Если диаметр окружности d то эллипс

Что такое эллипс: формула длины окружности эллипса
Содержание
  1. Понятие о кривых второго порядка
  2. Понятие алгебраической линии и её порядка
  3. Определение эллипсa
  4. Формула площади эллипса через каноническое уравнение
  5. Соотношения между элементами эллипса
  6. Элементы эллипсa
  7. Что такое канонический вид уравнения?
  8. Связанные определения
  9. Расчет площади
  10. Объяснение метода
  11. Эллипс, заданный каноническим уравнением
  12. Классификация линий второго порядка
  13. Что такое эллипс и фокусное расстояние
  14. Как построить эллипс?
  15. Свойства
  16. Формула длины окружности эллипса
  17. Как рассчитать радиус и диаметр овала
  18. Содержание:
  19. Полу минорная ось
  20. Полу-Большая Ось
  21. Длина окружности эллипса через диаметры
  22. Калькулятор периметра эллипса
  23. Калькулятор
  24. Что такое эллипс: формула длины окружности эллипса
  25. Понятие о кривых второго порядка
  26. Понятие алгебраической линии и её порядка
  27. Определение эллипсa
  28. Формула площади эллипса через каноническое уравнение
  29. Соотношения между элементами эллипса
  30. Элементы эллипсa
  31. Что такое канонический вид уравнения?
  32. Связанные определения
  33. Расчет площади
  34. Объяснение метода
  35. Эллипс, заданный каноническим уравнением
  36. Классификация линий второго порядка
  37. Что такое эллипс и фокусное расстояние
  38. Как построить эллипс?
  39. Свойства
  40. Формула длины окружности эллипса
  41. Нахождение длины дуги эллипса
  42. Калькулятор
  43. Длина дуги, как сумма хорд
  44. Длина дуги, как интеграл
  45. Длина дуги через эксцентриситет
  46. Длина дуги через эксцентриситет с подготовкой
  47. Длина дуги и хорошо забытые хорды
  48. Практика
  49. Небольшая инструкция
  50. Скачать

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

Если диаметр окружности d то эллипс,

где A, B, C, D, E, F – числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Понятие алгебраической линии и её порядка

Линию на плоскости называют алгебраической, если в аффинной системе координат её уравнение имеет вид Если диаметр окружности d то эллипс, где Если диаметр окружности d то эллипс, где Если диаметр окружности d то эллипс– многочлен, состоящий из слагаемых вида Если диаметр окружности d то эллипс( Если диаметр окружности d то эллипс( Если диаметр окружности d то эллипс– действительное число, Если диаметр окружности d то эллипс– целые неотрицательные числа).

Как видите, уравнение алгебраической линии не содержит синусов, косинусов, логарифмов и прочего функционального бомонда. Только «иксы» и «игреки» в целых неотрицательныхстепенях.

Далее под словом «линия» по умолчанию будет подразумеваться алгебраическая линия на плоскости

Порядок линии равен максимальному значению Если диаметр окружности d то эллипсвходящих в него слагаемых.

По соответствующей теореме, понятие алгебраической линии, а также её порядок не зависят от выбора аффинной системы координат , поэтому для лёгкости бытия считаем, что все последующие выкладки имеют место быть в декартовых координатах Если диаметр окружности d то эллипс.

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид Если диаметр окружности d то эллипс, где Если диаметр окружности d то эллипс, где Если диаметр окружности d то эллипс– произвольные действительные числа ( Если диаметр окружности d то эллипс принято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты Если диаметр окружности d то эллипс принято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты Если диаметр окружности d то эллипсне равны одновременно нулю.

Если Если диаметр окружности d то эллипс, то уравнение упрощается до Если диаметр окружности d то эллипс, то уравнение упрощается до Если диаметр окружности d то эллипс, и если коэффициенты Если диаметр окружности d то эллипсодновременно не равны нулю, то это в точности общее уравнение «плоской» прямой , которая представляет собой линию первого порядка.

Многие поняли смысл новых терминов, но, тем не менее, в целях 100%-го усвоения материала сунем пальцы в розетку. Чтобы определить порядок линии, нужно перебрать все слагаемыееё уравнения и у каждого из них найти сумму степенейвходящих переменных.

слагаемое Если диаметр окружности d то эллипссодержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое Если диаметр окружности d то эллипссодержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое Если диаметр окружности d то эллипссодержит «игрек» в 1-й степени;
в слагаемом Если диаметр окружности d то эллипспеременные отсутствуют, поэтому сумма их степеней равна нулю.

Далее из полученных чисел выбирается максимальное значение, в данном случае единица, – это и есть порядок линии.

Теперь разберёмся, почему уравнение Если диаметр окружности d то эллипсзадаёт линию второго порядка:

слагаемое Если диаметр окружности d то эллипссодержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого Если диаметр окружности d то эллипссодержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого Если диаметр окружности d то эллипссумма степеней переменных: 1 + 1 = 2;
слагаемое Если диаметр окружности d то эллипссодержит «игрек» во 2-й степени;
все остальные слагаемые – меньшей степени.

Максимальное значение: 2

Если к нашему уравнению дополнительно приплюсовать, скажем, Если диаметр окружности d то эллипс, то оно уже будет определять линию третьего порядка. Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
Если диаметр окружности d то эллипс, то оно уже будет определять линию третьего порядка. Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
Если диаметр окружности d то эллипс, где коэффициенты Если диаметр окружности d то эллипсне равны одновременно нулю.

В том случае, если добавить одно или несколько подходящих слагаемых, которые содержат Если диаметр окружности d то эллипс, то речь уже зайдёт о линии 4-го порядка, и т.д.

С алгебраическими линиями 3-го, 4-го и более высоких порядков нам придется столкнуться ещё не раз, в частности, при знакомстве с полярной системой координат .

Однако вернёмся к общему уравнению Если диаметр окружности d то эллипси вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола Если диаметр окружности d то эллипси вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола Если диаметр окружности d то эллипс, уравнение которой легко привести к общему виду Если диаметр окружности d то эллипс, и гипербола Если диаметр окружности d то эллипс, и гипербола Если диаметр окружности d то эллипсс эквивалентным уравнением Если диаметр окружности d то эллипс. Однако не всё так гладко….

Существенный недостаток общего уравнения состоит в том, что почти всегда не понятно, какую линию оно задаёт. Даже в простейшем случае Если диаметр окружности d то эллипсне сразу сообразишь, что это гипербола. Такие расклады хороши только на маскараде, поэтому в курсе аналитической геометрии рассматривается типовая задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .

Видео:Длина эллипса и разложение в ряд для эллиптического интегралаСкачать

Длина эллипса и разложение в ряд для эллиптического интеграла

Определение эллипсa

Эллипс — это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек F1 и F2 равна постоянной величине. Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.

Если диаметр окружности d то эллипсЕсли диаметр окружности d то эллипс
Рис.1Рис.2

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Формула площади эллипса через каноническое уравнение

Формула для нахождения площади в этом случае такова:

a , b – большая и мала полуоси эллипса, соответственно.

Решим задачу этим способом.

Дано уравнение эллипса. Найти его площадь и округлить ответ до целого числа.

2 5 x 2 ​ + 9 y 2 ​ = 1

Решение

Для начала найдем длины наших полуосей:

a = a 2 ​ = 2 5 ​ = 5

S = π ⋅ a ⋅ b = π ⋅ 5 ⋅ 3 ≈ 4 7 (см. кв.)

Ответ: 47 см. кв.

Видео:Аксонометрические Проекции Окружности #черчение #окружность #проекции #изометрияСкачать

Аксонометрические Проекции Окружности  #черчение #окружность #проекции #изометрия

Соотношения между элементами эллипса

Если диаметр окружности d то эллипс

  • Малая полуось: Если диаметр окружности d то эллипс;
  • Расстояние от фокуса до ближней вершины : Если диаметр окружности d то эллипс;
  • Расстояние от фокуса до дальней вершины : Если диаметр окружности d то эллипс;
  • Связь фокального параметра с полуосями и фокусным расстоянием:
    • Если диаметр окружности d то эллипс;
    • Если диаметр окружности d то эллипс;
    • Если диаметр окружности d то эллипс;
    • Если диаметр окружности d то эллипс;
  • Связь фокального параметра с удалением вершин от данного фокуса:
    • Если диаметр окружности d то эллипс;
    • Если диаметр окружности d то эллипс;

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Элементы эллипсa

А1А2 = 2 a – большая ось эллипса (проходит через фокусы эллипса)

B1B2 = 2 b – малая ось эллипса (перпендикулярна большей оси эллипса и проходит через ее центр)

a – большая полуось эллипса

b – малая полуось эллипса

O – центр эллипса (точка пересечения большей и малой осей эллипса)

Эксцентриситет эллипсa e характеризует его растяженность и определяется отношением фокального расстояния c к большой полуоси a . Для эллипсa эксцентриситет всегда будет 0 e e = 0, для параболы e = 1, для гиперболы e > 1.

e =c
a

Радиус эллипсa R – отрезок, соединяющий центр эллипсa О с точкой на эллипсе.

R =ab=b
√ a 2 sin 2 φ + b 2 cos 2 φ√ 1 – e 2 cos 2 φ

где e – эксцентриситет эллипсa, φ – угол между радиусом и большой осью A1A2.

p =b 2
a

Коэффициент сжатия эллипсa (эллиптичность) k – отношение длины малой полуоси к большой полуоси. Так как малая полуось эллипсa всегда меньше большей, то k k = 1:

k =b
a

где e – эксцентриситет.

1 – k =a – b
a

Видео:Как узнать диаметр окружности.Скачать

Как узнать диаметр окружности.

Что такое канонический вид уравнения?

Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет. Кроме того, канонический вид очень удобен для решения многих практических заданий. Так, например, по каноническому уравнению Если диаметр окружности d то эллипс «плоской» прямой , во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка Если диаметр окружности d то эллипс «плоской» прямой , во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка Если диаметр окружности d то эллипс и направляющий вектор Если диаметр окружности d то эллипс.

Очевидно, что любая линия 1-го порядка представляет собой прямую. На втором же этаже нас ждёт уже не вахтёр, а гораздо более разнообразная компания из девяти статуй:

Видео:Как начертить овал. Эллипс вписанный в ромбСкачать

Как начертить овал. Эллипс вписанный в ромб

Связанные определения

  • Отрезок AB, проходящий через фокусы эллипса, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
  • Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
  • Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
  • Точка пересечения эллипса с осями называются его вершинами.
  • Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
  • Расстояния r1 и r2 от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
  • Расстояние Если диаметр окружности d то эллипсназывается фокальным расстоянием.
  • Эксцентриситетом эллипса называется отношение Если диаметр окружности d то эллипс. Эксцентриситет (также обозначается ε) характеризует вытянутость эллипса изменяется. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
  • Фокальным параметромЕсли диаметр окружности d то эллипсназывается половина длины хорды , проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
  • Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: Если диаметр окружности d то эллипс. Величина, равная Если диаметр окружности d то эллипсназывается сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент и эксцентриситет эллипса связаны соотношением Если диаметр окружности d то эллипс

Видео:Аналитическая геометрия: окружность и эллипсСкачать

Аналитическая геометрия: окружность и эллипс

Расчет площади

Если диаметр окружности d то эллипс

  • Большая полуось эллипса является максимальным расстоянием от его центра до края. [1]

Если диаметр окружности d то эллипс

  • Малая полуось эллипса расположена под прямым углом 90º к его большой полуоси, однако для нахождения площади нет необходимости определять углы.
  • Малая полуось эллипса является минимальным расстоянием от его центра до края.

Если диаметр окружности d то эллипс

  • Например, если большая полуось эллипса равна 5 единицам, а малая 3 единицам длины, то получим площадь 5 x 3 x π, или около 47 квадратных единиц длины.
  • Если у вас нет под рукой калькулятора или на калькуляторе нет символа π, используйте вместо этого числа значение “3,14”.

Видео:Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Окружность. Как найти Радиус и Диаметр

Объяснение метода

Если диаметр окружности d то эллипс

Если диаметр окружности d то эллипс

Видео:11 класс, 52 урок, ЭллипсСкачать

11 класс, 52 урок, Эллипс

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как Если диаметр окружности d то эллипси Если диаметр окружности d то эллипси Если диаметр окружности d то эллипсна рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Если диаметр окружности d то эллипс,

где a и b (a > b) – длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Если диаметр окружности d то эллипс

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка Если диаметр окружности d то эллипс Если диаметр окружности d то эллипс Если диаметр окружности d то эллипсперпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат – в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат – малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид Если диаметр окружности d то эллипс. Это уравнение окружности радиуса a , а окружность – частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением Если диаметр окружности d то эллипс, эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Если диаметр окружности d то эллипс

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия – эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось – это a = 5 , меньшая полуось – это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Если диаметр окружности d то эллипс.

Точки Если диаметр окружности d то эллипси Если диаметр окружности d то эллипси Если диаметр окружности d то эллипс, обозначенные зелёным на большей оси, где

Если диаметр окружности d то эллипс,

называются фокусами.

Если диаметр окружности d то эллипс

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует “сплюснутость” эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

– если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

– если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Если диаметр окружности d то эллипс

Результат – каноническое уравнение эллипса:

Если диаметр окружности d то эллипс.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет Если диаметр окружности d то эллипс.

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

Если диаметр окружности d то эллипс.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Если диаметр окружности d то эллипс

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Если диаметр окружности d то эллипс

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением Если диаметр окружности d то эллипс.

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

Если диаметр окружности d то эллипс.

Получаем фокусы эллипса:

Если диаметр окружности d то эллипс

Видео:Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

Классификация линий второго порядка

С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов:

( Если диаметр окружности d то эллипси Если диаметр окружности d то эллипси Если диаметр окружности d то эллипс– положительные действительные числа)

1) Если диаметр окружности d то эллипс– каноническое уравнение эллипса;

2) Если диаметр окружности d то эллипс– каноническое уравнение гиперболы;

3) Если диаметр окружности d то эллипс– каноническое уравнение параболы;

4) Если диаметр окружности d то эллипсмнимый эллипс;

5) Если диаметр окружности d то эллипс– пара пересекающихся прямых;

6) Если диаметр окружности d то эллипс– пара мнимых пересекающихся прямых (с единственной действительной точкой пересечения в начале координат);

7) Если диаметр окружности d то эллипс– пара параллельных прямых;

Если диаметр окружности d то эллипс Если диаметр окружности d то эллипс– пара мнимых параллельных прямых;

9) Если диаметр окружности d то эллипс– пара совпавших прямых.

У ряда читателей может сложиться впечатление неполноты списка. Например, в пункте № 7 уравнение Если диаметр окружности d то эллипсзадаёт пару прямых Если диаметр окружности d то эллипсзадаёт пару прямых Если диаметр окружности d то эллипс, параллельных оси Если диаметр окружности d то эллипс, и возникает вопрос: а где же уравнение Если диаметр окружности d то эллипс, и возникает вопрос: а где же уравнение Если диаметр окружности d то эллипс, определяющее прямые Если диаметр окружности d то эллипс, параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим. Прямые Если диаметр окружности d то эллипс, параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим. Прямые Если диаметр окружности d то эллипспредставляют собой тот же самый стандартный случай Если диаметр окружности d то эллипс, повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись Если диаметр окружности d то эллипс, повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись Если диаметр окружности d то эллипсв классификации избыточна, поскольку не несёт ничего принципиально нового.

Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий 2-го порядка, но на практике наиболее часто встречаются эллипс, гипербола и парабола .

Сначала рассмотрим эллипс. Как обычно, я акцентирую внимание на тех моментах, которые имеют большое значение для решения задач, и если вам необходим подробный вывод формул, доказательства теорем, пожалуйста, обратитесь, например, к учебнику Базылева/Атанасяна либо Александрова.

Видео:Изображение окружности в перспективе. Эллипс.Скачать

Изображение окружности в перспективе. Эллипс.

Что такое эллипс и фокусное расстояние

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой , то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек, что называются фокусами, есть постоянная величина и равна .

Обозначим фокусы эллипса и . Допустим, что расстояние = – фокусное расстояние.

Если диаметр окружности d то эллипс

Если диаметр окружности d то эллипс– половина расстояния между фокусами;

Если диаметр окружности d то эллипс– большая полуось;

Если диаметр окружности d то эллипс– малая полуось.

Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

Если точка Если диаметр окружности d то эллипснаходится на пересечении эллипса с вертикальной осью, (теорема Пифагора). Если же точка Если диаметр окружности d то эллипснаходится на пересечении эллипса с вертикальной осью, (теорема Пифагора). Если же точка находится на пересечении его с горизонтальной осью, . Так как по определению сумма – постоянная величина, то приравнивая получается:

Видео:КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Как построить эллипс?

Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с чертежом:

Построить эллипс, заданный уравнением Если диаметр окружности d то эллипс

Решение: сначала приведём уравнение к каноническому виду:
Если диаметр окружности d то эллипс

Зачем приводить? Одно из преимуществ канонического уравнения Если диаметр окружности d то эллипсзаключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках Если диаметр окружности d то эллипсзаключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках Если диаметр окружности d то эллипс. Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению Если диаметр окружности d то эллипс.

В данном случае Если диаметр окружности d то эллипс:
Если диаметр окружности d то эллипс:
Если диаметр окружности d то эллипс
Отрезок Если диаметр окружности d то эллипсназывают большой осью эллипса;
отрезок Если диаметр окружности d то эллипсназывают большой осью эллипса;
отрезок Если диаметр окружности d то эллипсмалой осью;
число Если диаметр окружности d то эллипсназывают большой полуосью эллипса;
число Если диаметр окружности d то эллипсназывают большой полуосью эллипса;
число Если диаметр окружности d то эллипсмалой полуосью.
в нашем примере: Если диаметр окружности d то эллипс.

Чтобы быстро представить, как выглядит тот или иной эллипс достаточно посмотреть на значения «а» и «бэ» его канонического уравнения.

Всё ладно, складно и красиво, но есть один нюанс: я выполнил чертёж с помощью программы . И вы можете выполнить чертёж с помощью какого-либо приложения. Однако в суровой действительности на столе лежит клетчатый листок бумаги, и на наших руках водят хороводы мыши. Люди с художественным талантом, конечно, могут поспорить, но мыши есть и у вас тоже (правда, поменьше). Таки не зря человечество изобрело линейку, циркуль, транспортир и другие нехитрые приспособления для черчения.

По этой причине нам вряд ли удастся аккуратно начертить эллипс, зная одни вершины. Ещё куда ни шло, если эллипс небольшой, например, с полуосями Если диаметр окружности d то эллипс. Как вариант, можно уменьшить масштаб и, соответственно, размеры чертежа. Но в общем случае крайне желательно найти дополнительные точки.

Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки мне не нравится по причине не самого короткого алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В случае крайней необходимости, пожалуйста, обратитесь к учебнику, а в реальности же гораздо рациональнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса Если диаметр окружности d то эллипсна черновике быстренько выражаем:
Если диаметр окружности d то эллипсна черновике быстренько выражаем:
Если диаметр окружности d то эллипс

Далее уравнение распадается на две функции:
Если диаметр окружности d то эллипс– определяет верхнюю дугу эллипса;
Если диаметр окружности d то эллипс– определяет верхнюю дугу эллипса;
Если диаметр окружности d то эллипс– определяет нижнюю дугу эллипса.

Заданный каноническим уравнением эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат. И это отлично – симметрия почти всегда предвестник халявы. Очевидно, что достаточно разобраться с 1-й координатной четвертью, поэтому нам потребуется функция Если диаметр окружности d то эллипс. Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами Если диаметр окружности d то эллипс. Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами Если диаметр окружности d то эллипс. Настукаем три смс-ки на калькуляторе:
Если диаметр окружности d то эллипс
Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу выяснится в ходе построения.

Отметим на чертеже точки Если диаметр окружности d то эллипс(красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:
Если диаметр окружности d то эллипс(красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:
Если диаметр окружности d то эллипс
Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу. В результате должен получиться вполне достойный эллипс. Кстати, не желаете ли узнать, что это за кривая?

Видео:РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать

РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?

Свойства

  • Фокальное свойство. Если F1 и F2 — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F1X) равен углу между этой касательной и прямой (F2X) .
  • Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
  • Эволютой эллипса является астроида .

Эллипс также можно описать как

  • фигуру, которую можно получить из окружности , применяя аффинное преобразование
  • ортогональную проекцию окружности на плоскость .
  • Пересечение плоскости и кругового цилиндра

Видео:Как правильно измерить диаметр трубыСкачать

Как правильно измерить диаметр трубы

Формула длины окружности эллипса

Хотя рассматриваемая фигура является достаточно простой, длину ее окружности точно можно определить, если вычислить так называемые эллиптические интегралы второго рода. Однако, индусский математик-самоучка Рамануджан еще в начале XX века предложил достаточно простую формулу длины эллипса, которая приближается к результату отмеченных интегралов снизу. То есть рассчитанное по ней значение рассматриваемой величины будет немного меньше, чем реальная длина. Эта формула имеет вид: P ≈ pi * [3 * (a+b) – √((3 * a + b) * (a + 3 * b))], где pi = 3,14 – число пи.

Например, пусть длины двух полуосей эллипса будут равны a = 10 см и b = 8 см, тогда его длина P = 56,7 см.

Каждый может проверить, что если a = b = R, то есть рассматривается обычная окружность, тогда формула Рамануджана сводится к виду P = 2 * pi * R.

Отметим, что в школьных учебниках часто приводится другая формула: P = pi * (a + b). Она является более простой, но и менее точной. Так, если ее применить для рассмотренного случая, то получим значение P = 56,5 см.

Видео:ЭллипсСкачать

Эллипс

Как рассчитать радиус и диаметр овала

Овал также называют эллипсом. Из-за своей продолговатой формы овал имеет два диаметра: диаметр, который проходит через самую короткую часть овала, или полу-малую ось, и диаметр, который проходит через

Если диаметр окружности d то эллипс

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Содержание:

Овал также называют эллипсом. Из-за своей продолговатой формы овал имеет два диаметра: диаметр, который проходит через самую короткую часть овала, или полу-малую ось, и диаметр, который проходит через самую длинную часть овала, или полу-большую ось. , Каждая ось перпендикулярно делит пополам другую, разрезая друг друга на две равные части и создавая прямые углы там, где они встречаются. Есть также два радиуса, по одному на каждый диаметр. Чтобы рассчитать радиусы и диаметры или оси овала, используйте точки фокусировки овала — две точки, которые расположены на равном расстоянии друг от друга на большой полуоси — и любую одну точку по периметру овала.

Видео:ПОСТРОЕНИЕ ОВАЛА │ КАК НАЧЕРТИТЬ ОВАЛ ПРИ ПОСТРОЕНИИ АКСОНОМЕТРИИ │ Урок #61Скачать

ПОСТРОЕНИЕ ОВАЛА │ КАК НАЧЕРТИТЬ ОВАЛ ПРИ ПОСТРОЕНИИ АКСОНОМЕТРИИ │ Урок #61

Полу минорная ось

Измерьте расстояние между одной точкой фокусировки до точки по периметру овала, чтобы определить a. В этом примере a будет равно 5 см.

Измерьте расстояние между другой точкой фокусировки и той же точкой на периметре, чтобы определить b. В этом примере b будет равен 3 см.

Добавьте a и b вместе и возведите в квадрат сумму. Например, 5 см плюс 3 см равны 8 см, а 8 см в квадрате равны 64 см ^ 2.

Измерьте расстояние между двумя точками фокусировки, чтобы выяснить f; возвести в квадрат результат. В этом примере f равно 5 см, а квадрат 5 см равен 25 см ^ 2.

Вычтите сумму на шаге четыре из суммы на шаге три. Например, 64 см ^ 2 минус 25 см ^ 2 равняется 39 см ^ 2.

Рассчитайте квадратный корень суммы из шага пять. Например, квадратный корень из 39 равен 6,245, округленный до ближайшей тысячной. Следовательно, малая ось или самый короткий диаметр составляет 6,245 см.

Разделите измерение полу-малой оси пополам, чтобы вычислить ее радиус. Например, 6,245 см, разделенные на два, равны 3,122 см.

Видео:ИСКАЖЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ (ЭЛЛИПСА) В АКСОНОМЕТРИИ. ПОСТРОЕНИЕ ОВАЛА. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКАСкачать

ИСКАЖЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ (ЭЛЛИПСА) В АКСОНОМЕТРИИ. ПОСТРОЕНИЕ ОВАЛА. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

Полу-Большая Ось

Повторите процесс измерения из предыдущего раздела, чтобы выяснить a и b. В этом примере хорошо использовать те же цифры: 5 см и 3 см.

Добавьте a и b вместе. Результатом является большая полуось. Например, 5 см плюс 3 см равны 8 см, поэтому большая полуось составляет 8 см.

Уменьшить вдвое результат первого шага, чтобы вычислить радиус. Восемь, разделенная на два, равна четырем, поэтому другой радиус равен 4 см.

Длина окружности эллипса через диаметры

Калькулятор периметра эллипса

Введите длину большой и малой полуосей эллипса, укажите точность расчета и нажмите «Посчитать». Калькулятор выполнит расчет периметра эллипса (расчет приблизительный).

Калькулятор

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости есть величина постоянная, больше расстояния между F1 и F2.

Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса, а расстояние между ними — фокусным расстоянием.

Проходящий через фокусы эллипса отрезок, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a.

Отрезок, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.

Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.

Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.

Формулу периметра эллипса нельзя выразить при помощи простейших функций.

Что такое эллипс: формула длины окружности эллипса

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

Если диаметр окружности d то эллипс,

где A, B, C, D, E, F – числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Понятие алгебраической линии и её порядка

Линию на плоскости называют алгебраической, если в аффинной системе координат её уравнение имеет вид Если диаметр окружности d то эллипс, где Если диаметр окружности d то эллипс, где Если диаметр окружности d то эллипс– многочлен, состоящий из слагаемых вида Если диаметр окружности d то эллипс( Если диаметр окружности d то эллипс( Если диаметр окружности d то эллипс– действительное число, Если диаметр окружности d то эллипс– целые неотрицательные числа).

Как видите, уравнение алгебраической линии не содержит синусов, косинусов, логарифмов и прочего функционального бомонда. Только «иксы» и «игреки» в целых неотрицательныхстепенях.

Далее под словом «линия» по умолчанию будет подразумеваться алгебраическая линия на плоскости

Порядок линии равен максимальному значению Если диаметр окружности d то эллипсвходящих в него слагаемых.

По соответствующей теореме, понятие алгебраической линии, а также её порядок не зависят от выбора аффинной системы координат , поэтому для лёгкости бытия считаем, что все последующие выкладки имеют место быть в декартовых координатах Если диаметр окружности d то эллипс.

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид Если диаметр окружности d то эллипс, где Если диаметр окружности d то эллипс, где Если диаметр окружности d то эллипс– произвольные действительные числа ( Если диаметр окружности d то эллипспринято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты Если диаметр окружности d то эллипспринято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты Если диаметр окружности d то эллипсне равны одновременно нулю.

Если Если диаметр окружности d то эллипс, то уравнение упрощается до Если диаметр окружности d то эллипс, то уравнение упрощается до Если диаметр окружности d то эллипс, и если коэффициенты Если диаметр окружности d то эллипсодновременно не равны нулю, то это в точности общее уравнение «плоской» прямой , которая представляет собой линию первого порядка.

Многие поняли смысл новых терминов, но, тем не менее, в целях 100%-го усвоения материала сунем пальцы в розетку. Чтобы определить порядок линии, нужно перебрать все слагаемыееё уравнения и у каждого из них найти сумму степенейвходящих переменных.

слагаемое Если диаметр окружности d то эллипссодержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое Если диаметр окружности d то эллипссодержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое Если диаметр окружности d то эллипссодержит «игрек» в 1-й степени;
в слагаемом Если диаметр окружности d то эллипспеременные отсутствуют, поэтому сумма их степеней равна нулю.

Далее из полученных чисел выбирается максимальное значение, в данном случае единица, – это и есть порядок линии.

Теперь разберёмся, почему уравнение Если диаметр окружности d то эллипсзадаёт линию второго порядка:

слагаемое Если диаметр окружности d то эллипссодержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого Если диаметр окружности d то эллипссодержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого Если диаметр окружности d то эллипссумма степеней переменных: 1 + 1 = 2;
слагаемое Если диаметр окружности d то эллипссодержит «игрек» во 2-й степени;
все остальные слагаемые – меньшей степени.

Максимальное значение: 2

Если к нашему уравнению дополнительно приплюсовать, скажем, Если диаметр окружности d то эллипс, то оно уже будет определять линию третьего порядка. Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
Если диаметр окружности d то эллипс, то оно уже будет определять линию третьего порядка. Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
Если диаметр окружности d то эллипс, где коэффициенты Если диаметр окружности d то эллипсне равны одновременно нулю.

В том случае, если добавить одно или несколько подходящих слагаемых, которые содержат Если диаметр окружности d то эллипс, то речь уже зайдёт о линии 4-го порядка, и т.д.

С алгебраическими линиями 3-го, 4-го и более высоких порядков нам придется столкнуться ещё не раз, в частности, при знакомстве с полярной системой координат .

Однако вернёмся к общему уравнению Если диаметр окружности d то эллипси вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола Если диаметр окружности d то эллипси вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола Если диаметр окружности d то эллипс, уравнение которой легко привести к общему виду Если диаметр окружности d то эллипс, и гипербола Если диаметр окружности d то эллипс, и гипербола Если диаметр окружности d то эллипсс эквивалентным уравнением Если диаметр окружности d то эллипс. Однако не всё так гладко….

Существенный недостаток общего уравнения состоит в том, что почти всегда не понятно, какую линию оно задаёт. Даже в простейшем случае Если диаметр окружности d то эллипсне сразу сообразишь, что это гипербола. Такие расклады хороши только на маскараде, поэтому в курсе аналитической геометрии рассматривается типовая задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .

Определение эллипсa

Эллипс — это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек F1 и F2 равна постоянной величине. Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.

Если диаметр окружности d то эллипсЕсли диаметр окружности d то эллипс
Рис.1Рис.2

Формула площади эллипса через каноническое уравнение

Формула для нахождения площади в этом случае такова:

a , b – большая и мала полуоси эллипса, соответственно.

Решим задачу этим способом.

Дано уравнение эллипса. Найти его площадь и округлить ответ до целого числа.

2 5 x 2 ​ + 9 y 2 ​ = 1

Решение

Для начала найдем длины наших полуосей:

a = a 2 ​ = 2 5 ​ = 5

S = π ⋅ a ⋅ b = π ⋅ 5 ⋅ 3 ≈ 4 7 (см. кв.)

Ответ: 47 см. кв.

Соотношения между элементами эллипса

Если диаметр окружности d то эллипс

  • Малая полуось: Если диаметр окружности d то эллипс;
  • Расстояние от фокуса до ближней вершины : Если диаметр окружности d то эллипс;
  • Расстояние от фокуса до дальней вершины : Если диаметр окружности d то эллипс;
  • Связь фокального параметра с полуосями и фокусным расстоянием:
    • Если диаметр окружности d то эллипс;
    • Если диаметр окружности d то эллипс;
    • Если диаметр окружности d то эллипс;
    • Если диаметр окружности d то эллипс;
  • Связь фокального параметра с удалением вершин от данного фокуса:
    • Если диаметр окружности d то эллипс;
    • Если диаметр окружности d то эллипс;

Элементы эллипсa

А1А2 = 2 a – большая ось эллипса (проходит через фокусы эллипса)

B1B2 = 2 b – малая ось эллипса (перпендикулярна большей оси эллипса и проходит через ее центр)

a – большая полуось эллипса

b – малая полуось эллипса

O – центр эллипса (точка пересечения большей и малой осей эллипса)

Эксцентриситет эллипсa e характеризует его растяженность и определяется отношением фокального расстояния c к большой полуоси a . Для эллипсa эксцентриситет всегда будет 0 e e = 0, для параболы e = 1, для гиперболы e > 1.

e =c
a

Радиус эллипсa R – отрезок, соединяющий центр эллипсa О с точкой на эллипсе.

R =ab=b
√ a 2 sin 2 φ + b 2 cos 2 φ√ 1 – e 2 cos 2 φ

где e – эксцентриситет эллипсa, φ – угол между радиусом и большой осью A1A2.

p =b 2
a

Коэффициент сжатия эллипсa (эллиптичность) k – отношение длины малой полуоси к большой полуоси. Так как малая полуось эллипсa всегда меньше большей, то k k = 1:

k =b
a

где e – эксцентриситет.

1 – k =a – b
a

Что такое канонический вид уравнения?

Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет. Кроме того, канонический вид очень удобен для решения многих практических заданий. Так, например, по каноническому уравнению Если диаметр окружности d то эллипс«плоской» прямой , во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка Если диаметр окружности d то эллипс«плоской» прямой , во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка Если диаметр окружности d то эллипс и направляющий вектор Если диаметр окружности d то эллипс.

Очевидно, что любая линия 1-го порядка представляет собой прямую. На втором же этаже нас ждёт уже не вахтёр, а гораздо более разнообразная компания из девяти статуй:

Связанные определения

  • Отрезок AB, проходящий через фокусы эллипса, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
  • Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
  • Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
  • Точка пересечения эллипса с осями называются его вершинами.
  • Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
  • Расстояния r1 и r2 от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
  • Расстояние Если диаметр окружности d то эллипсназывается фокальным расстоянием.
  • Эксцентриситетом эллипса называется отношение Если диаметр окружности d то эллипс. Эксцентриситет (также обозначается ε) характеризует вытянутость эллипса изменяется. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
  • Фокальным параметромЕсли диаметр окружности d то эллипсназывается половина длины хорды , проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
  • Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: Если диаметр окружности d то эллипс. Величина, равная Если диаметр окружности d то эллипсназывается сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент и эксцентриситет эллипса связаны соотношением Если диаметр окружности d то эллипс

Расчет площади

Если диаметр окружности d то эллипс

  • Большая полуось эллипса является максимальным расстоянием от его центра до края. [1]

Если диаметр окружности d то эллипс

  • Малая полуось эллипса расположена под прямым углом 90º к его большой полуоси, однако для нахождения площади нет необходимости определять углы.
  • Малая полуось эллипса является минимальным расстоянием от его центра до края.

Если диаметр окружности d то эллипс

  • Например, если большая полуось эллипса равна 5 единицам, а малая 3 единицам длины, то получим площадь 5 x 3 x π, или около 47 квадратных единиц длины.
  • Если у вас нет под рукой калькулятора или на калькуляторе нет символа π, используйте вместо этого числа значение “3,14”.

Объяснение метода

Если диаметр окружности d то эллипс

Если диаметр окружности d то эллипс

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как Если диаметр окружности d то эллипси Если диаметр окружности d то эллипси Если диаметр окружности d то эллипсна рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Если диаметр окружности d то эллипс,

где a и b (a > b) – длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Если диаметр окружности d то эллипс

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка Если диаметр окружности d то эллипс Если диаметр окружности d то эллипсЕсли диаметр окружности d то эллипсперпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат – в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат – малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид Если диаметр окружности d то эллипс. Это уравнение окружности радиуса a , а окружность – частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением Если диаметр окружности d то эллипс, эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Если диаметр окружности d то эллипс

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия – эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось – это a = 5 , меньшая полуось – это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Если диаметр окружности d то эллипс.

Точки Если диаметр окружности d то эллипси Если диаметр окружности d то эллипси Если диаметр окружности d то эллипс, обозначенные зелёным на большей оси, где

Если диаметр окружности d то эллипс,

называются фокусами.

Если диаметр окружности d то эллипс

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует “сплюснутость” эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

– если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

– если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Если диаметр окружности d то эллипс

Результат – каноническое уравнение эллипса:

Если диаметр окружности d то эллипс.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет Если диаметр окружности d то эллипс.

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

Если диаметр окружности d то эллипс.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Если диаметр окружности d то эллипс

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Если диаметр окружности d то эллипс

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением Если диаметр окружности d то эллипс.

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

Если диаметр окружности d то эллипс.

Получаем фокусы эллипса:

Если диаметр окружности d то эллипс

Классификация линий второго порядка

С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов:

( Если диаметр окружности d то эллипси Если диаметр окружности d то эллипси Если диаметр окружности d то эллипс– положительные действительные числа)

1) Если диаметр окружности d то эллипс– каноническое уравнение эллипса;

2) Если диаметр окружности d то эллипс– каноническое уравнение гиперболы;

3) Если диаметр окружности d то эллипс– каноническое уравнение параболы;

4) Если диаметр окружности d то эллипсмнимый эллипс;

5) Если диаметр окружности d то эллипс– пара пересекающихся прямых;

6) Если диаметр окружности d то эллипс– пара мнимых пересекающихся прямых (с единственной действительной точкой пересечения в начале координат);

7) Если диаметр окружности d то эллипс– пара параллельных прямых;

Если диаметр окружности d то эллипсЕсли диаметр окружности d то эллипс– пара мнимых параллельных прямых;

9) Если диаметр окружности d то эллипс– пара совпавших прямых.

У ряда читателей может сложиться впечатление неполноты списка. Например, в пункте № 7 уравнение Если диаметр окружности d то эллипсзадаёт пару прямых Если диаметр окружности d то эллипсзадаёт пару прямых Если диаметр окружности d то эллипс, параллельных оси Если диаметр окружности d то эллипс, и возникает вопрос: а где же уравнение Если диаметр окружности d то эллипс, и возникает вопрос: а где же уравнение Если диаметр окружности d то эллипс, определяющее прямые Если диаметр окружности d то эллипс, параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим. Прямые Если диаметр окружности d то эллипс, параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим. Прямые Если диаметр окружности d то эллипспредставляют собой тот же самый стандартный случай Если диаметр окружности d то эллипс, повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись Если диаметр окружности d то эллипс, повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись Если диаметр окружности d то эллипсв классификации избыточна, поскольку не несёт ничего принципиально нового.

Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий 2-го порядка, но на практике наиболее часто встречаются эллипс, гипербола и парабола .

Сначала рассмотрим эллипс. Как обычно, я акцентирую внимание на тех моментах, которые имеют большое значение для решения задач, и если вам необходим подробный вывод формул, доказательства теорем, пожалуйста, обратитесь, например, к учебнику Базылева/Атанасяна либо Александрова.

Что такое эллипс и фокусное расстояние

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой , то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек, что называются фокусами, есть постоянная величина и равна .

Обозначим фокусы эллипса и . Допустим, что расстояние = – фокусное расстояние.

Если диаметр окружности d то эллипс

Если диаметр окружности d то эллипс– половина расстояния между фокусами;

Если диаметр окружности d то эллипс– большая полуось;

Если диаметр окружности d то эллипс– малая полуось.

Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

Если точка Если диаметр окружности d то эллипснаходится на пересечении эллипса с вертикальной осью, (теорема Пифагора). Если же точка Если диаметр окружности d то эллипснаходится на пересечении эллипса с вертикальной осью, (теорема Пифагора). Если же точка находится на пересечении его с горизонтальной осью, . Так как по определению сумма – постоянная величина, то приравнивая получается:

Как построить эллипс?

Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с чертежом:

Построить эллипс, заданный уравнением Если диаметр окружности d то эллипс

Решение: сначала приведём уравнение к каноническому виду:
Если диаметр окружности d то эллипс

Зачем приводить? Одно из преимуществ канонического уравнения Если диаметр окружности d то эллипсзаключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках Если диаметр окружности d то эллипсзаключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках Если диаметр окружности d то эллипс. Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению Если диаметр окружности d то эллипс.

В данном случае Если диаметр окружности d то эллипс:
Если диаметр окружности d то эллипс:
Если диаметр окружности d то эллипс
Отрезок Если диаметр окружности d то эллипсназывают большой осью эллипса;
отрезок Если диаметр окружности d то эллипсназывают большой осью эллипса;
отрезок Если диаметр окружности d то эллипсмалой осью;
число Если диаметр окружности d то эллипсназывают большой полуосью эллипса;
число Если диаметр окружности d то эллипсназывают большой полуосью эллипса;
число Если диаметр окружности d то эллипсмалой полуосью.
в нашем примере: Если диаметр окружности d то эллипс.

Чтобы быстро представить, как выглядит тот или иной эллипс достаточно посмотреть на значения «а» и «бэ» его канонического уравнения.

Всё ладно, складно и красиво, но есть один нюанс: я выполнил чертёж с помощью программы . И вы можете выполнить чертёж с помощью какого-либо приложения. Однако в суровой действительности на столе лежит клетчатый листок бумаги, и на наших руках водят хороводы мыши. Люди с художественным талантом, конечно, могут поспорить, но мыши есть и у вас тоже (правда, поменьше). Таки не зря человечество изобрело линейку, циркуль, транспортир и другие нехитрые приспособления для черчения.

По этой причине нам вряд ли удастся аккуратно начертить эллипс, зная одни вершины. Ещё куда ни шло, если эллипс небольшой, например, с полуосями Если диаметр окружности d то эллипс. Как вариант, можно уменьшить масштаб и, соответственно, размеры чертежа. Но в общем случае крайне желательно найти дополнительные точки.

Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки мне не нравится по причине не самого короткого алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В случае крайней необходимости, пожалуйста, обратитесь к учебнику, а в реальности же гораздо рациональнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса Если диаметр окружности d то эллипсна черновике быстренько выражаем:
Если диаметр окружности d то эллипсна черновике быстренько выражаем:
Если диаметр окружности d то эллипс

Далее уравнение распадается на две функции:
Если диаметр окружности d то эллипс– определяет верхнюю дугу эллипса;
Если диаметр окружности d то эллипс– определяет верхнюю дугу эллипса;
Если диаметр окружности d то эллипс– определяет нижнюю дугу эллипса.

Заданный каноническим уравнением эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат. И это отлично – симметрия почти всегда предвестник халявы. Очевидно, что достаточно разобраться с 1-й координатной четвертью, поэтому нам потребуется функция Если диаметр окружности d то эллипс. Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами Если диаметр окружности d то эллипс. Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами Если диаметр окружности d то эллипс. Настукаем три смс-ки на калькуляторе:
Если диаметр окружности d то эллипс
Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу выяснится в ходе построения.

Отметим на чертеже точки Если диаметр окружности d то эллипс(красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:
Если диаметр окружности d то эллипс(красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:
Если диаметр окружности d то эллипс
Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу. В результате должен получиться вполне достойный эллипс. Кстати, не желаете ли узнать, что это за кривая?

Свойства

  • Фокальное свойство. Если F1 и F2 — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F1X) равен углу между этой касательной и прямой (F2X) .
  • Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
  • Эволютой эллипса является астроида .

Эллипс также можно описать как

  • фигуру, которую можно получить из окружности , применяя аффинное преобразование
  • ортогональную проекцию окружности на плоскость .
  • Пересечение плоскости и кругового цилиндра

Формула длины окружности эллипса

Хотя рассматриваемая фигура является достаточно простой, длину ее окружности точно можно определить, если вычислить так называемые эллиптические интегралы второго рода. Однако, индусский математик-самоучка Рамануджан еще в начале XX века предложил достаточно простую формулу длины эллипса, которая приближается к результату отмеченных интегралов снизу. То есть рассчитанное по ней значение рассматриваемой величины будет немного меньше, чем реальная длина. Эта формула имеет вид: P ≈ pi * [3 * (a+b) – √((3 * a + b) * (a + 3 * b))], где pi = 3,14 – число пи.

Например, пусть длины двух полуосей эллипса будут равны a = 10 см и b = 8 см, тогда его длина P = 56,7 см.

Каждый может проверить, что если a = b = R, то есть рассматривается обычная окружность, тогда формула Рамануджана сводится к виду P = 2 * pi * R.

Отметим, что в школьных учебниках часто приводится другая формула: P = pi * (a + b). Она является более простой, но и менее точной. Так, если ее применить для рассмотренного случая, то получим значение P = 56,5 см.

Нахождение длины дуги эллипса

IP76 > Нахождение длины дуги эллипса

Если диаметр окружности d то эллипс

Как ни странно, но для нахождения длины дуги эллипса нет какой-то определенной функции, как в случае длины дуги окружности, или нахождения координат точки на эллипсе. Это интегральное уравнение.

Калькулятор

Get a better browser, bro…

Интегральное уравнение будем решать как обычно делается в подобных случаях: суммировать очень маленькие значения, которые получаются в результате работы некоей функции, на заданном диапазоне данных, которые наращиваются на чрезвычайно малую постоянную величину. Эта малая величина задается вызывающей стороной. В конце статьи есть рабочий пример с исходниками, в котором можно поиграться с этой «малостью».

Длина дуги, как сумма хорд

Самое простое, что может прийти в голову, это двигаться от начала дуги к ее концу с небольшим наращиванием угла отклонения, считать хорду и прибавлять ее к накапливаемой сумме.

Если диаметр окружности d то эллипсРис.1. Сумма хорд

Если диаметр окружности d то эллипс(1) Сумма хорд

Проще говоря, находим координаты двух точек на эллипсе, отстоящих друг от друга на некий малый угол, по ним находим хорду, как гипотенузу получившегося прямоугольного треугольника.

В коде выглядит так:

Проверим с планетарным размахом. По последним данным Международной Службы Вращения Земли (IERS — 1996) большая экваториальная полуось Земли равна 6 378 136,49 м, а полярная малая — 6 356 751,75 м.

Посчитаем периметр меридиана каким-нибудь онлайн-калькулятором, получаем 40 007 859.543 (некоторые могут дать другое число, т.к. используют приближенные формулы для вычисления периметра).

Представленная выше функция за 109 милисекунд выдала результат 40 007 996.265 при дельте 0.001. Это нельзя назвать точным результатом.

Длина дуги, как интеграл

Длиной некоторой дуги называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина наибольшего ее звена стремится к нулю:

Если диаметр окружности d то эллипс(2) Предел суммы хорд при максимальной длине хорды, стремящейся к нулю
Если диаметр окружности d то эллипс(3) Длина t-го звена (хорды) вписанной ломаной

Таким образом, длина дуги эллипса может быть описана интегральным уравнением:

Если диаметр окружности d то эллипс(4) Интегрально-дифференциальное уравнение дуги эллипса

Используя параметрическое уравнение эллипса, приходим к уравнению:

Если диаметр окружности d то эллипс

Где t1 и t2 – параметры для начала и конца дуги параметрического уравнения эллипса. Параметром является некий угол к оси абсцисс. Что такое и как найти параметр для угла эллипса подробно изложено тут.

Зная, что (cos t)’ = — sin t, (sin t)’ = cos t (подробный вывод приведен тут и тут), получаем следующую формулу:

Если диаметр окружности d то эллипс(5) Длина дуги эллипса

Выводов достаточно, чтобы написать вторую функцию нахождения длины дуги эллипса.

Результат при dt = 0.001 равен 40 007 859,543 за 109 милисекунд. Отлично!

Длина дуги через эксцентриситет

Это еще не окончательный вид уравнения. В ряде интересных параметров для эллипса есть такая числовая характеристика, показывающая степень отклонения эллипса от окружности, как эксцентриситет. Формула для эллипса:

Если диаметр окружности d то эллипс(6) Эксцентриситет эллипса через полуоси

Чем эксцентриситет ближе к нулю, т.е. разница между a и b меньше, тем больше эллипс похож на окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

Выразим b 2 = a 2 (1 — e 2 ), подставим в формулу (5), помним, что sin 2 t + cos 2 t = 1 (справочник [1]), убираем a 2 за знак корня, и, как постоянную величину, за знак интеграла тоже, получаем:

Если диаметр окружности d то эллипс(7) Окончательный вид уравнения для длины дуги эллипса

Пишем функцию, ожидаем более шустрого выполнения:

Результат 40 007 859.543, за чуть меньшее время, 94 милисекунды.

Длина дуги через эксцентриситет с подготовкой

Возьмем за основу последнюю функцию. Алгоритм построен так, что в цикле идем от стартового угла, к конечному, на каждой итерации подсчитывая параметр. А если сразу посчитать начальный и конечный параметры и определить условие выхода из цикла? Этим мы однозначно снизим вычислительную нагрузку внутри цикла.

Если диаметр окружности d то эллипсРис.2. Параметры дуги эллипса.

То есть, вместо того, чтобы идти из точки A в точку B, мы заранее считаем параметры t1 и t2. И в цикле больше нахождением параметров не занимаемся, а только считаем очередное приращение.

Берем код последней реализации и улучшаем:

Результат — 40 007 859,543 за 30 милисекунд! Мысль явно здравая.

Длина дуги и хорошо забытые хорды

Но вернемся к сумме хорд. Что там-то не так? Казалось бы, все просто, понятно и должно работать, но результат, мягко говоря, не точен.

Работая с вещественными типами, результат зависит от «мелкости» приращения, от разрядности используемых типов. Накапливаемые погрешности, неточное представление дробного числа и прочие прелести чисел с плавающей запятой.

Тип Extended – самый точный из существующих в Delphi (и, как следствие, самый медленный). Перепишем нахождение длины дуги хордами, используя этот тип, и без вызовов внешних функций нахождения координат на эллипсе.

Результат 40 007 859.542 за 94 милисекунды. Разница в одну тысячную, и такое же время. Весьма неплохо!

Практика

Качаем, запускаем. Видим такое окно:

Если диаметр окружности d то эллипсРис.3. Пример: Вид при запуске

При запуске в полях полуосей находятся «земные» значения. Эллипс сильно смахивает на окружность. Можно сразу нажать «Расчет», увидеть значения полярного меридиана, и начинать уже эксперименты.

Для начала проверим корректность получаемых результатов. Я попытался найти какие-нибудь онлайн калькуляторы для подсчета длины дуги эллипса, в которых можно было бы указать стартовый угол и произвольное отклонение, либо просто пару углов, определяющих дугу. Но все калькуляторы считают периметр эллипса. А с произвольной дугой как-то… не встретились.

Картинка из вики:

Если диаметр окружности d то эллипсДлина дуги эллипса (s) в зависимости от его параметра (θ) Автор: Illustr — собственная работа, CC BY-SA 4.0, Ссылка

Заскриним несколько моментов и посчитаем корректность:

Если диаметр окружности d то эллипсРис.4. Скрины расчетов

Введем a=2, b=0.5, стартовый угол равен 0, отклонение θ=5.642.

Если диаметр окружности d то эллипсРис.5. Подсчет длины дуги для a=2, b=0.5, стартовый угол=0, отклонение θ=5.642

Видим результат у всех один 8.055. Т.е правы все.

Аналогично поступаем с остальными тремя скринами:

  • отклонение θ=1.154. У нас получился результат 1.333. На скрине видим результат s=1.334. Как так? Давайте увеличим «Дельту» в 10 раз, т.е. вместо 0.001, сделаем 0,01. У всех интегральных 2) 3) 4) результат станет 1.334. В то время, как у 1) и 5), т.е. примитивно-неинтегрально-хордовых останется 1.333.

Какой результат более истинный? Смотрите сами. Уменьшение дельты, т.е. угла для подсчетов, ведет к более точному результату. На 0.001 интегральные функции выдали результат как хордовые. При более грубой дельте, интегральные чуть изменились, а хордовые верны своему результату.

Сделаем дельту очень мелкой, равной 0.00001. Результат у всех, кроме первой, тот же, 1.333.

Лично я начинаю верить 5-ой формуле.

  • отклонение θ= 206. У нас получился результат 4.322. На скрине результат s= 4.322. Дельта 0.001. Все отлично.
  • отклонение θ= 4,488. У нас получился результат 5,989. На скрине результат s= 5,989. Дельта 0.001. Все отлично.

Вывод : Формулы 2-5 работают как надо. Фаворит 5. За меньшее время, т.е. при более «грубой» дельте, находит правильный результат.

Проверим на ужасных эллипсах. Т.е. где эксцентриситет очень близок к единице.

Если диаметр окружности d то эллипсРис.6. Проверка на очень «сплющенном» эллипсе

Можем заметить следующее: при 0.00001 функции 2 и 3 дали результат, близкий к результату функции 4, полученный при дельте 0.001. При дельте 0.00001 функция 4 дала результат, близкий к результату функции 5. Сама же функция 5 слабо колеблется в показаниях, что при дельте в 0.001, что при 0.00001.

Аналогичную ситуацию можно пронаблюдать при сильно вытянутом эллипсе:

Если диаметр окружности d то эллипсРис.7. Проверка на очень «вытянутом» эллипсе

Таким образом, имеет смысл использовать функции 4 и 5. Одну, как представительницу интегрального сословия, самую быструю и более точную из них. Другую, как представительницу очевидного и простого метода, работающую, между тем, лучше своих интегральных коллег при минимальных ресурсных затратах.

Небольшая инструкция

Правая кнопка мыши задает стартовый угол. Удерживая правую кнопку мыши можно «прогуляться» по эллипсу. Конечная точка дуги будет следовать за стартовой точкой, отстоя на заданный ранее угол. Если поставить галку на «сохранять параметрическое отклонение», параметрический угол между t1 и t2 станет неизменен. Очень полезно пронаблюдать, как будет меняться сектор.

Левая кнопка мыши задает конечную точку дуги, т.е. угол отклонения.

Скачать

Друзья, спасибо за внимание!

Поделиться или сохранить к себе: