Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медианСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медианФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медианВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой ЭйлераСкачать

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой Эйлера

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникЦентр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан
Равнобедренный треугольникЦентр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан
Равносторонний треугольникЦентр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан
Прямоугольный треугольникЦентр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Произвольный треугольник
Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан
Равнобедренный треугольник
Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан
Равносторонний треугольник
Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан
Прямоугольный треугольник
Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан
Произвольный треугольник
Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан.

Равнобедренный треугольникЦентр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Равносторонний треугольникЦентр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникЦентр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точкиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точки

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан– полупериметр (рис. 6).

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

с помощью формулы Герона получаем:

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Точка пересечения медиан.Скачать

Точка пересечения медиан.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Какие из следующих утверждений верны?

1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.» — верно, oколо треугольника можно описать окружность, притом только одну.

2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Выражение «не более одной» означает, что окружностей не может быть больше одной. Выражение «не менее одной» означает, что окружностей не может быть меньше одной. В частности, «ровно одна окружность» удовлетворяет как условию «не более одной», так и условию «не менее одной».

Утверждение «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности» можно сформулировать так: «В любой треугольник можно вписать хотя бы одну окружность». Если бы это утверждение было неверным, это означало бы, что существуют треугольники, в которые нельзя вписать хотя бы одну окружность, но таких треугольников не существует, поэтому утверждение является верным.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружность, вписанная в правильный треугольник

Окружность, вписанная в правильный треугольник, помимо свойств вписанной в произвольный треугольник окружности, обладает своими собственными свойствами.

1) Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Поскольку в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, то центр вписанной в правильный треугольник окружности является точкой пересечения не только его биссектрис, но также медиан и высот.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медианНапример, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр вписанной окружности.

AK, BF и CD — биссектрисы, медианы и высоты треугольника ABC.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

2) Расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу. Так как центр вписанной в правильный треугольник окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной третьей длины медианы:

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Таким образом, формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

3) Так как формула для нахождения площади равностороннего треугольника через сторону

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

можем найти площадь через r:

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

Таким образом, формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности —

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

3) Все отрезки, на которые стороны равностороннего треугольника делятся точками касания вписанной окружности, равны половине его стороны:

Центр вписанной окружности является точкой пересечения его медиан

4) Центр вписанной в правильный треугольник окружности является также центром описанной около него окружности.

5) Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

🎬 Видео

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Центр вписанной окружности #ShortsСкачать

Центр вписанной окружности #Shorts

Центром вписанной в треугольник окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центром вписанной в треугольник окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанная окружность | Геометрия 7-9 класс #74 | ИнфоурокСкачать

Вписанная окружность  | Геометрия 7-9 класс #74 | Инфоурок

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Задание 16 ЕГЭ по математикеСкачать

Задание 16 ЕГЭ по математике

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольникаСкачать

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольника

Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать

Пересечение биссектрис треугольника в одной точке,  Геометрия 7 класс

Точка пересечения биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляровСкачать

Точка пересечения биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров

Окружность, вписанная в треугольник. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать

Окружность, вписанная в треугольник. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 класс

#31. Регион ВсОШ 2023, 11.5Скачать

#31. Регион ВсОШ 2023, 11.5
Поделиться или сохранить к себе: