Вы будете перенаправлены на Автор24
Правило параллелепипеда
Для правила сложения трех векторов рассмотрим следующую задачу.
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Доказать, что $overrightarrow+overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$
Доказательство.
Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:
Так как $overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow$
Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения сложения трех векторов. Чтобы найти сумму трех векторов $overrightarrow,overrightarrow и overrightarrow$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $overrightarrow=overrightarrow$, $overrightarrow=overrightarrow$ и $overrightarrow=overrightarrow$ и построим параллелепипед на этих векторах. Тогда вектор диагонали $overrightarrow$ и будет суммой этих трех векторов. Это правило называется правилом параллелепипеда для сложения трех векторов.
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Вспомним сначала, какие векторы называются компланарными.
Два вектора, которые параллельны одной плоскости называются компланарными.
Произвольный вектор $overrightarrow
$ можно разложить по трем некомпланарным векторам $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$ с единственными коэффициентами разложения.
Математически это можно записать следующим образом
Доказательство.
Существование: Пусть нам даны три некомпланарных вектора $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$. Выберем произвольную точку $O$ и построим следующие векторы:
[overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow и overrightarrow
=overrightarrow]
Рассмотрим следующий рисунок:
Произведем следующие дополнительные построения. Проведем через точку $P$ прямую, которая будет параллельна вектору $overrightarrow$. Пусть эта прямая пересекает плоскость $OAB$ в точке $P_1$. Далее, проведем через точку $P_1$ прямую, которая будет параллельна вектору $overrightarrow$. Пусть эта прямая пересекает прямую $OA$ в точке $P_2$ (смотри рисунок выше).
Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:
Так как векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то
Так как векторы $overrightarrow
$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то
Так как векторы $overrightarrow
$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то
Тогда, получаем, что
Существование разложения доказано.
Единственность: Предположим противное. Пусть существует еще одно разложение вектора $overrightarrow
$ по векторам $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$:
Вычтем эти разложения друг из друга
Из этого получаем
Теорема доказана.
Геометрия. 10 класс
Компланарные векторы
Подчеркните верное утверждение:
1) Любые два вектора компланарны.
2) Любые три вектора компланарны.
3) Если три вектора компланарны, то один из них нулевой.
4) Если векторы компланарны, то они коллинеарны.
Компланарные и некомпланарные векторы
компланарные
некомпланарные
Компланарные векторы
Точки А, В и С лежат на окружности, а точка М не лежит в плоскости этой окружности. Тогда векторы $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$
Компланарные и некомпланарные векторы
Укажите вывод, который следует из данных утверждений
1) Точки А, В и С не лежат на одной прямой, а точка O не лежит в плоскости (АВС). Тогда векторы
$overrightarrow, overrightarrow, overrightarrow$
2) $overrightarrow=xcdot overrightarrow+ycdot overrightarrow$
Тогда векторы $overrightarrow, overrightarrow$, и $overrightarrow$
Компланарные векторы. Векторный метод решения задач
Решите задачу и введите правильный ответ:
Разложение векторов
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка M — середина ребра CC1. Разложите вектор AМ по векторам AB, AD, AA1.
Выберите верное утверждение и выделите его цветом:
Доказательство теоремы
Докажите что векторы $overrightarrow,overrightarrow<A_B_>$ и $overrightarrow$ компланарны.
Восстановите последовательность в доказательстве:
Отложим от точки А вектор $overrightarrow$,равный вектору $overrightarrow<A_B_>$
Выбираем точку А и отложим от неё векторы
Векторы $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$ лежат в одной плоскости, значит они компланарны.
Отложим от точки А вектор $overrightarrow$,равный вектору $overrightarrow$
Компланарные векторы. Векторный метод решения задач
В параллелепипеде $ABCDA_ B_ C_ D_$, $О$ — точка пересечения диагоналей. Разложите вектор $AО$ по векторам $AB$, $AD$ и $AA_$.
Выберите правильный вариант ответа:
Компланарные векторы. Векторный метод решения задач
DABC – тетраэдр. О – точка пересечения медиан грани BDC. Тогда вектор $overrightarrow$ равен:
Выберите правильный вариант ответа:
Компланарные векторы. Векторный метод решения задач
Восстановите последовательность элементов в доказательстве утверждения поставьте правильную последовательность этапов:
Доказать, что если М – точка пересечения медиан треугольника АВС и О — произвольная точка пространства, то выполняется равенство
Разделим обе части на 3, получим $overrightarrow=frac(overrightarrow+overrightarrow+overrightarrow)$
Так как $overrightarrow+overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$
Запишем следующие векторные равенства: $overrightarrow=overrightarrow+overrightarrowoverrightarrow=overrightarrow+overrightarrowoverrightarrow =overrightarrow+overrightarrow$
Сложив эти равенства по частям, получаем: $overrightarrow+overrightarrow+overrightarrow=3overrightarrow+(overrightarrow+overrightarrow+overrightarrow)$