Доказать две параллельные хорды одной окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Доказать две параллельные хорды одной окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Доказать две параллельные хорды одной окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Доказать две параллельные хорды одной окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Доказать две параллельные хорды одной окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Доказать две параллельные хорды одной окружностиТеорема о бабочке

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Содержание
  1. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  2. Свойства хорд и дуг окружности
  3. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  4. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  5. Теорема о бабочке
  6. Равные хорды
  7. Две хорды из одной точки окружности
  8. Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
  9. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  10. Свойства хорд и дуг окружности
  11. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  12. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  13. Теорема о бабочке
  14. Хорда окружности — определение, свойства, теорема
  15. Хорда в геометрии
  16. Свойства отрезка окружности
  17. Ключевая теорема
  18. Касательная и секущая
  19. Решение задач
  20. В круге из одной точки окружности проведены 2 хорды под углом 120 градусов друг к другу ?
  21. СРОЧНО?
  22. В круге радиуса R проведены по одну сторону центра две параллельные хорды, из которых одна стягивает дугу в 120°, а другая в 60°?
  23. Две хорды пересекаются внутри круга?
  24. 1. ОДНА ИЗ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД ТОЧКОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДЕЛИТСЯ ПОПОЛАМ А ДРУГАЯ НА ОТРЕЗКИ 4 СМ?
  25. В круге радиуса R проведены по одну сторону центра две параллельные хорды, из которых одна стягивает дугу в 120°, а другая в 60°?
  26. В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды равной длины?
  27. #1) Дана окружность радиуса 6 см ?
  28. 2. ДВЕ ХОРДЫ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ВНУТРИ КРУГА?
  29. ДВЕ ХОРДЫ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ВНУТРИ КРУГА?
  30. Хорда окружности 8 из корней 2 стягивает дугу в 90 градусов найдите длину дуги и площадь большей части круга на которые его разделила хорда?

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьДоказать две параллельные хорды одной окружности
КругДоказать две параллельные хорды одной окружности
РадиусДоказать две параллельные хорды одной окружности
ХордаДоказать две параллельные хорды одной окружности
ДиаметрДоказать две параллельные хорды одной окружности
КасательнаяДоказать две параллельные хорды одной окружности
СекущаяДоказать две параллельные хорды одной окружности
Окружность
Доказать две параллельные хорды одной окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДоказать две параллельные хорды одной окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДоказать две параллельные хорды одной окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДоказать две параллельные хорды одной окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДоказать две параллельные хорды одной окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДоказать две параллельные хорды одной окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДоказать две параллельные хорды одной окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеДоказать две параллельные хорды одной окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыДоказать две параллельные хорды одной окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныДоказать две параллельные хорды одной окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиДоказать две параллельные хорды одной окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыДоказать две параллельные хорды одной окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Доказать две параллельные хорды одной окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыДоказать две параллельные хорды одной окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыДоказать две параллельные хорды одной окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиДоказать две параллельные хорды одной окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныДоказать две параллельные хорды одной окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиДоказать две параллельные хорды одной окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыДоказать две параллельные хорды одной окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыДоказать две параллельные хорды одной окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиДоказать две параллельные хорды одной окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиДоказать две параллельные хорды одной окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаДоказать две параллельные хорды одной окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Пересекающиеся хорды
Доказать две параллельные хорды одной окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Доказать две параллельные хорды одной окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Доказать две параллельные хорды одной окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Доказать две параллельные хорды одной окружности
Пересекающиеся хорды
Доказать две параллельные хорды одной окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Видео:Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Тогда справедливо равенство

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Доказать две параллельные хорды одной окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Доказать две параллельные хорды одной окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Доказать две параллельные хорды одной окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Доказать две параллельные хорды одной окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хордыСкачать

Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды

Равные хорды

Выясним, какими свойствами обладают равные хорды и равные дуги.

Равные хорды равноудалены от центра окружности.

Доказать две параллельные хорды одной окружностиДано : окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Доказать две параллельные хорды одной окружностиСоединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C.

II. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и COK.

2) ∠A=∠C (по доказанному).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OF=OK.

Что и требовалось доказать .

Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.

Доказать две параллельные хорды одной окружностиДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим прямоугольные треугольники OKD и OFB.

1)OF=OK (по условию)

2)OD=OB (как радиусы).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

II. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD и высотами OK и OF соответственно.

По свойству равнобедренного треугольника, OK и OF — медианы, то есть AF=BF, CK=DK, откуда AB=CD.

Что и требовалось доказать.

Равные хорды стягивают равные дуги.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды, AB=CD,

Доказать две параллельные хорды одной окружностиСоединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD.

Значит и дуги, на которые опираются эти центральные углы, также равны: ∪AB=∪CD

Что и требовалось доказать .

Хорды, стягивающие равны дуги, равны.

Доказать две параллельные хорды одной окружностиДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), то треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD соответственно.

Так как ∪AB=∪CD (по условию), то ∠AOB=∠COD.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Две хорды из одной точки окружности

Видео:№659. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенных между параллельными хордамиСкачать

№659. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенных между параллельными хордами

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Доказать две параллельные хорды одной окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Доказать две параллельные хорды одной окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Доказать две параллельные хорды одной окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Доказать две параллельные хорды одной окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Доказать две параллельные хорды одной окружностиТеорема о бабочке

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Видео:Геометрия Докажите, что если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающиеСкачать

Геометрия Докажите, что если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьДоказать две параллельные хорды одной окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДоказать две параллельные хорды одной окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДоказать две параллельные хорды одной окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДоказать две параллельные хорды одной окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДоказать две параллельные хорды одной окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДоказать две параллельные хорды одной окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДоказать две параллельные хорды одной окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Доказать две параллельные хорды одной окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДоказать две параллельные хорды одной окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДоказать две параллельные хорды одной окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДоказать две параллельные хорды одной окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДоказать две параллельные хорды одной окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДоказать две параллельные хорды одной окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДоказать две параллельные хорды одной окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеДоказать две параллельные хорды одной окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыДоказать две параллельные хорды одной окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныДоказать две параллельные хорды одной окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиДоказать две параллельные хорды одной окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыДоказать две параллельные хорды одной окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Доказать две параллельные хорды одной окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыДоказать две параллельные хорды одной окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыДоказать две параллельные хорды одной окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиДоказать две параллельные хорды одной окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныДоказать две параллельные хорды одной окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиДоказать две параллельные хорды одной окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыДоказать две параллельные хорды одной окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Доказать, что точки лежат на одной окружностиСкачать

Доказать, что точки лежат на одной окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыДоказать две параллельные хорды одной окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точкиДоказать две параллельные хорды одной окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиДоказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне кругаДоказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Пересекающиеся хорды
Доказать две параллельные хорды одной окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Доказать две параллельные хорды одной окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Доказать две параллельные хорды одной окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Доказать две параллельные хорды одной окружности
Пересекающиеся хорды
Доказать две параллельные хорды одной окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Тогда справедливо равенство

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Доказать две параллельные хорды одной окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Доказать две параллельные хорды одной окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Доказать две параллельные хорды одной окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Доказать две параллельные хорды одной окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностейСкачать

ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностей

Хорда окружности — определение, свойства, теорема

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Видео:Геометрия 7 класса в одной задаче. Геометрия 7 класс кратко | МатематикаСкачать

Геометрия 7 класса в одной задаче. Геометрия 7 класс кратко | Математика

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

Доказать две параллельные хорды одной окружности

  1. Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
  2. Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
  3. Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
  4. Самый маленький отрезок в окружности это точка.
  5. Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
  6. При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
  7. Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Видео:SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Видео:8 класс. Хорды в окружности (теория)Скачать

8 класс. Хорды в окружности (теория)

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

Доказать две параллельные хорды одной окружности

  • Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
  • Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
  • Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

Видео:11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордойСкачать

11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордой

В круге из одной точки окружности проведены 2 хорды под углом 120 градусов друг к другу ?

Геометрия | 5 — 9 классы

В круге из одной точки окружности проведены 2 хорды под углом 120 градусов друг к другу .

Найдите площадь части круга, заключенной между хордами , если длина каждой из них равна.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Эти хорды отрежут от окружности два равных сегмента

угол между хордами вписанный, (его величина = половине градусной меры дуги, на которую он опирается)))

на дугу одного сегмента останется (360 — 2 * 120) / 2 = 60 градусов

Sсегмента = Sсектора — Sтреугольника

этот треугольник получится равносторонним, т.

Е. радиус окружности = √3

Sсектора = π * r² * 60 / 360 = π * r² / 6 = π / 2

Sтреугольника = √3 * √3 * sin(60°) / 2 = 3√3 / 4

Sсегмента = (2π — 3√3) / 4

площадь части круга между хордами = Sкруга — 2 * Sсегмента

π * r² — (2π — 3√3) / 2 = (4π + 3√3) / 2 = 2π + 3√3 / 2.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Видео:✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис Трушин

СРОЧНО?

В круге радиуса r проведены по одну сторону от центра две параллельные хорды, одна из которых стягивает дугу в 120 градусов.

Найдите часть площади круга заключённую между хордами.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

В круге радиуса R проведены по одну сторону центра две параллельные хорды, из которых одна стягивает дугу в 120°, а другая в 60°?

В круге радиуса R проведены по одну сторону центра две параллельные хорды, из которых одна стягивает дугу в 120°, а другая в 60°.

Определить часть площади круга, заключённую между хордами.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Две хорды пересекаются внутри круга?

Две хорды пересекаются внутри круга.

Одна из хорд делится на отрезки 24 и 14 см а одна из частей второй хорды равна 28см.

Найдите другую часть этой хорды.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

1. ОДНА ИЗ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД ТОЧКОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДЕЛИТСЯ ПОПОЛАМ А ДРУГАЯ НА ОТРЕЗКИ 4 СМ?

1. ОДНА ИЗ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД ТОЧКОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДЕЛИТСЯ ПОПОЛАМ А ДРУГАЯ НА ОТРЕЗКИ 4 СМ.

КАКОВА ДЛИНА ПЕРВОЙ ХОРДЫ?

2. ДВЕ ХОРДЫ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ВНУТРИ КРУГА.

ОДНА ИЗ ХОРД ДЕЛИТСЯ НА ОТРЕЗКИ, РАВНЫЕ 24 СМ.

А ОДНА ИЗ ЧАСТЕЙ ВТОРОЙ ХОРДЫ РАВНА 28 СМ.

НАЙДИТЕ ДРУГУЮ ЧАСТЬ ЭТОЙ ХОРДЫ?

Доказать две параллельные хорды одной окружности

В круге радиуса R проведены по одну сторону центра две параллельные хорды, из которых одна стягивает дугу в 120°, а другая в 60°?

В круге радиуса R проведены по одну сторону центра две параллельные хорды, из которых одна стягивает дугу в 120°, а другая в 60°.

Определить часть площади круга, заключённую между хордами.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды равной длины?

В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды равной длины.

Каждая хорда разделена точками пересечения на три части равной длины.

Найти радиус окружности, если длина каждой из хорд равна а.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

#1) Дана окружность радиуса 6 см ?

#1) Дана окружность радиуса 6 см .

Найдите : а)сторону правильного вписанного треугольника б)периметр правильного описанного четырёхугольника в)площадь правильного вписанного шестиугольника №2)В круге из одной точки окружности проведены две хорды, составляющие угол 120 градусов.

Найдите площадь части круга, заключенной между ними, если длина каждой хорды равна 4 см №3)Две окружности, радиусы которых равны 4 корня из 2, имеют общую хорду длиной 8 см.

Найдите периметр ограниченной этими окружностями фигуры и расстояние между центрами окружностей.

Доказать две параллельные хорды одной окружности

2. ДВЕ ХОРДЫ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ВНУТРИ КРУГА?

2. ДВЕ ХОРДЫ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ВНУТРИ КРУГА.

ОДНА ИЗ ХОРД ДЕЛИТСЯ НА ОТРЕЗКИ, РАВНЫЕ 24 СМ.

А ОДНА ИЗ ЧАСТЕЙ ВТОРОЙ ХОРДЫ РАВНА 28 СМ.

НАЙДИТЕ ДРУГУЮ ЧАСТЬ ЭТОЙ ХОРДЫ?

Доказать две параллельные хорды одной окружности

ДВЕ ХОРДЫ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ВНУТРИ КРУГА?

ДВЕ ХОРДЫ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ВНУТРИ КРУГА.

ОДНА ИЗ ХОРД ДЕЛИТСЯ НА ОТРЕЗКИ, РАВНЫЕ 24 СМ.

А ОДНА ИЗ ЧАСТЕЙ ВТОРОЙ ХОРДЫ РАВНА 28 СМ.

НАЙДИТЕ ДРУГУЮ ЧАСТЬ ЭТОЙ ХОРДЫ?

Доказать две параллельные хорды одной окружности

Хорда окружности 8 из корней 2 стягивает дугу в 90 градусов найдите длину дуги и площадь большей части круга на которые его разделила хорда?

Хорда окружности 8 из корней 2 стягивает дугу в 90 градусов найдите длину дуги и площадь большей части круга на которые его разделила хорда.

На этой странице сайта размещен вопрос В круге из одной точки окружности проведены 2 хорды под углом 120 градусов друг к другу ? из категории Геометрия с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 5 — 9 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.

Поделиться или сохранить к себе: