В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Вписанная окружность

Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность. На рисунке 1 четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Теорема

В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныАВС.

Доказать: в В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныАВС можно вписать окружность.

Доказательство:

1. Проведем биссектрисы углов А, В и С, которые пересекутся в точке О (следствие из свойства биссектрис). Из точки О проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (Рис. 2).

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

2. Точка О равноудалена от сторон В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныАВС (свойство биссектрис), поэтому ОК = ОL = ОМ. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныАВС касаются этой окружности в точках К, L, М, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

В треугольник можно вписать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, значит в треугольник можно вписать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.

Доказательство

На рисунке 2 мы видим, что В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныАВС составлен из трех треугольников: АВО, ВСО и САО. Пусть АВ, ВС и АС основания треугольников АВО, ВСО и САО соответственно, тогда высотами данных треугольников окажутся отрезки ОК = ОL = ОМ = r ( r — радиус окружности с центром О). Следовательно, площади этих треугольников вычисляются по формулам: В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны. Тогда, по свойству площадей, площадь треугольника В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныАВС выражается формулой: В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны, где В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны— периметр В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныАВС. Что и требовалось доказать.

Замечание 3

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т.е. прямоугольник, не являющийся квадратом. В такой прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трех его сторон (Рис.3), но нельзя «поместить» окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т.к. диаметр окружности меньше большей стороны прямоугольника т.е. нельзя вписать окружность. Что и требовалось доказать.

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, описанный около окружности (Рис. 4).

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

На рисунке 4 одинаковыми буквами обозначены равные отрезки касательных, т.к. отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Тогда АВ + СD = В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныи ВС + АD = В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны, следовательно, АВ + СD = ВС + АD.

Верно и обратное утверждение:

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство

Пусть в выпуклом четырехугольнике АВСD

АВ + СD = ВС + АD. (1)

Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон АD, АВ и ВС (свойство биссектрис), поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трех сторон (Рис. 5).

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Докажем, что эта окружность касается также стороны СD и, значит, является вписанной в четырехугольник АВСD.

Предположим, что это не так. Тогда прямая СD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (Рис. 6). Проведем касательную С1D1, параллельную стороне СD (С1 и D1 — точки пересечения касательной со сторонами ВС и АD).

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Так как АВС1D1 — описанный четырехугольник, то по свойству его противоположных сторон

АВ + С1D1 = ВС1 + AD1. (2)

Но ВС1 = ВСС1С, АD1 = АDD1D, поэтому из равенства (2) получаем:

С1D1 + С1С + D1D = ВС + АDАВ.

Правая часть этого равенства в силу (1) равна СD. Следовательно, приходим к равенству

т.е. в четырехугольник С1СDD1 одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, т.к. к аждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон. Значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны СD. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Геометрия Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можноСкачать

Геометрия Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныВписанные четырехугольники и их свойства
В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныТеорема Птолемея

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаВ любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаВ любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииВ любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаВ любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникВ любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Окружность, описанная около параллелограмма
В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равныОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны
Окружность, описанная около параллелограмма
В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаВ любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииВ любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаВ любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникВ любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Докажем, что справедливо равенство:

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

откуда вытекает равенство:

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:Вся геометрия для ЕГЭ с нуляСкачать

Вся геометрия для ЕГЭ с нуля

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны

Пусть окружность вписана в четырехугольник АВСD. Докажем, что суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

Отрезки касательных, проведенных к окружности из точек А, В, С и D, обозначим соответственно а, b, с и d.
Тогда АВ + СD = АD + ВС = а + c = b + d.

Докажем обратное утверждение.
Формулируется оно так: Если суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Пусть в четырехугольнике АВСD равны суммы длин противоположных сторон: АВ + СD = АD + ВС. Докажем, что в четырехугольник АВСD можно вписать окружность.

Проведем AO и BO – биссектрисы углов A и B, AO ∩ BO = O.

Точка O равноудалена от сторон AB, BC и AD четырёхугольника АВСD. Окружность с центром О касается сторон АВ, ВС и AD четырехугольника.
Покажем, что окружность с центром в точке O касается также стороны CD, то есть вписана в четырёхугольник ABCD.

Предположим, что это не так, и CD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей.

Рассмотрим первый случай. Проведем касательную параллельно CD. Четырехугольник – описанный вокруг окружности, и для него выполняется равенство:
.

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

При этом . Получим:

С другой стороны,
поэтому
и .

Получили, что для четырехугольника длина стороны CD равна сумме трех других сторон. Это невозможно. Мы пришли к противоречию. Предположение о том, что CD не имеет общих точек с окружностью, было неверно.

Аналогично доказывается, что CD не может быть секущей к окружности. Значит, CD – касательная к окружности и четырехугольник ABCD – описанный вокруг окружности.

Задача ЕГЭ по теме «Описанный четырехугольник»

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=10, CD=16. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

В любом вписанном четырехугольнике суммы смежных сторон равны

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Значит,

Тогда периметр четырехугольника равен .

🔍 Видео

Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описатьСкачать

Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описать

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?Скачать

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?

ОГЭ 2020 Задание по геометрииСкачать

ОГЭ 2020 Задание по геометрии

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Все типы 24 задание 2 часть ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 УмскулСкачать

Все типы 24 задание 2 часть ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 Умскул

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Математика ОГЭ Задание 25 Первый признак подобияСкачать

Математика ОГЭ  Задание 25 Первый признак подобия

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

ВСЕ ТИПЫ 19 задания на ОГЭ по математике 2024 | Дядя АртёмСкачать

ВСЕ ТИПЫ 19 задания на ОГЭ по математике 2024 | Дядя Артём

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Геометрия 8 класс за 1 час | Математика | УмскулСкачать

Геометрия 8 класс за 1 час | Математика | Умскул

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Задание 19 ОГЭ математика 2023 . Разбираем все факты!!! Правда или ложь?Скачать

Задание 19 ОГЭ математика 2023 . Разбираем все факты!!! Правда или ложь?
Поделиться или сохранить к себе: