2. Доказать: что прямая А1А2 проходит через точку пересечения общих внутренних или внешних касательных к окружностям S1 и S2. S1 S2 A2 A1 S

Доказательство. Пусть О, О1 и О2 – центры окружностей S, S1 и S2; X – точка пересечения прямых О1О2 и А1А2. Применяя теорему Менелая к треугольнику ОО1О2 и точкам А1, А2 и Х, получаем: а значит, О1Х : О2Х = R1 : R2, где R1 и R2 – радиусы окружностей S1 и S2. Следовательно, Х – точка пересечения общих внешних или внутренних касательных к окружностям S1 и S2. X S A1 A2 O1 O2 S1 S2 О

Задача 6 . На стороне PQ треугольника PQR взята точка N , а на стороне Р R — точка L , причем NQ = LR . Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении т : п , считая от точки Q . Найдите

Решение. По условию NQ = LR , Пусть NA = LR = а, QF = km , LF = kn . Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая : Ответ : n : m .

Задача 7 . В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС =4. А 1 и С 1 — точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р — точка пересечения отрезков АА 1 и СС 1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ 1 Найдите АР: РА 1 .

Решение . Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В 1 , так как треугольник АВС — разносторонний. Пусть С1В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из од­ной точки, введем обозначения (см. рисунок) 8- x + 5 – x = 4, x Значит, В треугольнике АВА 1 , прямая С 1 С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : Ответ : 70 : 9 .

Задача 8. В треугольник АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 12, АС = 9, А 1 и С 1 — точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ. Q — точка пересечения отрезков АА 1 и ВВ 1 . Q лежит на высоте ВВ 1 . Найдите отношение BQ : QB 1

Решение. Треугольник АВС — разносторонний, значит, точка В 1 не совпадает с точкой касания. 1) Пусть С 1 В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см. рисунок): (13 – х ) + (12 – х ) = 9, х = 8. Значит, С 1 В = 8, АС 1 = 5. 2) По формуле Герона: S = S = 3) Из треугольника ABB 1 (прямоугольного) по теореме Пифагора : 4) В треугольнике ABB 1 прямая CC 1 пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая :

Задача 9 . Точки P и Q расположены на стороне ВС треугольника АВС так, что BP : PQ : QC = 1 : 2 : 3. Точка R делит сторону АС этого треугольника таким образом, что AR : RC = 1 : 2. Чему равно отношение площади четырехугольника PQST к площади треугольника АВС, где S и T — точки пересечения прямой В R с прямыми А Q и А P соответственно.

Решение. Обозначим BP = x , AR = y ; тогда PQ = 2x , QC = 3x , RC = 2y. Вычислим, какую часть площадь четырехугольника PQST составляет от площади треугольника APQ , а значит, и от площади треугольника ABC . Для этого нам понадобятся отношения, в которых точки S и T делят прямые AQ и AP соответственно. Применим к треугольнику ACQ и секущей SR теорему Менелая : Аналогично, применив теорему Менелая к треугольнику ACP и секущей TR , получим: Далее:

C другой стороны, применив лемму о площадях к треугольникам APQ и ABC , получим, что Ответ: .

Задача 10 . В треугольнике АВС длина высоты В D равна 6, длина медианы С E равна 5, расстояние от точки пересечения В D с С E до стороны АС равно 1. Найти длину стороны АВ.

Решение . Пусть точка О – точка пересечения прямых BD и CE . Расстояние от точки О до середины AC (равное по условию единице) есть длина отрезка OD. Итак, OD = 1 и OB = 5. Применим к треугольнику ABD и секущей OE теорему Менелая : Применив теперь теорему Менелая к треугольнику ACE и секущей OD , получим, что откуда OE = 2 CO , и с учетом OE + CO = CE = 5 получаем, что CO = . К прямоугольному треугольнику COD применим теорему Пифагора: Значит, AD = 4CD = . Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник ABD , в нем также воспользуемся теоремой Пифагора: Ответ: .

В треугольнике АВС отрезки АД и ВМ, проведенные из вершин А и В соответственно к сторонам ВС и ФС, пересекаясь в точке Р, делятся в отношении АР:РД =3:2 и ВР:РМ=4:5. В каком отношении точки Д и М делят стороны треугольника, считая от С? В треугольнике АВС точка Д делит сторону ВС в отношении ВД:ДС=3:4. Точка М делит сторону АС в отношении АМ:МС=2:5. Отрезки АД и ВМ пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АКМ, если площадь треугольника ВКД равна 45. В треугольнике АВС точка К делит сторону АВ в отношении АК:КВ=1:2, а точка Р делит сторону ВС в отношении СР:РВ=2:1. Прямые АР и СК пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника ВМС равна 4. Дополнительные задачи

Прямая КР делит сторону АВ треугольника АВС в отношении АК:КВ=2:1, а сторону ВС — в отношении ВР:РС=3:1. Медиана ВВ1 пересекает прямую КР в точке М. При этом площадь четырехугольника В1МРС равна 17. Найдите площадь треугольника АВС. В треугольнике АВС на основании АС взяты точки Р и Т, так что АР

Видео:№195. Начертите треугольник ABC и отметьте точку D на стороне АС. Через точку D с помощьюСкачать

Подписи к слайдам:

Изучить теорему. Знать её применение. Уметь решать задачи на изученную теорему. Задачи:

В курсе геометрии 7-х –9-х классов были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс. Из школьного курса нам известны теоремы о замечательных точках в треугольнике: три биссектрисы (медианы, высоты) пересекаются в одной точке. Эти свойства являются следствиями теоремы Менелая . Введение

Биография ученого Менела́й Александри́йский — древнегреческий математик и астроном, создатель системы геометрии и тригонометрии на сфере – первой неевклидовой геометрии. Время его жизни и деятельности определяется приведёнными в « Алмагесте » Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвёл в Риме в первом году царствования Траяна, то есть в 98 году н. э. Его работы: главным сочинением Меналая является « Сферика » в трёх книгах, сочинения «О вычислении хорд» в 6 книгах, «Начала геометрии» в 3 книгах, «Книга о треугольнике», «Книга о заходах знаков зодиака», «Книга о подразделении составных тел», посвящённая определению удельных весов тел, книга по гидростатике .

Труд « Сферика » стал вершиной достижений греков в сферической геометрии. Менелай первым ввел в геометрический обиход и исследовал простейший сферический многоугольник – треугольник. Он перенес на сферу евклидову теорию плоских треугольников и в числе прочего получил условие, при котором три точки на сторонах сферического треугольника или их продолжениях лежат на одной прямой. Интересно, что соответствующая теорема для плоскости в то время была уже широко известна, однако в историю геометрии она вошла именно как теорема Менелая . Биография ученого

Самым замечательным считается обыкновенная теорема Менелая Александрийского, которая прежде называлась правилом шести количеств. Содержание ее состоит в следующем. Если все стороны треугольника пересечь прямой, то произведение их трех отрезков, из числа не имеющих общих концов, равно произведению таких же трех остальных отрезков. Менелай выражал свою теорему в виде пропорции a 1 : b 1 = b 2 b 3 : a 2 a 3 , в которой буквы a 1 , a 2 и а 3 и, соответственно, буквы b 1 , b 2 и b 3 обозначают не имеющие общих концов отрезки трех сторон треугольника. Словесным выражением этой пропорции было предложение: а 1 находится к b 1 в таком же сложном отношении , в каком находятся b 2 к а 2 и b 3 к a 3 . Биография ученого

Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , A 1 , B 1 . Точки A 1 , B 1 , C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство: Теорема Менелая

Доказательство. Предположим, что точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой a . Через вершину C треугольника ABC проведем прямую, параллельную a и обозначим через D точку её пересечения с AB . Из подобия треугольников ADC и AC 1 B 1 следует выполнимость равенства: Аналогично, из подобия треугольников BDC и BC 1 A 1 следует выполнимость равенства: Теорема Менелая Перемножая эти равенства, получим равенство: из которого следует требуемое равенство.

Докажем обратное . Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки С 1 , А 1 , В 1 , для которых выполняется равенство . Предположим, что прямая A 1 B 1 пересекает прямую AB в некоторой точке С` . По доказанному, выполняется равенство: Учитывая первое равенство, получаем равенство : , из которого следует совпадение точек C` и C 1 и, значит, точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой . Теорема Менелая

Теорема Менелая Если некоторая прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках X и Y соответственно, а продолжение стороны АС – в точке Z , то

Задача 1 . В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3 BN ;на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС . Прямая MN пересекает сторо­ну АВ в точке F . Найдите отношение . Задачи на теорему Менелая

Решение. По условию задачи МА = AC , NC =3 BN . Пусть МА = АС = b , BN = k , NC = 3 k . Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая : Ответ: 2 : 3 .

В треугольнике АВС точка М – середина стороны АС, точка Р лежит на стороне ВС. Отрезок АР пересекает ВМ в точке О. Оказалось, что ВО=ВР. Найти отношение ОМ:РС.

1 способ . Сделаем дополнительное построение: проведем через точку С прямую, параллельную ВМ; точку пересечения этой прямой с прямой АР обозначим через К. Рассмотрим треугольники ОВР и КСР. Углы ОРВ и КРС равны как вертикальные, углы ВОР и СКР равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВМ и СК секущей АК. Поскольку по условию треугольник ОВР равнобедренный, угол ВОР = углу ОРВ, значит, и угол СРК= углу СКР. Значит, треугольник СКР – равнобедренный, т.е. СР=КС. Но, (например, по т. Фалеса) ОМ – средняя линия треугольника САК, она в 2 раза меньше, чем СК. Получаем, что ОМ:РС = ОМ:СК = 1:2 2 способ. По т. Менелая для треугольника МВС и прямой АР выполняется равенство: Тогда, используя условия АМ=МС и ВО=ВР получим, что МО:РС=1:2. Ответ: 1:2.

Задача 2 . Пусть AD — медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка К так, что АК : KD = 3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Решение . Пусть AD = DC = a , KD = т; тогда АК = 3 т. Пусть Р — точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем: Итак, Ответ : 3:2.

Задача 3. Дан параллелограмм ABCD . Точка M делит отрезок AD в отношении р , а точка N делит отрезок DC в отношении q . Прямые ВМ и AN пересекаются в точке S . Вычислите отношение AS : SN .

Решение. если MD = b , то AM = pb ; если NC = a , то ND = aq . Пусть В 1 – точка пересечения прямых ВМ и CD .

, тогда Прямая ВВ 1 пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND . По теореме Менелая : Откуда Ответ :

Задача 4 . В треугольнике АВС точки К и L принадлежат соответственно сторонам АВ и ВС. АК : ВК = 1 : 2, CL : BL = 2 : 1. Q — точка пересечения отрезков AL и СК . S = 1. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение . 1) В треугольнике МВС прямая AL пересекает две стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : (1) В треугольнике АВМ прямая КС пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : (2) то есть MC = 4. p , AM = p . 2) Еще раз перепишем равенство (1): то есть 3) Треугольники BQC и МВС имеют общий угол, значит, Тогда = .

4) Треугольники АВС и МВС имеют равные высо­ты, проведенные из вершины В, значит, = = Ответ : 1,75.

Задача 5. Дано: окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках А1 и А2. Доказать: что прямая А1А2 проходит через точку пересечения общих внутренних или внешних касательных к окружностям S1 и S2. S1 S2 A2 A1 S

Доказательство. Пусть О, О1 и О2 – центры окружностей S, S1 и S2; X – точка пересечения прямых О1О2 и А1А2. Применяя теорему Менелая к треугольнику ОО1О2 и точкам А1, А2 и Х, получаем: а значит, О1Х : О2Х = R1 : R2, где R1 и R2 – радиусы окружностей S1 и S2. Следовательно, Х – точка пересечения общих внешних или внутренних касательных к окружностям S1 и S2. X S A1 A2 O1 O2 S1 S2 О

Задача 6 . На стороне PQ треугольника PQR взята точка N , а на стороне Р R — точка L , причем NQ = LR . Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении т : п , считая от точки Q . Найдите

Решение. По условию NQ = LR , Пусть NA = LR = а, QF = km , LF = kn . Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая : Ответ : n : m .

Задача 7 . В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС =4. А 1 и С 1 — точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р — точка пересечения отрезков АА 1 и СС 1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ 1 Найдите АР: РА 1 .

Решение . Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В 1 , так как треугольник АВС — разносторонний. Пусть С1В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из од­ной точки, введем обозначения (см. рисунок) 8- x + 5 – x = 4, x Значит, В треугольнике АВА 1 , прямая С 1 С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : Ответ : 70 : 9 .

Задача 8. В треугольник АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 12, АС = 9, А 1 и С 1 — точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ. Q — точка пересечения отрезков АА 1 и ВВ 1 . Q лежит на высоте ВВ 1 . Найдите отношение BQ : QB 1

Решение. Треугольник АВС — разносторонний, значит, точка В 1 не совпадает с точкой касания. 1) Пусть С 1 В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см. рисунок): (13 – х ) + (12 – х ) = 9, х = 8. Значит, С 1 В = 8, АС 1 = 5. 2) По формуле Герона: S = S = 3) Из треугольника ABB 1 (прямоугольного) по теореме Пифагора : 4) В треугольнике ABB 1 прямая CC 1 пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая :

Задача 9 . Точки P и Q расположены на стороне ВС треугольника АВС так, что BP : PQ : QC = 1 : 2 : 3. Точка R делит сторону АС этого треугольника таким образом, что AR : RC = 1 : 2. Чему равно отношение площади четырехугольника PQST к площади треугольника АВС, где S и T — точки пересечения прямой В R с прямыми А Q и А P соответственно.

Решение. Обозначим BP = x , AR = y ; тогда PQ = 2x , QC = 3x , RC = 2y. Вычислим, какую часть площадь четырехугольника PQST составляет от площади треугольника APQ , а значит, и от площади треугольника ABC . Для этого нам понадобятся отношения, в которых точки S и T делят прямые AQ и AP соответственно. Применим к треугольнику ACQ и секущей SR теорему Менелая : Аналогично, применив теорему Менелая к треугольнику ACP и секущей TR , получим: Далее:

C другой стороны, применив лемму о площадях к треугольникам APQ и ABC , получим, что Ответ: .

Задача 10 . В треугольнике АВС длина высоты В D равна 6, длина медианы С E равна 5, расстояние от точки пересечения В D с С E до стороны АС равно 1. Найти длину стороны АВ.

Решение . Пусть точка О – точка пересечения прямых BD и CE . Расстояние от точки О до середины AC (равное по условию единице) есть длина отрезка OD. Итак, OD = 1 и OB = 5. Применим к треугольнику ABD и секущей OE теорему Менелая : Применив теперь теорему Менелая к треугольнику ACE и секущей OD , получим, что откуда OE = 2 CO , и с учетом OE + CO = CE = 5 получаем, что CO = . К прямоугольному треугольнику COD применим теорему Пифагора: Значит, AD = 4CD = . Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник ABD , в нем также воспользуемся теоремой Пифагора: Ответ: .

В треугольнике АВС отрезки АД и ВМ, проведенные из вершин А и В соответственно к сторонам ВС и ФС, пересекаясь в точке Р, делятся в отношении АР:РД =3:2 и ВР:РМ=4:5. В каком отношении точки Д и М делят стороны треугольника, считая от С? В треугольнике АВС точка Д делит сторону ВС в отношении ВД:ДС=3:4. Точка М делит сторону АС в отношении АМ:МС=2:5. Отрезки АД и ВМ пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АКМ, если площадь треугольника ВКД равна 45. В треугольнике АВС точка К делит сторону АВ в отношении АК:КВ=1:2, а точка Р делит сторону ВС в отношении СР:РВ=2:1. Прямые АР и СК пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника ВМС равна 4. Дополнительные задачи

Прямая КР делит сторону АВ треугольника АВС в отношении АК:КВ=2:1, а сторону ВС — в отношении ВР:РС=3:1. Медиана ВВ1 пересекает прямую КР в точке М. При этом площадь четырехугольника В1МРС равна 17. Найдите площадь треугольника АВС. В треугольнике АВС на основании АС взяты точки Р и Т, так что АР Мне нравится

🔥 Видео

ОГЭ 2024 Ященко 4 вариант ФИПИ школе полный разбор!Скачать

№191. Отрезок ВК — биссектриса треугольника ABC. Через точку К проведена прямая, пересекающаяСкачать

№272. В равностороннем треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Расстояние от точки DСкачать

Геометрия В треугольнике ABC известно, что BC = 72 см, AD – высота, AD = 24 см. В данный треугольникСкачать

ОГЭ Р-2 номер 16Скачать

№31. Плоскость α параллельна стороне ВС треугольника ABC и проходит черезСкачать

Дан параллелограмм ABCD. Через точку D и т. L, Принадлежащую стороне BC, BL:LC=4:3Скачать

№571. В треугольнике ABC медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите площадьСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая пересекающая сторону ВС вСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать