В ортонормированном базисе заданы векторы а и б норма (4 видео)

35. Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве

Определение 51. Базис Е = (Е1, Е2, . , Еn) пространства Еn называется Ортонормированным, если все его векторы единичные и попарно ортогональные.

Замечание. В примере 1 пункта 7.2 заданный базис является ортонормированным. Во втором примере этого пункта базис не ортонормированный.

Если базисные векторы единичные, но не все попарно ортогональны, то базис называется Нормированным. Если базисные векторы попарно ортогональны, но не все единичные, то базис называется Ортогональным.

Теорема 43. Любой базис евклидова пространства можно ортонормировать.

Доказательство. Пусть Е = (Е1, Е2, . , Еn) – произвольный базис пространства Еn. Доказательство проведём в два этапа. Сначала на основе данного базиса получим ортогональный базис, а затем полученный базис нормируем.

Пусть Е11 = Е1. Если Е2 ^ Е1, То возьмём Е21 = Е2. Если Е2 не ортогонален Е1. то найдём коэффициент A Так, чтобы вектор Е21 = AЕ1 + Е2 Был ортогонален вектору Е11. Так как вектор Е21 ¹ 0, то для этого необходимо и достаточно, чтобы (Е11, е21 ) = 0, т. е. (Е1, AЕ1 + Е2) = 0. Отсюда AЕ12 + (Е1, Е2) = 0. Так как Е1 ¹ 0. то Так как Е11 и Е21 ортогональны, то они линейно независимы. Вектор Е31 Будем искать в виде Е31 = A1 Е11 + A2 Е21 + Е3. Для того, чтобы Е31 был ортогонален Е11 И Е21, необходимо и достаточно, чтобы (Е11, Е31) = (Е21, Е31) = 0. Получаем систему

Так как определитель этой системы отличен от нуля (по формуле 43) то система имеет и только одно решение. Следовательно,

Вектор Е31 найдётся и только один. Так как векторы Е11, е21, е31 попарно ортогональны, то они линейно независимы. Если векторы Е11, е21, … , еn–11 уже получены, то вектор Еn1 будем искать в виде Еn1 = B1×Е11+ B2× е21 + … + Bn–1× еn–11 + Еn . Так как вектор Еn1 должен быть ортогонален ко всем предыдущим, то для нахождения коэффициентов B1, B2, … , Bn–1 получим систему уравнений (Е11, Еn1) = (Е21, Еn1) = … = (Еn–11, Еn1) = 0. Можно показать, что эта система всегда имеет решение и только одно. Итак, базис Е1 = (Е11, Е21, . , Еn1) –ортогональный. Разделив каждый полученный вектор на его длину, получим ортонормированный базис.

Теорема 44. Скалярное произведение в ортонормированном базисе имеет единичную матрицу Грама.

Доказательство Следует из того, что в ортонормированном базисе (Ек, ек) =1, (Ек, еs )= 0, если К ¹ s.

Следствие. Если вектор А В ортонормированном базисе имеет координаты (Х1, х2,…, хn), то ½А½= (47).

Теорема 45. Определитель матрицы Грама и все её главные угловые миноры строго положительны.

Доказательство. Пусть в данном (но произвольном) базисе матрица Грама имеет вид

Г = .

Пусть Е = (Е1, Е2, . , Еn) ортонормированный базис и Т – матрица перехода от данного базиса к базису Е. В базисе Е Матрица Грама – единичная. По формуле (43) Е = ТТ×Г×Т. Отсюда 1 = |Г |×|Т |2. Так как |Т |2 > 0,

Так как – евклидово подпространство пространства Еn с Тем же скалярным произведением, то главный угловой минор матрицы Г будет для него матрицей Грама. Но тогда, по доказанному, этот минор положителен.

Примеры. Могут ли быть матрицами Грама следующие матрицы.

1. А =

Матрица А Не может быть матрицей Грама, так как в матрице Грама все диагональные элементы должны быть положительными.

2. В =

Матрица В Не может быть матрицей Грама, так как матрица Грама должна быть симметрична относительно главной диагонали.

3. С =

Матрица С Не может быть матрицей Грама, так как |С | = –81 0, = 7 > 0. Следовательно, D является матрицей Грама.

Доказательство. В ортонормированном базисе скалярное произведение имеет единичную матрицу, поэтому

(А, В) = ХТ×Е×у = ХТ×у = (Х1, х2, … , хn) × = Х1у1 + Х2у2 + … + Хnуn.

Пример. В пространстве Е4 задан ортонормированный базис и векторы А1= (2, 1, 1, 2) и А2 = (–3, 2, –5, 1). Найти ортогональное дополнение к линейной оболочке L = .

Решение. Если L^, то В Î L^ Û (А1, В) = (А2, В) = 0. Пусть В = (Х1, х2, х3, х4). Так как базис ортонормированный, то (А1, В) = 2Х1 + х2 + х3 + 2Х4 , (А2, В) = –3Х1 + 2Х2 –5Х3 + х4 . Следовательно, В Î L^ Û Решая эту систему, получим, что

В = (–С1 –3С2 , С1 – 8С2 , С1 , 7С2), где С1 , С2 – любые действительные числа.

Отсюда следует, что L^ — двумерное линейное пространство, натянутое на векторы

Видео:Вывод формулы скалярного произведения векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе.Скачать

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОЙСТВ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Свойство первое следует из определения скалярного произведения: .

Второе и третье свойства следуют из линейных свойств проекции вектора на ось (направление): (эти свойства проекции доказываются при рассмотрении вектора в ортонормированном базисе). Используя линейные свойства проекции, получим:

СКАЛЯРНЫЙ КВАДРАТ

Скалярным квадратом называется скалярное произведение и обозначается символом ; по определению .

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ

Из определения следует .

УСЛОВИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Теорема. Векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда .

Доказательство необходимости. Пусть , тогда .

Доказательство достаточности. Пусть или , тогда, либо хотя бы один из множителей есть нулевой вектор и , так как направление нулевого вектора неопределенно, либо тогда .

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

Теорема. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов и равно сумме произведений одноименных координат множителей.

Доказательство. Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис и векторы и имеют в этом базисе координаты соответственно и , т.е. . Тогда, используя свойства скалярного произведения, будем иметь

Так как , то окончательно получим:

МОДУЛЬ ВЕКТОРА В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

Из формулы для скалярного произведения при получим

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

УСЛОВИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ В

Если , то необходимое и достаточное условие ортогональности запишется в виде

НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ ВЕКТОРА

Определение. Направляющими косинусами вектора в заданном базисе называются косинусы углов между вектором и базисными векторами.

Пусть – базисные векторы ортонормированного базиса и – углы между вектором и векторами соответственно.

Направляющими косинусами вектора будут . Если , то из , так как . Аналогично имеем

Замечание. Для любого вектора имеем

ЛИНЕЙНЫЕ СВОЙСТВА ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСЬ

В ортонормированном базисе координаты вектора равны проекциям этого вектора на направления соответствующих базисных векторов.

Действительно, если ,то , но , следовательно, . Аналогично .

Если , то из суммы векторов и произведения вектора на число следует, что проекция вектора обладает свойствами линейности.

1. Дайте определение скалярного произведения векторов.

2. Выведите условие ортогональности двух векторов.

3. Докажите формулу скалярного произведения векторов в ортогональном базисе.

4. Напишите формулу модуля вектора в ортонормированном базисе.

5. Выведите условие ортогональности двух векторов в ортогональном базисе.

§6. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Векторным произведением вектора на вектор называется новый вектор , удовлетворяющий условиям:

1. ;

2. и ;

3. Упорядоченная тройка векторов образует правую тройку (с конца вектора поворот на наименьший угол от первого сомножителя ко второму виден совершающимся против часовой стрелки (рис. 14)).

Векторное произведение на обозначается символом или .

В ортонормированном базисе заданы векторы а и б норма

D C

B Рис. 15.

Рис. 14.

Замечания. 1. Модуль численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 15). Действительно, площадь параллелограмма ABCD равна

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда . Необходимость и достаточность этого условия следует из определения векторного произведения.

СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. (антикоммутативность);

2. (ассоциативность относительно числового множителя);

3. (дистрибутивность относительно суммы векторов).

Это свойство примем без доказательства.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОЙСТВ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. Пусть , тогда из . Векторы и ортогональны плоскости, в которой лежат векторы и , следовательно, .

По определению с конца вектора поворот от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки, а с конца вектора поворот от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки, а это возможно при .

Следовательно, имеем, что и , т. е. или .

Рис. 16.

2. Пусть . По определению векторного произведения имеем ; при (рис.16), при имеем , откуда , т.е. . Наконец, , где , . Так как или , то в любом случае , следовательно, . Итак, получим, что и , т. е. или .