Задание 14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA= √21, SB = √85, SD = √57.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
а)Рассмотрим треугольник SAB, в котором по условию задания: SA= √21, AB = 8, SB = √57.Можно заметить, что
и согласно обратной теореме Пифагора треугольникSAB – прямоугольный, с гипотенузой SB и катетами SA и AB.
Рассмотрим треугольник SAD со сторонами: SD = √57, SA= √21, AD = 6 (так как в основании пирамиды лежит четырехугольник, поэтому AD = BC). Здесь также:
и по обратной теореме Пифагора имеем прямоугольный треугольник SAD с гипотенузой SD и катетами SA и AD.
Так как 
, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости 
и SA–высота пирамиды.
б)Так как ABCD – прямоугольник, то точка O лежит на пересечении его диагоналей и делит их пополам, то есть, O–середина отрезка BD. Сделаем построение – отрезок KO как средняя линия треугольника SAC, причем, 
. Тогда угол между SC и BDбудет также равен углу KOD.
Найдем косинус угла SOD из треугольника KOD. В соответствии с теоремой косинусов, имеем:
Рассмотрим прямоугольный треугольник SDC (прямоугольный, так как 
и 
— по теореме о трех перпендикулярах получаем, что 
). По теореме Пифагора:
Тогда KO = SC:2 = 11:2. Далее, диагональ
Следовательно, DO = DB:2 = 5. Точка K – середина SA, имеем: 
и
Получаем косинус угла:
Ответ:
Задание 14. Математика ЕГЭ. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 6. Длины боковых ребер пирамиды SA = √21, SB = √85, SD = √57. Докажите, что SA – высота пирамиды. Найдите угол между прямыми SC и BD.
Задание.
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 6. Длины боковых ребер пирамиды SA = √21, SB = √85, SD = √57.
а) Докажите, что SA – высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Решение:
а) Докажите, что SA – высота пирамиды.
Рассмотрим треугольник SAB. По теореме, обратной теореме Пифагора (Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный), стороны этого треугольника удовлетворяют равенству:
SB 2 = SA 2 + AB 2
Следовательно, треугольник SAB – прямоугольный,
Рассмотрим треугольник SAD. По теореме, обратной теореме Пифагора, стороны этого треугольника удовлетворяют равенству:
SD 2 = AD 2 + SA 2
Следовательно, треугольник SAD – прямоугольный,
, тогда
Значит, SA – высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
SC и BD – скрещивающиеся прямые. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым. Пусть точка О – точка пересечения диагоналей BD и AC основания пирамиды. Через точку О проведем прямую KO II SC. Тогда углом между скрещивающимися прямыми SC и BD является угол между прямыми KO и ВD, т.е. ∠KOD.
Так как точка О – середина АС и KO II SC, то точка К – середина SA, т.е. КО – средняя линия треугольника ASC.
SA перпендикулярна плоскости ABC, SB – наклонная к плоскости ABC, АВ – проекция наклонной SB на плоскость ABC. Тока В – основание наклонной, через точку В проходит прямая ВС перпендикулярно проекции АВ (ABCD – прямоугольник), тогда по теореме о трех перпендикулярах прямая ВС перпендикулярна наклонной SB.
Следовательно, треугольник SBC – прямоугольный (∠B = 90˚). По теореме Пифагора найдем SC:
SC 2 = SB 2 + BC 2
SC 2 = (√85) 2 + 6 2 = 121
Так как в основании пирамиды лежит прямоугольник, то треугольник BCD – прямоугольный (∠С = 90˚). По теореме Пифагора найдем BD:
BD 2 = DC 2 + BC 2
BD 2 = 8 2 + 6 2 = 100
Рассмотрим прямоугольный треугольник AKD (∠A = 90˚). По теореме Пифагора найдем DK:
DK 2 = AD 2 + AK 2
По теореме косинусов найдем cos∠KOD:
DK 2 = DO 2 + KO 2 – 2·DO·KO· cos∠KOD
Елена Васильевна! Спасибо за решение ! Очень понравилось! Все четко, ясно и понятно!Успехов Вам!
В Основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами 6 и 8 см.
В Основании пирамиды лежит прямоугольник со гранями 6 и 8 см. Верхушка пирамиды равноудалена от вершины основания, а вышина пирамиды одинакова 12. найти. боковую поверхность? Помогите срочнооо необходимо
- Sdobyreva Angelina
- Геометрия 2019-01-13 03:34:21 1 1
Дано:
AB=AC=8 см.
AD=BC=6 см.
SO = 12 см.
Решение:
Sбок = 1/2 * p * l
Обретаем апофему по теореме Пифагора:
P = (a + b) * 2 = (6 + 8) * 2 = 28
d = a^2 + b^2 = 8^2 + 6^2 = 100 = 10
OC = OA^2 + AC^2 = 12^2 + 10^2 = 144 + 100 = 12 + 10 = 22 см.
Sбок = 1/2 * 28 * 22 = 308.